多一點想和多一點算

武漢市數學調考題很多都是經典好題，凝聚了命題專家的心血和智慧，2023年四月調考第20題就是一道經典好題.下面用從“多一點想”和“多一點算”的角度，用四種方法來解決這道調考題.

1 題目呈現

2 題目解析

思路一：利用事件的關系來分析解決問題，轉化為對立事件來解決.設甲正面朝上次數大于乙為事件A，則A-表示甲反面朝上次數大于乙.抓住“甲正面朝上次數大于乙”的概率和“甲反面朝上次數大于乙”的概率相等，求出P（A），這樣算得少而想得多.

賞析：第（1）問很基礎，考查獨立重復事件;第（2）問是在第（1）問基礎上繼續探究，轉化為先求出平局的情況，并用對稱性求出甲獲勝的情況，最后確定甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率.對學生思維能力的要求較高，想得多而算得少.作為一道概率統計題，本題設有兩問，層層遞進，這樣可以讓不同的學生都可以有機會拿分，兩問聯系性較好，區分度良好.

思路三：類比第（1）問的計算方法，第（2）問也求出前n局平局的概率，然后用對稱性求出甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率.

賞析：用類比法由特殊到一般，由第（1）問的3局推廣到n局，借助組合數公式求出n局平局的情況，當運算到甲（n+1）局時發現P[KG-1.5mm]n抵消掉了，回頭才能發現可以不用計算P[KG-1.5mm]n，進而簡化運算，體現出解法二“想”的優越性，而解法三能具體算出P，這樣算得多一點，但是直觀且具體的求出結果，便于理解.

思路四：如果不用題干的對稱性，也可以利用組合數公式直接求出結果.第（1）問有6種情況，推廣到第（2）問中羅列出全部情況來解決.

3 教學啟示

本題的命制巧妙，讓人耳目一新，其中蘊含了概率的巧妙的對稱性求解思路.既可以轉化為對立事件求解，也可以先求出平局情況，進而求出拋擲結果中甲正面朝上次數大于乙正面朝上次數的概率；前n局平局既可以通過組合式公式計算出來，也可以用設而不求，求出答案.可以算得多一點，也可以想得多一點，掌握各種解法的優化和對比，并將它們用到日常的教學中去，可以培養高中生的類比能力、轉化能力、運算求解能力，從而促進學生數學思維的發展以及數學核心素養的達成.