初中數學教學中與陰影部分的面積、周長有關的計算問題研究

【摘要】與圓中陰影部分有關的計算問題主要有三種模型，即陰影部分面積的計算、陰影部分周長的計算、陰影部分周長或面積的最值.這些模型主要考查學生的轉化思想與數形結合思想，考查扇形的面積公式、割補法、等面積轉化法和容斥原理等.文章先解讀上述三種模型，并結合經典例題談談與陰影部分的面積、周長有關的計算問題的解題策略，旨在為一線教師提供解題方法與教學參考.

【關鍵詞】圓；扇形；陰影部分；面積；周長；最值；解題策略

圓中陰影部分的面積或者周長的計算問題，是平面幾何計算題中的經典問題，也是中考常考的題型.這類試題通常需要作輔助線、技巧性較強，很多學生覺得比較困難.下面結合經典例題，給出與陰影部分的計算問題有關的三種模型的解題策略.

一、三種模型的解讀

模型1 陰影部分面積的計算

求陰影部分面積在考試中主要考查學生對圖形的理解和數形結合的認識能力，具有一定的難度.一般考試中選擇題或填空題型較多，熟練掌握扇形面積、弧長的計算、等邊三角形的判定和性質，特殊平行四邊形性質是解題的關鍵.求陰影部分面積的方法主要有：直接利用公式、構造和差法、等面積轉化法和利用容斥原理.

模型2 陰影部分周長的計算

模型3 與最值相關的計算

對于陰影部分面積或周長的最值問題，解題中注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用.解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉化為數學模型，把兩條線段的和轉化為一條線段.

二、三種題型及解題策略

1.陰影部分面積計算

陰影部分面積計算問題該題型主要以選擇、填空形式出現，或與綜合性大題結合考查，作為其中一問，難度系數不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉化為規則圖形的面積進行求解，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

解題策略：

第一步：確定弧所對的圓心（找圓心）；

第二步：連接圓心與弧上的點（連半徑）；

第三步：確定圓心角度數（有提示角度的話注意求解相應角，沒有提示角度的話一般為特殊角，大膽假設小心論證）；

第四步：把不規則圖形面積轉化為規則圖形面積進行求解.

例1 如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=6，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓分別與AB，AC邊相切于D，E兩點，求圖1中兩個陰影部分面積的和.

解 如圖2，連接OD，OE.

∵以O為圓心的半圓分別與AB，AC邊相切于D，E兩點，

∴OD⊥AB，OE⊥AC，

∵∠A=90°，∴四邊形ADOE是矩形.

又OD=OE，∴四邊形ADOE是正方形，

∴AD=DO=OE=AD，∠DOE=90°.

∵∠A=∠OEC=90°，∠ACB=∠ECO，

陰影部分弧長或周長計算問題主要以選擇、填空的形式出現，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查求與弧結合的不規則圖形的周長，準確應用弧長公式是解題的關鍵.

解題策略：

第一步：觀察圖形特點，確定弧長和線段長；

第二步：利用弧長公式求長度；

第三步：求圖形中其他邊的長度.

點評 本題考查了弧長的計算，關鍵是牢記弧長公式.由圖4可知，陰影部分的周長是兩個圓心角為90°、半徑為a的扇形的弧長，可據此求出陰影部分的周長.

3.與最值相關的計算

圓的弧長、面積與最值相關的計算主要考查轉化與化歸等的數學思想，難度較大.

解題策略：

第一步：觀察圖形特點，確定變量和不變的量（一般情況下弧長固定，線段長變化）

第二步：利用將軍飲馬或者“兩點之間線段最短”“點到直線距離垂線段最短”等知識點進行轉化

第三步：牢記弧長公式，求對弧長和線段長；

第四步：利用數形結合思想注意確定最值.

結 語

與陰影部分的面積或周長有關的計算問題，主要考查了勾股定理、圓心角定理、三角形及扇形的面積求法.對于面積或者周長的最值問題，討論動點的位置作輔助線把不規則圖形的面積轉化為規則圖形面積的和差是解題的關鍵.一線教師在日常教學中要善于引導學生去探索、歸納、總結這類試題的特點與解題策略，從而提高學生的解題能力與核心素養.

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