讓概念教學(xué)向著素養(yǎng)發(fā)力

【編者按】數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，它是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科知識的基本元素。數(shù)學(xué)概念具備的特性如抽象性、階段性等，使得概念教學(xué)存在許多誤區(qū)。圍繞促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，培養(yǎng)核心素養(yǎng)的大方向，需要對概念教學(xué)存在的問題、實施策略等作深入探究。本期圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)組織了三篇文章，以饗讀者。

【摘 要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為本，遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，找到所教概念與核心素養(yǎng)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，做實和做好概念的形成過程，構(gòu)建好相關(guān)概念之間的邏輯聯(lián)系，從而讓概念教學(xué)向著素養(yǎng)發(fā)力。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 核心素養(yǎng) 概念形成 概念關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科知識的基本元素。掌握數(shù)學(xué)概念對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和促進(jìn)自身發(fā)展等都有著極其重要的意義。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）確立了以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程目標(biāo)，其在“教學(xué)建議”中指出：充分發(fā)揮核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)對教學(xué)過程的指導(dǎo)作用，在實現(xiàn)知識進(jìn)階的同時，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的進(jìn)階。概念教學(xué)理應(yīng)聚焦這一目標(biāo)，服務(wù)于這一目標(biāo)。具體如何實施呢？筆者認(rèn)為關(guān)鍵在于厘清概念與核心素養(yǎng)的內(nèi)在關(guān)系，做實和做好概念的形成過程，建構(gòu)概念間的相互關(guān)聯(lián)。

一、在分析概念的本質(zhì)中找到素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，它的形成過程伴隨著豐富的思維活動。我們需要對眾多的、具體的例子進(jìn)行觀察與比較、分析與歸納、抽象與概括等，從而揭示概念。在這一系列活動中，人們需用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去思考，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)，思維活動過程與核心素養(yǎng)如影隨形，因此，需要找到數(shù)學(xué)概念與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)。在教學(xué)某一概念前，教師應(yīng)深思：所教概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？這一概念對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)發(fā)展有何作用？它與哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有關(guān)聯(lián)……這樣分析和思考后，教師就會自覺地制訂和落實教學(xué)目標(biāo)，有針對性地設(shè)計和實施教學(xué)活動，使概念教學(xué)向著素養(yǎng)發(fā)力。

就如在教學(xué)蘇教版（本文涉及教材均為蘇教版）五下“方程的意義”前，教師需弄明：方程的本質(zhì)是什么，僅是“像這樣含有未知數(shù)的等式”嗎？方程概念對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有何重要價值？在方程意義的教學(xué)中可以培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？等等。筆者認(rèn)為，方程的本質(zhì)是“順”和“等”。所謂順，是指可以進(jìn)行順向思考，且大多數(shù)人很容易想到列式所依據(jù)的數(shù)量關(guān)系等式。所謂等，是指兩個算式的數(shù)量必須相等。更進(jìn)一步說，就是人們?yōu)榱私鉀Q問題，尤其是在解決需要進(jìn)行逆向思考的問題時，利用很容易想到的數(shù)量關(guān)系等式，把未知數(shù)用數(shù)學(xué)符號表示，在已知數(shù)與未知數(shù)之間架設(shè)橋梁，把已知數(shù)和未知數(shù)連在一起，列出等式，從而方便地列式和解決問題。在方程概念的教學(xué)中，既可以培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，亦有助于模型意識、推理意識和應(yīng)用意識的成長。經(jīng)歷這樣的思考，在引入方程概念時，我們就會設(shè)計能體現(xiàn)方程價值的問題，讓學(xué)生嘗試解答。

二、在建構(gòu)概念的過程中培育素養(yǎng)

概念形成和概念同化是兒童獲得概念的兩種基本形式。概念的形成是指從大量的具體例證出發(fā)，通過歸納的方法提取一類事物的共同本質(zhì)屬性，從而獲得概念。其思維方式是從特殊到一般的歸納法，因而屬于合情推理范疇。概念同化與此相反。概念形成的學(xué)習(xí)類似于課堂教學(xué)的新授部分，是學(xué)生認(rèn)知拓展的關(guān)鍵階段，顯得尤為重要。在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)概念大多依靠概念形成，它符合兒童的認(rèn)知特點。為此，我們需要做實和做好概念的形成過程。

