運用GeoGebra軟件輔助中職數(shù)學教學的可行性與實踐策略

摘要：隨著中職數(shù)學新課標的頒布和新教材的使用，發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)是當前中職數(shù)學教學的重要任務。GeoGebra具有強大的計算和畫圖功能，在中職數(shù)學教學中借助Geogebra軟件，可以化抽象為直觀、化靜態(tài)為動態(tài)、化復雜為簡單、化不可能情境為可能再現(xiàn)，幫助學生理解數(shù)學中的重點、難點問題，習得數(shù)學知識。通過GeoGebra 技術改變課堂教學方式，激發(fā)、維持學生的數(shù)學學習興趣，深入推進中職數(shù)學教學改革。

關鍵詞：中職數(shù)學;GeoGebra軟件;教學實踐

中圖分類號：G712" " "文獻標識碼：A" " 文章編號：1673-4289（2024）08-0059-06

教育部于2020年發(fā)布了《中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準》（以下簡稱“新課標”）[1]，同年9月，基于新課標編寫的中職數(shù)學新教材也開始投入使用。新課標和新教材提出了發(fā)展學生核心素養(yǎng)、落實立德樹人根本任務的要求，一場基于新課標和新教材的中職數(shù)學教學改革正逐步展開。基于新課標和新教材的中職數(shù)學教學改革是一個系統(tǒng)的、漸進式的過程，需要中職數(shù)學教師改進教學方式，結合中職學生數(shù)學學習背景和生活實際創(chuàng)設恰當?shù)那榫?，以此激發(fā)學生的學習興趣，引導學生習得數(shù)學知識和能力，感悟數(shù)學思想方法，進而提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

一、中職學生數(shù)學學習特點分析

學生步入中職一年級，課程相對較多且知識難度跨度大，數(shù)學以其抽象的特點使得許多學生望而生畏。筆者在本校的幾個班級中進行問卷調查，數(shù)據(jù)表明，有39.06%的同學對數(shù)學學習持一般態(tài)度，有超過四分之一的同學明確不喜歡學習數(shù)學。由此可見，同學們對于數(shù)學學習的興趣度不是很高，缺乏信心，學習非常吃力。對于數(shù)學抽象能力，49.22%的學生認為比較欠缺，他們不能從具體情境中抽象出事物的本質特征和規(guī)律，因而不能完全理解數(shù)學概念和結論，部分學生甚至無法用數(shù)學語言描述數(shù)學問題。

中職學生不僅抽象能力較弱，數(shù)學運算能力也比較差。約30%的學生不能理解公式的推導、變形過程，只能依據(jù)公式進行正向的計算，逆向思維較差。約50%的學生因式分解學習存在問題，甚至部分學生不會進行負數(shù)的運算、分數(shù)的化簡。學生的直觀想象和數(shù)學建模能力也較弱。對事物的形態(tài)變化和運動規(guī)律無法想象，不能用數(shù)學知識和方法構建出數(shù)學模型，并正確地求解結論。

在常態(tài)課堂中，教師大多使用板書、PPT進行授課，使得課堂缺乏活力，學生也覺得枯燥乏味?；诖?，需要教師創(chuàng)新教學方式，適時適當使用一些信息技術輔助課堂教學，提高學生學習興趣和效率，使學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)得以提升。

二、GeoGebra軟件輔助中職數(shù)學教學的可行性

通過查閱文獻，最早關于GeoGebra的中文文獻是由左曉明[2]等人撰寫的，作者在文章中介紹了在信息技術輔助教學快速發(fā)展背景下，在眾多的數(shù)學軟件中，操作簡便且功能強大的開源軟件GeoGebra脫穎而出，認為其超越幾何畫板的表現(xiàn)及其全面的功能勢必帶來一場數(shù)學教學技術新的變革。周鳴[3]以實現(xiàn)教育信息化為研究目的，以APOS理論為研究基礎，深入介紹了相關理論內涵，以及該軟件的功能和特點，結合實際情況，設計了在GeoGebra環(huán)境下與數(shù)學概念相關的教學案例。殷羽[4]通過分析高中生三角函數(shù)的學習情況，進行整合設計及實驗對比分析，得出該軟件在三角函數(shù)的教學中有很不錯的效果，希望能在教學中得到推廣，讓信息技術更好地服務于教學。王永久[5]結合自己的教學實踐，發(fā)現(xiàn)了一些在解析幾何教學中存在的問題，利用軟件對“直線和圓”“圓錐曲線”的教學內容進行整合設計，并對教學案例進行分析，得出GeoGebra運用于解析幾何教學的三點優(yōu)勢，同時也提出了一些問題和建議。截至2024年6月，通過知網檢索得出與普通高中教育相關的文獻有645篇，但與中職數(shù)學教學相關的研究很少，僅有14篇。這說明，使用GeoGebra輔助教學有較強的可操作性和時效性，但很少有以中職數(shù)學為切入點研究GeoGebra在中職教學中的應用。因此，借助數(shù)學軟件GeoGebra輔助中職數(shù)學教學具有較強的針對性和及時性，具有一定的研究價值。

