“三全育人”背景下概率統計課程的教學案例

摘要：隨著社會的進步和科技的發展，“概率論與數理統計”是一門強調實踐應用的大學數學類公共基礎課程，其教學研究值得我們不斷思考。本文立足“三全育人”工作格局，以概率統計中經典內容貝葉斯公式為例，在課堂教學設計過程中，引導學生以問題驅動的形式思考和分析問題。融入思政元素，踐行“三全育人”理念，提高學生應用概率論與數理統計知識解決實際問題的能力，實現德育目標，達到知識傳授與價值塑造的雙層目標。

關鍵詞：概率統計；三全育人；貝葉斯公式

Abstract：Withtheprogressofsocietyandthedevelopmentoftechnology，thecourse"ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics"，asahighlyappliedpublicbasiccourseinuniversitymathematics，deservesourcontinuousreflectiononitsteachingresearch.Thisarticleisbasedontheworkpatternof"comprehensiveeducation"，takingtheclassiccontentof"probabilityandstatistics"asanexample，andguidingstudentstothinkandanalyzeproblemsinaproblemdrivenmannerintheprocessofclassroomteachingdesign.Integratingideologicalandpoliticalelements，practicingtheconceptof"comprehensiveeducation"，improvingstudents'ability&nb58912c60cc2735be0c5739cfc7da1e81d5ecae810eea07990c6adf116c9a204bsp;toapplyprobabilitytheoryandeducationalstatisticsknowledgetosolvepracticalproblems，achievingmoraleducationgoals，andachievingadualgoalofknowledgetransmissionandvalueshaping.

Keywords：ProbabilityTheoryandMathematicalideologicalandpolitical；Threefulleducation；Bayesformula

習近平總書記在2016年12月全國高校思想政治工作會議上的講話中指出：“要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人，努力開創我國高等教育事業發展新局面。”［12］。2020年4月，《教育部等八部門關于加快構建高校思想政治工作體系的意見》印發，明確提出“以建立完善全員、全程、全方位育人體制機制為關鍵”［3］。中國的設計教育需要牢牢把握立德樹人的核心使命，深入挖掘并發揮中國特色社會主義教育的獨特育人價值，以社會主義核心價值觀作為行動指南，以全面提升人才培養質量為核心，確保思想政治工作體系與高等院校的教學體系相互融合、相互貫通。

概率論與數理統計（簡稱“概率統計”）是專注于探究隨機事件及其統計規律的一門數學學科。通過本課程的學習，旨在幫助學生掌握概率統計的基礎知識，以便他們能夠初步掌握處理隨機現象的基本思想和方法，并具有運用統計方法解決實際問題的能力。在全面推進“三全育人”的教育背景下，概率統計課程的教學需要注重培養學生的實際應用能力和綜合素質。基于此，在教學過程中，筆者以貝葉斯公式為例，將思政教育有效融入課程教學，在發揮概率統計課程隱性育人功能的同時，使學生的創新能力得到普遍提升。

1教學設計

1.1教學背景

貝葉斯公式在概率統計中占有重要地位，它被廣泛應用于各種領域，如科學、技術、醫學等。貝葉斯公式是在“條件概率、全概率公式”概念提出的前提下，從已知結果事件的概率推算未知復雜原因事件概率的內容。它是處理“逆向概率”問題，即已知結果，反推原因的概率問題。

1.2學情分析

（1）學生的知識現狀分析。學生在上一節課已經學習了條件概率、乘法公式和全概率公式，這些知識為本節課深入學習貝葉斯公式打下了堅實的基礎。然而，對學生而言，貝葉斯公式理解起來存在一定的難度。因此，在教學過程中，筆者會提前對所需知識進行復習和鞏固，以確保學生能夠更好地掌握和理解貝葉斯公式的內涵和應用。

（2）學生應用層面分析。首先，盡管學生可以復述公式，但在面對真實問題時，他們往往不知道如何應用貝葉斯公式。學生缺乏對數據和信息的分析和處理能力，這使得他們難以將實際問題轉化為數學模型。因此文中采用了貼近生活的實例進行分析。其次，將貝葉斯公式應用于實際問題時，學生需要面對復雜的數據處理和模型構建問題，這要求他們具備較高的實踐能力和創新思維。根據學生的認知水平和學習背景，采用循序漸進的教學策略，從基本概念入手，逐步深入公式的推導和應用。

（3）情感價值觀分析。由于公式本身的復雜性，學生可能會在學習過程中產生挫敗感，影響其持續學習的動力。在教學過程中，將從簡單易懂的生活實例開始，逐步引導學生進入學習狀態，從而增強他們學習的自信心。

1.3教學目標

（1）知識目標：理解貝葉斯公式的含義及其應用背景。掌握貝葉斯公式的計算方法，能夠根據已知條件進行概率計算。理解貝葉斯公式的條件概率和全概率之間的關系，借助貝葉斯公式進行實際問題的解決。

（2）能力目標：通過實例演示，學生了解貝葉斯公式的應用場景和重要性；通過數學推導，學生掌握貝葉斯公式的計算方法和步驟；通過小組討論和案例分析，培養學生將實際問題轉化為數學問題并解決的能力。