1. 激發(fā)需要。

在以往的教學(xué)中，部分教師會照本宣科，鮮少讓學(xué)生探明概念的形成過程，致使他們感到數(shù)學(xué)概念好像天生就是這樣的，沒有多少理由可講。在注重培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的當(dāng)下，需讓學(xué)生從源頭上了解概念的由來，激發(fā)定義的需要。

筆者在教學(xué)三上“認(rèn)識長方形和正方形”中的長與寬這兩個概念時，設(shè)計了問題情境：一個櫥子被打碎了一面長方形鏡子，結(jié)果出現(xiàn)了四塊不同的碎片（如圖maD21mBydr3xMx5AYslr3A==1）。現(xiàn)在要重新配鏡，量哪塊碎片的哪些線段的長度可以準(zhǔn)確且快速地知道鏡子原來是什么樣的，究竟有多大？

學(xué)生通過觀察、分析、比較和交流，發(fā)現(xiàn)：只有量①號碎片最外圍的兩條線段的長度才行。筆者讓學(xué)生依據(jù)①號進(jìn)行想象，并畫圖還原，驗證猜想。這時，筆者再教學(xué)長方形的長和寬也就有理有據(jù)了。學(xué)生在比較中初步感悟到：鏡子最外圍的兩條鄰邊長度唯一確定了長方形的形狀和大小，有定義的需要。通過后續(xù)對長方形的周長和面積的學(xué)習(xí)，學(xué)生逐級感悟：（1）規(guī)定了長和寬便于計算長方形的周長和面積，能快速解決實際問題；（2）數(shù)學(xué)概念是人們根據(jù)需要規(guī)定的，但這個規(guī)定是合理且有意義的。這樣，學(xué)生就會對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生親近感，學(xué)會依據(jù)需要自主定義圖形中的關(guān)鍵點和線，為研究問題創(chuàng)設(shè)條件，應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識得以增強。

2. 逐級抽象。

數(shù)學(xué)概念是抽象的，而抽象是分層次的。小學(xué)生的思維正處于以形象思維為主逐步向抽象思維過渡的階段，因此他們的抽象思維具有很強的形象性。史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的抽象通常要經(jīng)歷兩個主要階段：一是基于現(xiàn)實的，從感性具體上升到感性一般的思維過程；二是基于邏輯的，從理性具體上升到理性一般的思維過程。為此，概念教學(xué)要遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的特點和思維發(fā)展的規(guī)律等，做到循序漸進(jìn)，逐級抽象。

例如，五下“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)。筆者從引導(dǎo)學(xué)生研究[14]的意義起，以喚醒學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，讓后續(xù)的抽象有“根”可依，有“根”可長。

筆者將研究過程匯成圖2，并問：“分的東西不一樣，為什么都可以用[14]來表示？”學(xué)生反饋：“它們都是把要分的對象平均分成4份，且都表示這樣的1份，所以都可以用[14]來表示。”筆者又問：“它們不同在哪里？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均分的對象不一樣。筆者順勢把均分的對象抽象成單位“1”。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出[14]的意義，并畫出圖3。這樣，學(xué)生對[14]的認(rèn)識就逐步由感性具體上升到感性一般，建構(gòu)了[14]的意義模型，形成了準(zhǔn)確且清晰的概念表象。

此時的[14]相對于具體的圖形和物體來說是一般的，但對于分?jǐn)?shù)意義來說又是具體的、特殊的。要抽象概括出分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生還需對多個具體的、不同的分?jǐn)?shù)有準(zhǔn)確且深刻的把握。因此，筆者又讓學(xué)生結(jié)合圖形和生活實例建構(gòu)起多個分?jǐn)?shù)意義模型，并分別畫圖表示。這樣就使學(xué)生對這些分?jǐn)?shù)的認(rèn)識也由感性具體上升到感性一般。

以上活動對抽象和概括分?jǐn)?shù)的意義來說，還是特殊的，屬于理性的具體，但豐富的理性具體為抽象和概括出理性一般奠定了堅實基礎(chǔ)。要從理性具體上升到理性一般，還需學(xué)生對多個具體的、具有一般化意義的分?jǐn)?shù)進(jìn)行集中觀察、分析、比較、抽象和概括。據(jù)此，筆者把上述認(rèn)識的幾個分?jǐn)?shù)匯總成圖4，讓學(xué)生嘗試概括分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生大多能說對。這時，筆者再揭示分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生也就能理解和接受了。

