讓概念教學(xué)向著素養(yǎng)發(fā)力

【編者按】數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，它是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科知識的基本元素。數(shù)學(xué)概念具備的特性如抽象性、階段性等，使得概念教學(xué)存在許多誤區(qū)。圍繞促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，培養(yǎng)核心素養(yǎng)的大方向，需要對概念教學(xué)存在的問題、實施策略等作深入探究。本期圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)組織了三篇文章，以饗讀者。

【摘 要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為本，遵循兒童的認知規(guī)律，找到所教概念與核心素養(yǎng)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，做實和做好概念的形成過程，構(gòu)建好相關(guān)概念之間的邏輯聯(lián)系，從而讓概念教學(xué)向著素養(yǎng)發(fā)力。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 核心素養(yǎng) 概念形成 概念關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科知識的基本元素。掌握數(shù)學(xué)概念對學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和促進自身發(fā)展等都有著極其重要的意義。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）確立了以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程目標，其在“教學(xué)建議”中指出：充分發(fā)揮核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標對教學(xué)過程的指導(dǎo)作用，在實現(xiàn)知識進階的同時，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的進階。概念教學(xué)理應(yīng)聚焦這一目標，服務(wù)于這一目標。具體如何實施呢？筆者認為關(guān)鍵在于厘清概念與核心素養(yǎng)的內(nèi)在關(guān)系，做實和做好概念的形成過程，建構(gòu)概念間的相互關(guān)聯(lián)。

一、在分析概念的本質(zhì)中找到素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，它的形成過程伴隨著豐富的思維活動。我們需要對眾多的、具體的例子進行觀察與比較、分析與歸納、抽象與概括等，從而揭示概念。在這一系列活動中，人們需用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去思考，用數(shù)學(xué)的語言去表達，思維活動過程與核心素養(yǎng)如影隨形，因此，需要找到數(shù)學(xué)概念與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)。在教學(xué)某一概念前，教師應(yīng)深思：所教概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？這一概念對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)發(fā)展有何作用？它與哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有關(guān)聯(lián)……這樣分析和思考后，教師就會自覺地制訂和落實教學(xué)目標，有針對性地設(shè)計和實施教學(xué)活動，使概念教學(xué)向著素養(yǎng)發(fā)力。

就如在教學(xué)蘇教版（本文涉及教材均為蘇教版）五下“方程的意義”前，教師需弄明：方程的本質(zhì)是什么，僅是“像這樣含有未知數(shù)的等式”嗎？方程概念對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有何重要價值？在方程意義的教學(xué)中可以培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？等等。筆者認為，方程的本質(zhì)是“順”和“等”。所謂順，是指可以進行順向思考，且大多數(shù)人很容易想到列式所依據(jù)的數(shù)量關(guān)系等式。所謂等，是指兩個算式的數(shù)量必須相等。更進一步說，就是人們?yōu)榱私鉀Q問題，尤其是在解決需要進行逆向思考的問題時，利用很容易想到的數(shù)量關(guān)系等式，把未知數(shù)用數(shù)學(xué)符號表示，在已知數(shù)與未知數(shù)之間架設(shè)橋梁，把已知數(shù)和未知數(shù)連在一起，列出等式，從而方便地列式和解決問題。在方程概念的教學(xué)中，既可以培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，亦有助于模型意識、推理意識和應(yīng)用意識的成長。經(jīng)歷這樣的思考，在引入方程概念時，我們就會設(shè)計能體現(xiàn)方程價值的問題，讓學(xué)生嘗試解答。

二、在建構(gòu)概念的過程中培育素養(yǎng)

概念形成和概念同化是兒童獲得概念的兩種基本形式。概念的形成是指從大量的具體例證出發(fā)，通過歸納的方法提取一類事物的共同本質(zhì)屬性，從而獲得概念。其思維方式是從特殊到一般的歸納法，因而屬于合情推理范疇。概念同化與此相反。概念形成的學(xué)習(xí)類似于課堂教學(xué)的新授部分，是學(xué)生認知拓展的關(guān)鍵階段，顯得尤為重要。在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)概念大多依靠概念形成，它符合兒童的認知特點。為此，我們需要做實和做好概念的形成過程。