GeoGebra適用于各個學段的數(shù)學教學，它的界面簡潔、操作方便，能夠實現(xiàn)生動直觀、豐富有趣的數(shù)學課堂教學的演示，提高學生對數(shù)學的學習興趣。它能畫出各種幾何圖形及函數(shù)圖像，便捷地求出對象的長度、面積、斜率等，并能夠對表達式進行因式分解，幫助學生驗證計算結果。它能通過平移、旋轉等動態(tài)展示知識形成過程，動態(tài)展示“形”與“數(shù)”的特征變化，實現(xiàn)動態(tài)的“數(shù)形結合”，解決傳統(tǒng)教學難以達到的教學效果，提高學生的直觀想象能力。它具有追蹤物體的運動軌跡的功能，通過對點、線、幾何圖形等運動過程進行“跟蹤”，形成運動軌跡。通過動態(tài)追蹤運動對象的軌跡，幫助學生觀察猜想、探討問題，化抽象難理解的內容為具象認知。

筆者在本校的班級中使用GeoGebra軟件進行了兩年日常授課后，對同學們的課堂學習情況的變化、自身數(shù)學核心素養(yǎng)提升的情況以及今后對繼續(xù)使用GeoGebra軟件進行數(shù)學學習的態(tài)度等進行了問卷調查。學生普遍認為GeoGebra輔助教學能提高課堂專注度，60.16%的學生更喜歡使用GeoGebra進行自主學習探究、小組合作學習，他們認為GeoGebra能幫助理解數(shù)學知識，達到輕松愉快的學習效果。有56.25%的同學認為GeoGebra軟件輔助教學能提升直觀想象能力。在函數(shù)和三角函數(shù)的教學中，筆者經常使用GeoGebra展示函數(shù)圖像，如展示參數(shù)變化對函數(shù)圖像的影響，展示三角函數(shù)的對稱性驗證誘導公式，都是以精準、直觀、動態(tài)的可視化形式將比較抽象的重難點展現(xiàn)出來，以加深學生對新知識和數(shù)形結合思想的理解，增強學生的學習自信。

據(jù)此可知，在中職數(shù)學常態(tài)教學中引入GeoGebra，不僅可以激發(fā)中職學生的學習興趣，而且使中職數(shù)學教學變得更高效;此外，學生依托GeoGebra軟件在探究學習活動中，也能獲得理性思考和邏輯思維的能力，促進自身數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升。

三、運用GeoGebra軟件輔助中職數(shù)學教學實踐策略

下面，結合具體教學案例來說明GeoGebra軟件在中職數(shù)學教學中的輔助作用。

（一）化抽象概念為具象認知，實現(xiàn)數(shù)學難點突破

數(shù)學概念具有抽象、不直觀、不易理解的特點。中職學生的觀察能力較強，數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模能力較弱，類比、數(shù)形結合思想欠缺。他們的認知規(guī)律特點決定了數(shù)學思維發(fā)展總是從具體思維到抽象思維，因此變抽象的數(shù)學概念為具體的直接認知，是讓學生理解和掌握中職數(shù)學概念，獲得數(shù)學知識的最有效的方式或途徑。