此外，筆者還啟發(fā)學(xué)生深入思考：回想一下，我們是怎樣研究并得到分?jǐn)?shù)意義的？學(xué)生總結(jié)：是先研究一個分?jǐn)?shù)的意義，再研究多個分?jǐn)?shù)的意義，最后找出這些分?jǐn)?shù)的共同點，從而得出所有分?jǐn)?shù)的意義。學(xué)生從中學(xué)會了逐級抽象，在獲得了探究經(jīng)驗的同時，數(shù)感、推理意識和模型意識等素養(yǎng)亦得以提升。

3. 關(guān)注本質(zhì)。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)必須關(guān)注概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這對學(xué)生當(dāng)下和將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都具有重要意義。教師應(yīng)采取多種措施，幫助學(xué)生直抵概念本質(zhì)，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲得對概念的深度理解，從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維。

在教學(xué)四下“三角形的穩(wěn)定性”時，筆者就沒有讓學(xué)生推拉由三根木條釘成的三角形，轉(zhuǎn)而讓學(xué)生用①、②、③三根木條圍三角形（圖5），看圍成的三角形的形狀和大小是否完全一樣。

一番操作過后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然所圍成的三角形擺放的位置不同，但如果讓同色的木條重合，所圍成的三角形是完全一樣的。筆者又讓學(xué)生另選三根長度固定的木條圍三角形，并比較它們的形狀和大小是否完全一樣。學(xué)生操作后發(fā)現(xiàn)，這三根木條所圍成的三角形的形狀和大小也完全一樣。為了進(jìn)一步凸顯三角形的這一特性，筆者讓學(xué)生用四根木條圍四邊形，看所圍成的四邊形的形狀和大小是否完全一樣。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圍成的四邊形的形狀和大小各不相同，與三角形的情況不同。這時，筆者才揭示三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)含義，即一個三角形的三條邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小也就唯一確定了，并順勢介紹了三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用。學(xué)生在強烈的對比中，深刻理解了三角形具有穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解了生活中為什么有許多物體上有三角形的結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)了數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和實踐能力。

三、在構(gòu)建概念的關(guān)聯(lián)中發(fā)展素養(yǎng)

對各個概念的教學(xué)固然重要，但對相關(guān)概念之間關(guān)系的厘清更為關(guān)鍵。在教學(xué)某個概念時，教師要具備整體視角，從概念意義、形成過程等維度，找到概念之間的關(guān)聯(lián)，做到連點成線、連線成片、接片成網(wǎng)，以幫助學(xué)生將新概念納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成科學(xué)和完善的概念體系，實現(xiàn)認(rèn)知由要素層面向關(guān)系層面的提升，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

1. 構(gòu)建概念意義之間的關(guān)聯(lián)。

數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)體系的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識之間有著緊密的邏輯聯(lián)系。理解和掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系有利于學(xué)生系統(tǒng)地把握知識，達(dá)到《課程標(biāo)準(zhǔn)》所要求的“學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)”。為此，要從整體出發(fā)，用聯(lián)系的觀點，幫助學(xué)生找到相關(guān)概念間的內(nèi)在聯(lián)系。

在教學(xué)四下“認(rèn)識梯形”后，為了凸顯所學(xué)的四邊形之間的相互關(guān)系，筆者設(shè)計了“剪圖形”活動。先出示一個畫在方格紙上的一般四邊形，讓學(xué)生說出其特征。接著，筆者啟發(fā)學(xué)生思考：只剪一刀，如何讓它變成我們學(xué)過的另一種稍特殊一點的四邊形？學(xué)生說：“只要剪出一組平行線，就變成梯形了。”學(xué)生剪出梯形后，筆者讓其說出梯形的特征。筆者繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生探究：只剪一刀，如何讓這個梯形變成我們學(xué)過的另一種稍特殊一點的四邊形？學(xué)生說：“再剪出一組平行線，梯形就變成平行四邊形了。”學(xué)生剪出平行四邊形后，筆者讓其說出平行四邊形的特征。下一步筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：只剪一刀，能讓這個平行四邊形變成長方形嗎？學(xué)生說：“不能，這樣只能剪出兩個直角，要剪兩刀才行。”學(xué)生剪出長方形后，筆者追問：“長方形與一般的平行四邊形之間存在怎樣的關(guān)系？”學(xué)生說：“長方形是特殊的平行四邊形，特殊在有四個直角。”接下來，筆者啟發(fā)學(xué)生深入思考：只剪一刀，如何讓此長方形變成正方形？學(xué)生說：“只要把長方形的鄰邊剪得相等。”在學(xué)生剪出正方形后，筆者啟發(fā)學(xué)生探究：“正方形與長方形比，有何特殊之處？”學(xué)生說：“正方形是四邊都相等的長方形。”筆者邊讓學(xué)生操作，邊出示特征，過程如圖6所示。