（3）思政目標：將“思政元素”融入專業課堂。通過貝葉斯公式的學習，培養學生的科學精神和探索創新能力，引導學生積極參與討論和實踐，激發他們的創新思維和解決問題的能力；有助于培養學生的誠信意識和社會主義核心價值觀，進一步培養他們的社會責任感和使命感。

1.4教學重點

（1）理解、掌握貝葉斯公式。

（2）貝葉斯公式的條件概率和全概率之間的關系。

1.5教學難點

條件概率和全概率之間的關系以及在實際應用中，確定是由因求果（全概率公式），還是執果索因（貝葉斯公式）。貝葉斯公式的核心在于通過先驗概率和新的觀測數據來更新后驗概率，這一過程涉及復雜的邏輯推理和數學計算，可能使學生感到困惑。

1.6思路設計（見圖1）

2教學過程

2.1問題引入

案例：測謊儀是用來檢測一個人是否說謊的儀器，經常被用于征兵、安全部門的篩查、偵破、訴訟等領域。

問題：如何從概率的角度來說明當測謊儀顯示他說謊時，他真的說謊了嗎？

2.2舊知回顧

（1）條件概率公式：

P（B|A）=P（AB）P（A）

（2）概率的乘法公式：

P（AB）=P（B|A）P（A）=P（A|B）P（B）

（3）全概率公式：

P（A）=∑ni=1P（A|Bi）P（B）

值得注意的是乘法公式中，這兩個公式如何來選取呢？就看A和B是誰先發生。如果B事件先與A事件發生，就采用前者。如果A事件先于B事件發生，就采用后者。全概率公式解決的是由因求果的問題，也就是已知原因發生的概率，探求結果發生的概率。知道每一個原因發生的概率，再知道每一種原因發生條件下，結果發生了條件概率，然后每一種原因導致結果發生的概率加權求和，就得到了全概率公式。其基本思想就是化繁為簡，化整為零，分而治之，各個擊破。

2.3新知探索

用客觀的新信息更新我們最初關于某個事物的信念后，我們就會得到一個新的、改進了的信念。

全概率公式：

全盤考慮所有導致事件B發生的原因，由因求果。

貝葉斯公式：

P（Ai|B）——條件概率，執果索因。

（1）貝葉斯（Bayes）公式定義：

設A1A2，…An為樣本空間Ω的一個劃分，即：

∪niAi=Ω，且AiAj=，i≠j，i，j=1.2.…，n.

對任意事件BΩ，P（B）＞0，則：

P（Ai|B）=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj），i=1，2，…n.

英國數學家貝葉斯（ThomasBayes）提出了一個重要研究成果——貝葉斯公式。貝葉斯主要研究概率論，并且成功地將歸納推理法融入概率基礎理論中，進而形成了貝葉斯統計理論。貝葉斯在概率論領域有頗深的研究。經過多年的發展和精進，貝葉斯公式的核心理念已經深化并拓展為一套完整且系統的統計推斷方法論——“Bayes方法”。

（2）對貝葉斯公式的證明：

證明：因為A1A2，…An為樣本空間的一個劃分，由全概率公式得：

P（B）=∑ni=1P（B|Ai）P（Ai）

由條件概率公式：

P（Ai|B）=P（AiB）P（B）

=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj）

（3）對貝葉斯公式的說明：

①把事件B看成某一過程的結果，而A看成該過程中導致這一結果發生的所有可能原因。根據以往的資料，每一個原因發生的概率是已知的，而且每一個原因對結果的影響程度也是已知的。如果已知結果B發生的情況下，要求此時由第i個原因所引起的概率，那么就可以用這個貝葉斯公式了。也就是說，貝葉斯公式解決的是由果索因的問題。

②貝葉斯公式的本質：貝葉斯公式的本質是在已知某個觀測結果的情況下去更新某個原因的概率。貝葉斯公式可以用乘法公式和全概率公式來展開條件概率公式中的分子和分母，從而得到更準確的概率估計。貝葉斯公式的另一個重要特點是它考慮了先驗概率，即在觀測結果發生之前的原因的概率，從而在更新概率時能夠考慮到歷史數據和經驗信息。這正是貝葉斯理論的核心思想，就是用后驗概率迭代更新先驗概率。

2.4問題解決

案例：檢測人說謊時正確檢測的概率為0.88，檢測人沒有說謊時誤判的概率為0.14。大部分人比較誠實，說謊概率設為0.01；把嫌疑犯的說謊概率設為0.6。比較不同人群測謊儀測謊結果的可信度。