在中職數(shù)學概念教學過程中，利用GeoGebra軟件，可以將抽象的語言描述轉化為具體的圖像描述，將晦澀難懂的數(shù)學概念、數(shù)學知識直觀形象地呈現(xiàn)給學生，可以有效突破課堂教學難點，并幫助學生構建數(shù)學知識網絡。[6]基于此，從抽象到形象再到抽象，也是提升學生數(shù)學抽象等學科核心素養(yǎng)的重要途徑。例如，在講解函數(shù)概念時，傳統(tǒng)的教學方式是從生活中的實例出發(fā)，引導學生分析實例中存在的變量，然后尋找變量之間的對應關系。但有些學生總是無法從情境中抽象出數(shù)學符號，領悟出函數(shù)的本質。如何化抽象概念為具象認知呢？可以借助GeoGebra軟件人機交互的教學程序“魔盒”來實現(xiàn)，如圖1所示。在顯示屏左邊的輸入框輸入一個數(shù)字，右邊輸出框自動會對應出現(xiàn)一個數(shù)字，學生可以直觀感受到左右數(shù)字之間的對應關系，得出兩者的關系式。學生可以先猜想結論，再通過揭秘得到答案。通過這個過程，學生能直觀感受到函數(shù)的本質是“數(shù)與數(shù)的一種對應關系”，教師也順勢解釋了定義域、對應法則等概念，突破函數(shù)概念難以理解的難點。理解了函數(shù)的概念后，再回歸到生活中，讓學生去辨析生活中的現(xiàn)象是否為函數(shù)關系，學生就更容易掌握。

又如，在講解二面角的平面角時，傳統(tǒng)教學方式就是在黑板上作圖。在二面角的棱上任取一點，然后在兩個平面內分別作垂直于棱的射線，直接告訴學生這兩條射線所成的最小正角就是二面角的平面角。實際情況是，總有一些學生不能理解產生的圖形中到底哪個角是二面角的平面角，并且對于二面角的度數(shù)大小沒有直觀認識。利用GeoGebra軟件，可以直觀展示二面角的平面角的構造過程，先依次作m、n垂直于棱CD，再動態(tài)表示出中間形成的角δ，由此得出二面角，如圖2所示。通過控制滑動條，還能讓二面角的大小也發(fā)生改變，學生可以直觀地看出二面角的取值范圍?；贕eoGebra軟件中直觀的演示，化抽象為形象，學生親身感知、直觀經歷知識發(fā)生發(fā)展過程，而不是被動地接受知識，就能明白二面角的內涵，正確理解二面角的概念，真正在數(shù)學概念學習中提升數(shù)學抽象、直觀想象核心素養(yǎng)。

（二）化靜態(tài)圖像為動態(tài)演示，展現(xiàn)知識生成過程

教學過程中，將凝練簡潔的文字、符號、圖表在黑板呈現(xiàn)出來，是傳遞教學信息的重要方式，借助模型、實物等數(shù)學工具講解和說明某些概念、原理或規(guī)律，是幫助學生理解掌握知識、提高學習興趣和效率的重要手段，這些通常是靜態(tài)的，對于抽象能力較弱的中職學生來說仍然是不夠的，比如，學生不易理解和想象出圖像的翻折、旋轉、壓縮、平移等變化過程，不易理解和想象出幾何體的內部結構和線面的位置關系等。利用GeoGebra軟件，可以化靜為動，在動態(tài)演示中將抽象模糊、難以理解的問題用直觀的視覺表征的方式呈現(xiàn)，將老師所說轉化為學生所見，將學生頭腦中所想的運動變化過程以看得見的方式展示出來，這樣的教學，能幫助學生直觀感受運動變化的過程，突破學習的難點，增進對問題的認識和理解，有利于發(fā)展學生直觀想象等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

例如，在學習描點法作圖時，常規(guī)方式是在黑板上通過列表、描點、連線的方法進行，學生雖然也能完成，但是缺少了圖像動態(tài)的形成全過程，學生的理解總是片段的和低效的，不利于直觀形象地幫助學生形成完整的認識過程和深刻的圖形印象。利用GeoGebra軟件，可以形成描點作圖法的動態(tài)演示課件，如圖3所示，能根據(jù)給出的解析式，自行輸入自變量的值完成自動列表的過程，然后根據(jù)所給的點動態(tài)地繪制出對應的圖像，增進學生對描點作圖法的感知、認識和理解，教學效果顯著。同時，函數(shù)解析式可以自行輸入，避免了手動繪制時間上的浪費，極大地提高了中職數(shù)學課堂教學的效率。

又如，在學習圓柱時，傳統(tǒng)教學方式通常是讓學生對具體實物進行觀察，獲得對圓柱初步的幾何認識，然后教師常以具體實物為工具（如書本）進行旋轉來演示得出圓柱。這樣也能做到簡單直觀，但是演示的準確性不夠，學生理解仍有一定的難度，最終導致教學效果不佳。[7]為了解決這一問題，可以使用GeoGebra軟件，將平面圖形繞著軸旋轉形成旋轉體的這一動態(tài)過程完全展示出來，如圖4所示。模擬旋轉體的形成過程，可以增強學生對旋轉體的直觀感受，幫助學生理解旋轉體的特征，潛移默化地培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)。然后，再展示幾何模型，讓學生歸納其結構特征，進行靜態(tài)辨析，加深對圓柱概念、特征的理解，掌握相應的數(shù)學知識。