在上述過程中，學(xué)生能明顯體悟到所學(xué)四邊形之間內(nèi)在的、整體的關(guān)聯(lián)，體會到圖形是如何從一般到特殊的漸變過程，不僅建立了所學(xué)圖形的直觀概念和清晰表象，培養(yǎng)了空間觀念和幾何直觀，提升了幾何思維水平，還厘清了相互關(guān)系。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會用梯形的面積公式統(tǒng)一其他幾個直線圖形的面積公式，建立結(jié)構(gòu)化的內(nèi)在聯(lián)系，從而有力地發(fā)展了核心素養(yǎng)。此外，通過對操作活動的深層次思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個圖形的特征越多，這個圖形就越特殊，反之則越一般。

2. 構(gòu)建形成過程之間的關(guān)聯(lián)。

布魯納指出：用基本的、一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識，應(yīng)當(dāng)成為教育過程的核心。一門課程在它的教學(xué)過程中，應(yīng)反復(fù)地回到這些基本觀念，直至學(xué)生掌握了與這些觀念相適應(yīng)的完全形式的體系為止。在概念教學(xué)中，教師還應(yīng)讓學(xué)生感悟到獲得相關(guān)概念的過程和步驟的相似性，感受其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的一致性，以便其遷移和運用這樣的活動經(jīng)驗去研究類似問題。

如教學(xué)四下“三角形、平行四邊形和梯形”這一單元，在起始課“認(rèn)識三角形”中，就要在學(xué)生獲得三角形的概念后，讓學(xué)生回顧和反思獲得概念的過程，從中領(lǐng)悟到逐步抽象的過程和方法，從而學(xué)會數(shù)學(xué)抽象。在認(rèn)識三角形時，是先從生活中找到許多不同形狀和大小的三角形，并把它們從物體面上畫下來（畫圖形）。然后對眾多的三角形進(jìn)行集中觀察、分析和比較，從而找出它們的共同點：都有三條邊、三個角和三個頂點，都是由三條線段首尾相接圍成的（找特征）。接著，依據(jù)特征給三角形下定義（下定義）。最后，運用概念和特征進(jìn)行判斷（用特征）。當(dāng)然，有時還要找到所學(xué)圖形與相關(guān)圖形之間的內(nèi)在關(guān)系（找聯(lián)系）。在探究特征時，都是從邊、點和角等方面去探究的，都是借助觀察、操作和比較等方法去研究的。這樣的認(rèn)識過程和方法與三上“認(rèn)識長方形與正方形”是一致的。

學(xué)生從中還會領(lǐng)悟到“認(rèn)識圖形”中蘊含的數(shù)學(xué)思想，如分類、抽象和建模等。其實，分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，分類研究圖形特征的過程本質(zhì)上就是對圖形共性的抽象過程。多次經(jīng)歷上述認(rèn)識活動過程和深入思考后，學(xué)生會逐步感悟到：為何要分類，如何分類；如何通過分類認(rèn)識圖形的特征；如何區(qū)別不同圖形的不同特征；等等。他們在研究新的數(shù)學(xué)問題時，也會嘗試著借助分類來分析和解決問題。在教學(xué)后續(xù)的“認(rèn)識平行四邊形”和“認(rèn)識梯形”，甚至“認(rèn)識立體圖形”時，就可啟發(fā)學(xué)生嘗試遷移和運用上述探究經(jīng)驗，有序地去探究圖形特征，從而形成一條“思想方法鏈”。學(xué)生從中學(xué)會如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，如何分類解決問題，其抽象意識和推理意識等就會大為增強。

（作者單位：江蘇省高郵實驗小學(xué)）

［1］鄭水忠.小學(xué)兒童學(xué)幾何[M].上海：上海教育出版社，2017.

［2］徐宏臻.經(jīng)歷抽象過程學(xué)會逐步抽象——“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)片斷與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（07/08）：93-95.

［3］劉兆偉，徐宏臻.在認(rèn)識圖形中提升幾何思維水平——以“平行四邊形和梯形的認(rèn)識”教學(xué)為例［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（19）：20-22.