1. 激發(fā)需要。

在以往的教學(xué)中，部分教師會照本宣科，鮮少讓學(xué)生探明概念的形成過程，致使他們感到數(shù)學(xué)概念好像天生就是這樣的，沒有多少理由可講。在注重培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的當(dāng)下，需讓學(xué)生從源頭上了解概念的由來，激發(fā)定義的需要。

筆者在教學(xué)三上“認識長方形和正方形”中的長與寬這兩個概念時，設(shè)計了問題情境：一個櫥子被打碎了一面長方形鏡子，結(jié)果出現(xiàn)了四塊不同的碎片（如圖maD21mBydr3xMx5AYslr3A==1）。現(xiàn)在要重新配鏡，量哪塊碎片的哪些線段的長度可以準確且快速地知道鏡子原來是什么樣的，究竟有多大？

學(xué)生通過觀察、分析、比較和交流，發(fā)現(xiàn)：只有量①號碎片最外圍的兩條線段的長度才行。筆者讓學(xué)生依據(jù)①號進行想象，并畫圖還原，驗證猜想。這時，筆者再教學(xué)長方形的長和寬也就有理有據(jù)了。學(xué)生在比較中初步感悟到：鏡子最外圍的兩條鄰邊長度唯一確定了長方形的形狀和大小，有定義的需要。通過后續(xù)對長方形的周長和面積的學(xué)習(xí)，學(xué)生逐級感悟：（1）規(guī)定了長和寬便于計算長方形的周長和面積，能快速解決實際問題；（2）數(shù)學(xué)概念是人們根據(jù)需要規(guī)定的，但這個規(guī)定是合理且有意義的。這樣，學(xué)生就會對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生親近感，學(xué)會依據(jù)需要自主定義圖形中的關(guān)鍵點和線，為研究問題創(chuàng)設(shè)條件，應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識得以增強。

2. 逐級抽象。

數(shù)學(xué)概念是抽象的，而抽象是分層次的。小學(xué)生的思維正處于以形象思維為主逐步向抽象思維過渡的階段，因此他們的抽象思維具有很強的形象性。史寧中教授認為，數(shù)學(xué)的抽象通常要經(jīng)歷兩個主要階段：一是基于現(xiàn)實的，從感性具體上升到感性一般的思維過程；二是基于邏輯的，從理性具體上升到理性一般的思維過程。為此，概念教學(xué)要遵循學(xué)生認知發(fā)展的特點和思維發(fā)展的規(guī)律等，做到循序漸進，逐級抽象。

例如，五下“分數(shù)的意義”的教學(xué)。筆者從引導(dǎo)學(xué)生研究[14]的意義起，以喚醒學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，讓后續(xù)的抽象有“根”可依，有“根”可長。

筆者將研究過程匯成圖2，并問：“分的東西不一樣，為什么都可以用[14]來表示？”學(xué)生反饋：“它們都是把要分的對象平均分成4份，且都表示這樣的1份，所以都可以用[14]來表示。”筆者又問：“它們不同在哪里？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均分的對象不一樣。筆者順勢把均分的對象抽象成單位“1”。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出[14]的意義，并畫出圖3。這樣，學(xué)生對[14]的認識就逐步由感性具體上升到感性一般，建構(gòu)了[14]的意義模型，形成了準確且清晰的概念表象。

此時的[14]相對于具體的圖形和物體來說是一般的，但對于分數(shù)意義來說又是具體的、特殊的。要抽象概括出分數(shù)的意義，學(xué)生還需對多個具體的、不同的分數(shù)有準確且深刻的把握。因此，筆者又讓學(xué)生結(jié)合圖形和生活實例建構(gòu)起多個分數(shù)意義模型，并分別畫圖表示。這樣就使學(xué)生對這些分數(shù)的認識也由感性具體上升到感性一般。

以上活動對抽象和概括分數(shù)的意義來說，還是特殊的，屬于理性的具體，但豐富的理性具體為抽象和概括出理性一般奠定了堅實基礎(chǔ)。要從理性具體上升到理性一般，還需學(xué)生對多個具體的、具有一般化意義的分數(shù)進行集中觀察、分析、比較、抽象和概括。據(jù)此，筆者把上述認識的幾個分數(shù)匯總成圖4，讓學(xué)生嘗試概括分數(shù)的意義，學(xué)生大多能說對。這時，筆者再揭示分數(shù)的意義，學(xué)生也就能理解和接受了。