（三）化復雜問題為簡單問題，突顯數(shù)學思想方法

數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。”數(shù)形結合在數(shù)學的教和數(shù)學的學中都有著重要作用。GeoGebra軟件是數(shù)形結合的利器，比如，在GeoGebra的幾何區(qū)進行的繪圖操作，在代數(shù)區(qū)都能實時顯示出對應點的坐標和解析式;同樣，在代數(shù)區(qū)的命令框中輸入函數(shù)解析式，繪圖區(qū)也會立刻顯示出相應的圖像。這就將數(shù)量關系與空間形式有機地結合了起來，直觀展示了兩者的內在聯(lián)系，將復雜的、難以理解的問題變?yōu)楹唵?、直觀的問題，可以有效避免繁雜計算，也能提高學生思維靈活性和創(chuàng)造性，從而更好地解決數(shù)學問題。比如，2022年四川省對口升學考試中有這樣一個考題：

設α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同的直線，則下列四個命題正確的個數(shù)是（" " ）

①若m⊥α，α∥β，n∥β，則m⊥n;

②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n;

③若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β;

④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β.

A.1" " B.2" " C.3" " D.4

在這個例題中，傳統(tǒng)方法就是用粉筆在黑板上作圖，幫助學生厘清關系，判斷出正確答案。但是，中職學生的抽象能力、空間想象能力都比較弱，黑板作圖又具有一定限制性，難以準確快速地繪制圖像來幫助學生直觀地解決問題。因此，可以借助GeoGebra，將①②③④四個選項的圖像分別作出，如圖5，幫助學生厘清線線、線面、面面之間的關系，最終選出正確答案。學生在這個思考的過程中積累經驗，提升認識，促進直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展。

又如，中職數(shù)學課程標準中對求解函數(shù)實際問題的教學要求是：能夠運用函數(shù)思想解決實際問題，增強數(shù)學應用意識。教學中使用GeoGebra軟件，可以幫助學生在解決問題的過程中更好、更快地領悟其中蘊含的數(shù)學思想和數(shù)學方法。

下面是一個分段函數(shù)模型問題：

兩位老人結束洱海之行前，準備在古城中的扎染店買一些扎染手工送給其他老人。他們了解到A、B兩扎染店均在搞活動，A店可享受總價打8折;B店的活動是，總價不超過200元打9折，超過200元的部分打6折。

（1）請寫出兩家扎染店的實付金額y與購買金額x之間的函數(shù)解析式;

（2）應如何向老人推薦扎染店購買手工品。

傳統(tǒng)教學對于第（2）小題常采用紙筆的方式進行教學和解答，往往教學效果不佳。而使用GeoGebra軟件，可以精簡計算過程，讓學生在直觀形象的基礎上集中精力思考問題的本質和其中蘊含的數(shù)學思想、數(shù)學方法，能更好地培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)。

基于GeoGebra軟件的具體教學過程：

直接在文本框輸入第（1）小題的兩個解析式：

則會同時出現(xiàn)兩個函數(shù)的圖像，如圖6所示。

選擇“交點”工具，再分別選擇兩個圖像，會立即出現(xiàn)交點坐標（300，240）。這時，就可以引導學生觀察函數(shù)圖像特征、描述方案的特點了，再根據(jù)實際情況選擇最適合的方案就水到渠成了。這種基于GeoGebra軟件的教學，可以幫助學生從形的角度借助直觀猜想問題答案，并從數(shù)的角度通過運算加以驗證，既順應了學生的學習規(guī)律和身心發(fā)展特點，激發(fā)其勇于探究、敢于探索的欲望，又幫助他們更好地解決生活中的實際問題，提高數(shù)學建模和邏輯推理素養(yǎng)。

