２０２３年講題比賽獲獎論文之十二:2023年高考全國乙卷理科第20題的深度探究

1 題目呈現

2 思路分析及詳解

思路1：從題目最終目標及各動直線出現的順序入手，選擇直線PQ的點斜式方程為研究問題的出發點，處理各點、直線、曲線的數學語言表述，為解決問題創造必要條件.

思路2：注意到目標點M，N，其實質是直線AP，AQ所構成的曲線系與y軸的兩個交點，聯想到韋達定理，進而求出MN的中點坐標.

思路3：三角函數部分有眾多的公式，便于化簡計算.因此，可考慮從直線PQ的參數方程入手研究問題，處理目標點、及各動直線方程問題.

思路4：從直線PQ的特殊位置，猜想出目標定點，將原命題等價轉化為“直線PQ恒過定點”來處理.

思路5：命題的核心聚焦在，由點A出發的兩條動直線AP，AQ被y軸所截的線段MN的中點問題，因此，將坐標系原點平移到點A處來解決問題，是一個值得重視的好方法.

思路6：通過適當的伸縮變換，將橢圓變換為單位圓，這樣處理等價原命題時，化簡運算過程變得更為簡便，優化了解題過程，降低了運算難度.

思路1～3的思維導圖見圖1，思路4～6的思維導圖見圖3.[FL）]

點評：傅立葉名言“沒有什么語言能比解析方程更簡單、更一般化、更明顯和更不容易發生錯誤，這就是說，解析方程能夠更好地用來表達自然界的不變關系”.正是

點評：“算術符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖象化的公式.”直線的參數方程，強有力地佐證了希爾伯特的觀點.正是

綜上，將坐標系還原為原坐標系后，線段MN的中點為定點（0，3）.

點評：為了使某些幾何量的代數表示最簡，常常平移坐標軸，便于問題的順利解決.正是

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.

不同視角觀風景，無限風光映眼中.

因此在新坐標系x′Oy′中，線段M′N′的中點為定點（0，1），

故在原坐標中線段MN的中點為定點（0，3）.

點評：通過恰當的伸縮變換，解決更為簡單的等價命題，優化了解答過程，降低因繁雜運算所導致的錯誤率.正是

伸縮變換好奇妙，優化運算主意好.

從此不怕計算難，揮灑自如誰怕考.[LL]

3 相關試題鏈接

（1）[JP3]寫出橢圓右焦點F的坐標及該橢圓的離心率；

（2）[JP3]證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標；

（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面積的最大值.

鏈接2（2023年5月江西新八校聯盟第21題）已知圓M過點（0，1），且與直線y=－1相切.

（1）求圓心M的軌跡Γ的方程；

（2）過點P（2，3）的直線交曲線Γ于A，B兩點，過點Q（6，3）和A的直線與曲線Γ交于另一點C，證明：直線BC過定點.

鏈接1與鏈接2的解析請掃本文前面的二維碼查看.