此外，筆者還啟發(fā)學(xué)生深入思考：回想一下，我們是怎樣研究并得到分數(shù)意義的？學(xué)生總結(jié)：是先研究一個分數(shù)的意義，再研究多個分數(shù)的意義，最后找出這些分數(shù)的共同點，從而得出所有分數(shù)的意義。學(xué)生從中學(xué)會了逐級抽象，在獲得了探究經(jīng)驗的同時，數(shù)感、推理意識和模型意識等素養(yǎng)亦得以提升。

3. 關(guān)注本質(zhì)。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)必須關(guān)注概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這對學(xué)生當(dāng)下和將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都具有重要意義。教師應(yīng)采取多種措施，幫助學(xué)生直抵概念本質(zhì)，準確理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲得對概念的深度理解，從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維。

在教學(xué)四下“三角形的穩(wěn)定性”時，筆者就沒有讓學(xué)生推拉由三根木條釘成的三角形，轉(zhuǎn)而讓學(xué)生用①、②、③三根木條圍三角形（圖5），看圍成的三角形的形狀和大小是否完全一樣。

一番操作過后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然所圍成的三角形擺放的位置不同，但如果讓同色的木條重合，所圍成的三角形是完全一樣的。筆者又讓學(xué)生另選三根長度固定的木條圍三角形，并比較它們的形狀和大小是否完全一樣。學(xué)生操作后發(fā)現(xiàn)，這三根木條所圍成的三角形的形狀和大小也完全一樣。為了進一步凸顯三角形的這一特性，筆者讓學(xué)生用四根木條圍四邊形，看所圍成的四邊形的形狀和大小是否完全一樣。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圍成的四邊形的形狀和大小各不相同，與三角形的情況不同。這時，筆者才揭示三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)含義，即一個三角形的三條邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小也就唯一確定了，并順勢介紹了三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用。學(xué)生在強烈的對比中，深刻理解了三角形具有穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解了生活中為什么有許多物體上有三角形的結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)了數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和實踐能力。

三、在構(gòu)建概念的關(guān)聯(lián)中發(fā)展素養(yǎng)

對各個概念的教學(xué)固然重要，但對相關(guān)概念之間關(guān)系的厘清更為關(guān)鍵。在教學(xué)某個概念時，教師要具備整體視角，從概念意義、形成過程等維度，找到概念之間的關(guān)聯(lián)，做到連點成線、連線成片、接片成網(wǎng)，以幫助學(xué)生將新概念納入原有的認知結(jié)構(gòu)中，形成科學(xué)和完善的概念體系，實現(xiàn)認知由要素層面向關(guān)系層面的提升，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

1. 構(gòu)建概念意義之間的關(guān)聯(lián)。

數(shù)學(xué)是一門具有嚴謹結(jié)構(gòu)體系的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識之間有著緊密的邏輯聯(lián)系。理解和掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系有利于學(xué)生系統(tǒng)地把握知識，達到《課程標準》所要求的“學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)”。為此，要從整體出發(fā)，用聯(lián)系的觀點，幫助學(xué)生找到相關(guān)概念間的內(nèi)在聯(lián)系。

在教學(xué)四下“認識梯形”后，為了凸顯所學(xué)的四邊形之間的相互關(guān)系，筆者設(shè)計了“剪圖形”活動。先出示一個畫在方格紙上的一般四邊形，讓學(xué)生說出其特征。接著，筆者啟發(fā)學(xué)生思考：只剪一刀，如何讓它變成我們學(xué)過的另一種稍特殊一點的四邊形？學(xué)生說：“只要剪出一組平行線，就變成梯形了。”學(xué)生剪出梯形后，筆者讓其說出梯形的特征。筆者繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生探究：只剪一刀，如何讓這個梯形變成我們學(xué)過的另一種稍特殊一點的四邊形？學(xué)生說：“再剪出一組平行線，梯形就變成平行四邊形了。”學(xué)生剪出平行四邊形后，筆者讓其說出平行四邊形的特征。下一步筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：只剪一刀，能讓這個平行四邊形變成長方形嗎？學(xué)生說：“不能，這樣只能剪出兩個直角，要剪兩刀才行。”學(xué)生剪出長方形后，筆者追問：“長方形與一般的平行四邊形之間存在怎樣的關(guān)系？”學(xué)生說：“長方形是特殊的平行四邊形，特殊在有四個直角。”接下來，筆者啟發(fā)學(xué)生深入思考：只剪一刀，如何讓此長方形變成正方形？學(xué)生說：“只要把長方形的鄰邊剪得相等。”在學(xué)生剪出正方形后，筆者啟發(fā)學(xué)生探究：“正方形與長方形比，有何特殊之處？”學(xué)生說：“正方形是四邊都相等的長方形。”筆者邊讓學(xué)生操作，邊出示特征，過程如圖6所示。

