高處著眼、低處入手的高考試題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，教師要理解與高中數(shù)學(xué)關(guān)系密切的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，能夠從更高的觀點(diǎn)理解高中數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)[1]，這對(duì)教師的專業(yè)知識(shí)素養(yǎng)提出了一定的要求.隨著具有高等數(shù)學(xué)背景高考題的頻繁涌現(xiàn)，以高觀點(diǎn)的視角來認(rèn)識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)顯得尤為重要，但仍不能忽視學(xué)生已有認(rèn)知，如果跨度太大會(huì)造成學(xué)生被動(dòng)參與的假象.因此本文從低起點(diǎn)出發(fā)對(duì)試題進(jìn)行研究，吸引學(xué)生參與互動(dòng)并逐步完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)，開拓思維，引導(dǎo)學(xué)生登上新的高度，實(shí)現(xiàn)低起點(diǎn)切入與高觀點(diǎn)完善的統(tǒng)一.

1 試題呈現(xiàn)

分析：本題涉及對(duì)極值點(diǎn)的屬性進(jìn)行深度挖掘，不能僅停留在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0這一特性上，對(duì)化歸思想和分類討論思想的要求較高.在此略去第一問.第二問參考答案是將函數(shù)極值點(diǎn)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，難度略大，本文中給出的另一種求解方法更便于理解.同時(shí)，若利用泰勒展開式與極值的第三充分條件，將會(huì)暴露出問題的本質(zhì).

2 題1解法探究

2.1 導(dǎo)數(shù)法

2.2 拉格朗日乘數(shù)法

2.3 琴生不等式

3 題2第（2）問解法探究

3.1 由極值點(diǎn)聯(lián)想單調(diào)性

部分學(xué)生遇到極值點(diǎn)問題時(shí)，會(huì)立馬想到導(dǎo)數(shù)值為0，但對(duì)極值點(diǎn)附近函數(shù)單調(diào)性的變化卻有所忽略.

3.2 泰勒公式與極值第三充分條件

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：97-98.

[2]呂夏雯.拉格朗日乘數(shù)法在高中數(shù)學(xué)中的改進(jìn)和應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航，2020（26）：13，20.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：147，154.