分析：

解：已知P（B|A）=0.88，P（B|A）=0.14

對大部分人P（A）=0.01

由貝葉斯公式：

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.01×0.880.01×0.88+0.99×0.14

≈0.06

對于嫌疑犯P（A）=0.06

由貝葉斯公式：

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.6×0.880.6×0.88+0.4×0.14

≈0.904

由上知：先驗概率P（A）=0.01P（A）=0.06

后驗概率P（A|B）≈0.06P（A|B）≈0.904

故測謊儀并不適用于普通人，但對特殊人群還是可信的。初始概率越準確，就能越容易、越快速地得到真實的概率。

2.5應用舉例

例題“三人成虎”是一個古老的成語，意思是三個人謊報集市里有老虎，聽者就信以為真。這個成語實際上是一個典型的貝葉斯公式應用的案例。

假設集市上出現老虎的概率是P（A）=a，每個人對此事（出現老虎）說真話的可能為P（B）=b（這里假設每人說真話的概率相同，當然，概率不同的話也是一樣的道理，為了簡化后面的推導，就這么假設），考慮以下幾件事件的概率：

（1）有一個人說市集上有老虎，而確實有老虎的概率：P1=P（A|B1）；

（2）有兩個人說市集上有老虎，確有老虎的概率：P2=P（A|B1B2）；

（3）有n個人說市集上有老虎，確有老虎的概率：Pn=P（A|B1B2…Bn）。

解：（1）由貝葉斯公式：

P1=P（A|B1）

=P（A）P（B1|A）P（A）P（B1|A）+P（A）P（B1|A）

=abab+（1－a）（1－b）

（2）由貝葉斯公式和條件獨立：

P2=P（A|B1B2）

=P（A）P（B1B2|A）P（A）P（B1B2|A）+P（A）P（B1B2|A）

=P（A）P（B1|A）P（B2|A）P（A）P（B1|A）P（B2|A）+P（A）P（B1|A）P（B2|A）

=ab2ab2+（1－a）（1－b）2

（3）類似地，我們可得：

Pn=P（A|B1B2…Bn）=abnabn+（1－a）（1－b）n

分析：

集市出現老虎可看作小概率事件，假設為11000概率發生，陳述者說實話的概率為90%，則上述：

（1）P1=0.0089，可信度低。

（2）P3=0.075，還是不可信。

（3）P3=0.42，這時候作為君主就不可以忽略這種概率。

當然，上面一切討論的前提是這n個人相互獨立，沒有合伙坑人，這個時候國君是有理由相信市集上有老虎的。這個問題也說明了指證罪人的可行性，也告誡我們“事不過三”。

2.6知識小結

在實際應用中，我們通常需要計算某個未知參數的后驗概率。這可以通過將先驗概率、似然函數和歸一化常數代入貝葉斯公式來實現。

（1）確定先驗概率P（A）；

（2）計算似然函數P（B|A）；

（3）計算后驗概率P（A|B）。

希望通過本文，同學們能從知識目標、能力目標和思政目標這三個方面有所收獲。其中貝葉斯公式以及建模過程是重點，貝葉斯思想以及模型的應用是難點。

3教學反思

3.1思政元素

（1）踐行社會主義核心價值觀：誠信。大學生教育中，誠信教育尤為重要。當代大學生當以誠信贏得信任和尊重，實現個人和事業的雙贏?？鬃诱f：“人而無信，不知其可也。大車無輗，小車無軏，其何以行之哉?！笨梢?，信用是個人成功和社會和諧的重要基石。

（2）要有“學無止境”的精神。貝葉斯方法的核心在于利用已知信息更新對未知事物的認識，這與“學無止境”的精神不謀而合。持之以恒的學習態度使我們能夠不斷地適應環境的變化，以此提升自己的能力和見識。

3.2教學思考

貝葉斯公式是概率統計中的一個重要內容，它為人們提供了在不確定條件下進行推理和決策的方法。在教學過程中，筆者注重將貝葉斯公式的數學原理與實際應用相結合，通過案例分析、小組討論等形式，引導學生理解貝葉斯公式的應用價值。同時，筆者積極探索如何將思政元素自然地融入教學中，融入思政元素的教學方法和互動式學習方式能夠有效提高學生的思政意識?？傊?，在貝葉斯公式的教學過程中應注重理論與實踐相結合、循序漸進地引導學生深入理解和掌握這一概念，同時鼓勵學生積極思考和探索將貝葉斯公式應用于實際問題中的方法和策略。

結語

在課程思政理念下，教師要把“德育”看作教育的根本任務，更新觀念深入挖掘，以數學學科知識為載體，發揮數學育人的特殊作用，促進學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀?！案怕收撆c數理統計”是一門強調實踐應用的大學數學類公共基礎課程，其課程思政元素的融入設計、這些設計在實際教學中的有效應用，以及思政元素在課堂中的具體實施策略，都是值得我們深入探討和研究的重要課題。

參考文獻：

［1］習近平在全國高校思想政治工作會議上強調把思想政治工作貫穿教育教學全過程開創我國高等教育事業發展新局面［N］.人民日報，20161209（1）.

［2］唐紫薇，成立.課程思政在內分泌學教學中的應用研究［J］.現代醫藥衛生，2023，39（13）：23152318.

［3］教育部等八部門關于加快構建高校思想政治工作體系的意見［J］.中華人民共和國教育部公報，2020（04）：2327.

基金項目：國家自然科學基金項目（12101265）

*通訊作者：趙春香（1989—），女，漢族，山東單縣人，博士，助理研究員，碩士生導師，研究方向：無窮維動力系統。