在上述過程中，學(xué)生能明顯體悟到所學(xué)四邊形之間內(nèi)在的、整體的關(guān)聯(lián)，體會到圖形是如何從一般到特殊的漸變過程，不僅建立了所學(xué)圖形的直觀概念和清晰表象，培養(yǎng)了空間觀念和幾何直觀，提升了幾何思維水平，還厘清了相互關(guān)系。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會用梯形的面積公式統(tǒng)一其他幾個直線圖形的面積公式，建立結(jié)構(gòu)化的內(nèi)在聯(lián)系，從而有力地發(fā)展了核心素養(yǎng)。此外，通過對操作活動的深層次思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個圖形的特征越多，這個圖形就越特殊，反之則越一般。

2. 構(gòu)建形成過程之間的關(guān)聯(lián)。

布魯納指出：用基本的、一般的觀念來不斷擴大和加深知識，應(yīng)當(dāng)成為教育過程的核心。一門課程在它的教學(xué)過程中，應(yīng)反復(fù)地回到這些基本觀念，直至學(xué)生掌握了與這些觀念相適應(yīng)的完全形式的體系為止。在概念教學(xué)中，教師還應(yīng)讓學(xué)生感悟到獲得相關(guān)概念的過程和步驟的相似性，感受其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的一致性，以便其遷移和運用這樣的活動經(jīng)驗去研究類似問題。

如教學(xué)四下“三角形、平行四邊形和梯形”這一單元，在起始課“認識三角形”中，就要在學(xué)生獲得三角形的概念后，讓學(xué)生回顧和反思獲得概念的過程，從中領(lǐng)悟到逐步抽象的過程和方法，從而學(xué)會數(shù)學(xué)抽象。在認識三角形時，是先從生活中找到許多不同形狀和大小的三角形，并把它們從物體面上畫下來（畫圖形）。然后對眾多的三角形進行集中觀察、分析和比較，從而找出它們的共同點：都有三條邊、三個角和三個頂點，都是由三條線段首尾相接圍成的（找特征）。接著，依據(jù)特征給三角形下定義（下定義）。最后，運用概念和特征進行判斷（用特征）。當(dāng)然，有時還要找到所學(xué)圖形與相關(guān)圖形之間的內(nèi)在關(guān)系（找聯(lián)系）。在探究特征時，都是從邊、點和角等方面去探究的，都是借助觀察、操作和比較等方法去研究的。這樣的認識過程和方法與三上“認識長方形與正方形”是一致的。

學(xué)生從中還會領(lǐng)悟到“認識圖形”中蘊含的數(shù)學(xué)思想，如分類、抽象和建模等。其實，分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，分類研究圖形特征的過程本質(zhì)上就是對圖形共性的抽象過程。多次經(jīng)歷上述認識活動過程和深入思考后，學(xué)生會逐步感悟到：為何要分類，如何分類；如何通過分類認識圖形的特征；如何區(qū)別不同圖形的不同特征；等等。他們在研究新的數(shù)學(xué)問題時，也會嘗試著借助分類來分析和解決問題。在教學(xué)后續(xù)的“認識平行四邊形”和“認識梯形”，甚至“認識立體圖形”時，就可啟發(fā)學(xué)生嘗試遷移和運用上述探究經(jīng)驗，有序地去探究圖形特征，從而形成一條“思想方法鏈”。學(xué)生從中學(xué)會如何進行數(shù)學(xué)思考，如何分類解決問題，其抽象意識和推理意識等就會大為增強。

（作者單位：江蘇省高郵實驗小學(xué)）

［1］鄭水忠.小學(xué)兒童學(xué)幾何[M].上海：上海教育出版社，2017.

［2］徐宏臻.經(jīng)歷抽象過程學(xué)會逐步抽象——“分數(shù)的意義”教學(xué)片斷與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（07/08）：93-95.

［3］劉兆偉，徐宏臻.在認識圖形中提升幾何思維水平——以“平行四邊形和梯形的認識”教學(xué)為例［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（19）：20-22.