（四）化不可能情境為可能再現(xiàn)，培養(yǎng)數(shù)學思維能力

數(shù)學活動是學生通過實際操作、感官體驗和觀察思考學習數(shù)學知識、習得數(shù)學技能的學習方式，是數(shù)學學習的重要組成部分，是解決抽象的數(shù)學問題、認識數(shù)學本質、發(fā)現(xiàn)問題解決思路方法的重要途徑。讓學生進行折紙、畫圖、制作模型等活動是傳統(tǒng)教學中的常見方式，但對于有些數(shù)學活動是難以在課堂上實現(xiàn)的，比如多次重復實驗、大量數(shù)據(jù)需要、圖像無限展示等。利用GeoGebra軟件，可構建一個動手探究的智能平臺，彌補傳統(tǒng)教學中的缺陷，為學生提供自主探究的機會，豐富學生的數(shù)學活動，幫助學生獲得相應的數(shù)學經驗，樹立探究意識，養(yǎng)成探究習慣，提升解決數(shù)學問題的能力。

比如，在“頻率與概率”的教學中，要進行幾千上萬次拋擲硬幣的實驗，這在有限的課堂時間中是難以完成的，同時，粗糙的實驗條件和操作往往存在較大誤差，結果的準確性不高。如圖7所示，借助GeoGebra軟件進行模擬實驗可以解決這些問題。信息技術條件下的數(shù)學實驗，不僅可以將盡可能多次和多樣的情況呈現(xiàn)給學生，快速而準確地演示隨機事件的概率變化規(guī)律，同時，只要實驗的次數(shù)足夠多，實驗的結果就會趨于理論頻率，從而幫助學生得出合理的數(shù)學結論。除此之外，還可以借助GeoGebra滑動條按鈕設置實驗次數(shù)，通過移動滑動條，改變實驗次數(shù)，讓學生清晰感受到當實驗次數(shù)不同時隨機事件的概率的變化規(guī)律，理解概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系，加深對知識的理解和掌握。

再如，在正弦函數(shù)圖像的教學中，常通過沙漏的簡諧運動實驗作為引例，讓學生認識正弦類曲線的大致形狀;電子專業(yè)常使用的是示波器，觀察示波器產生的交流電波形圖，來認識正弦函數(shù)的圖像。兩種方法均有一定的局限性，首先，很多學校未必有沙漏或示波器這樣的實驗器材，自己制作又不容易達到實驗要求（如沙子不能均勻漏下）;其次，實際拖動紙板時很難實現(xiàn)勻速拖動，得到的沙跡線不符合正弦曲線特征，失去了實驗的意義。[8]借助GeoGebra軟件，如圖8所示，作出12等分圓平移正弦線，進而形成正弦函數(shù)圖像，還可以直接產生動態(tài)的正弦函數(shù)的圖像，這樣，軟件展示出來的動態(tài)過程不僅可以吸引學生注意力，提高學習興趣，還可以比較容易地得出P′的坐標為（α，sinα），點P′的運動軌跡即為正弦函數(shù)的圖像。

中職數(shù)學教學改革需要我們依據(jù)數(shù)學新課標、新教材，深入鉆研、努力探索，設計相應的數(shù)學學習活動或學習任務，充分借助或依托諸如GeoGebra的信息技術，化抽象為直觀，化靜態(tài)為動態(tài)，化復雜為簡單，化不可能情境為可能再現(xiàn)，助推中職數(shù)學教學改革，激發(fā)、維持和發(fā)展學生的數(shù)學學習興趣，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)，落實立德樹人根本任務。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.中等職業(yè)學校數(shù)學課程標準（2020版）[S].北京：高等教育出版社，2020：2-3.

[2]左曉明，田艷麗，贠超.基于GeoGebra的數(shù)學教學全過程優(yōu)化研究[J].數(shù)學教育學報，2010，（01）：99-102.

[3]周鳴.GeoGebra環(huán)境下基于APOS理論的數(shù)學概念的教學設計[D].遼寧：遼寧師范大學數(shù)學學院，2014.

[4]殷羽.GeoGebra在高中三角函數(shù)教學中的應用研究[D].昆明：云南師范大學數(shù)學學院，2016.

[5]王永久.基于GeoGebra的高中解析幾何教學研究[D].蘇州：蘇州大學數(shù)學科學學院，2017.

[6]鄭學蓉.使用GeoGebra培養(yǎng)中學生數(shù)學核心素養(yǎng)的實踐探索[D].上海：上海師范大學數(shù)學學院，2020.

[7]朱亮衛(wèi).基于Geocebra的高中數(shù)學探究式教學研究[D].漢中：陜西理工大學數(shù)學學院，2020.

[8]陳超.利用GeoGebra輔助高中數(shù)學教學研究[D].武漢：華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，2017.

（作者單位：四川天府新區(qū)綜合高級中學，成都 610000;成都市武侯區(qū)教育科學發(fā)展研究院，成都 610042）