利用數學分析的思想方法解決中學數學問題的途徑探究

摘要：本文通過研究數學分析的相關概念和思想方法，與中學數學相對應的部分進行對比，探究利用數學分析的思想方法解決高中數學問題的途徑，有利于豐富目前的高中數學解題方法和技巧，同時可促進數學分析課程的教學改革。

關鍵詞：數學分析；高中數學；解題技巧

AnExplorationoftheApproachtoSolvingHighSchoolMathematics

ProblemsUsingtheIdeologicalMethodsofMathematicalAnalysis

JinYingying1*GaoPeng2

1.DepartmentofGeneralRequiredCourses，GuangzhouPanyuPolytechnicGuangdongGuangzhou511487；

2.SchoolofCivilEngineering，GuangzhouPanyuPolytechnicGuangdongGuangzhou511487

Abstract：Thispaper&527124024a35495eb778af80316a7f40nbsp;conductsastudyontherelatedconceptsandideologicalmethodsofmathematicalanalysisandcomparesthemwiththecorrespondingpartsofhighschoolmathematics.Theexplorationintotheuseoftheideologicalmethodsofmathematicalanalysistosolvehighschoolmathematicsproblemscanenrichthecurrentmethodsandtechniquesforsolvingproblemsinhighschoolmathematicsandmayalsopromoteteachingreformsinthecours3b67ac18fd6f8b9d616cbc175b6f46edeofmathematicalanalysis.

Keywords：MathematicalAnalysis；HighSchoolMathematics；ProblemsolvingTechniques

數學分析為數學專業學生的最重要的專業課程之一。近年來，一些數學系師范生有一種片面的觀點，認為他們在大學階段學習的數學師范類主干課程與中學數學沒有多大關系。事實上，中學數學是數學師范類主干課程的基礎和開端，而數學師范類主干課程是中學數學的深化和擴展。對于數學系師范生來說，學習好數學分析這類數學師范類相關主干課程是至關重要的。數學師范類主干課程對于中學數學的教學有極大的幫助，而中學數學的教學也離不開數學師范類主干課程的輔助。數學分析通常指以微積分學和無窮級數一般理論為主要內容，并包括它們的理論基礎（實數、函數和極限的基本理論）的一個較為完整的數學學科。數學分析研究的主要方面是關于微積分學的研究，微積分學的理論基礎是極限理論，而極限理論的理論基礎是實數理論［1］。正是在討論函數的各種極限運算的合理性的過程中，數學家們一步步建立起嚴密的數學分析理論體系。中學數學就是對應于我們在中學時期所進行的數學教育與探究。通過在數學活動中不斷加深數學感，培養數學能力和數學思維。本文通過研究數學分析的相關概念和思想方法，探究對應的中學數學的概念和思想方法，從一元函數微分學、微分中值定理、條件極值、求曲線的漸近線、求立體圖形的切線（切平面）與法線（法平面）方程這五方面的應用來探索利用數學分析方法解決中學數學問題的途徑。

1一元函數微分學的應用

1.1利用求導判斷函數單調性

在判斷函數的單調性方面，中學數學中用在判斷函數的單調性的定義法機械且繁雜，遇到復雜的計算很難由定義法來判斷函數的單調性。數學分析中通過求導判斷一元函數的單調性相對計算簡便。

例1［4］：證明：f（x）=3x+1在（-∞，+∞）上嚴格遞增。

證明：由f（x）=3x+1，故當x∈（-∞，+∞）時，f′（x）=3＞0；因為當x∈（-∞，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數，所以f（x）=3x+1在（-∞，+∞）上嚴格遞增。

1.2利用求導求函數的極值

在中學數學階段，極值問題往往需要靈活運用一些基本不等式（如平均值不等式），并需要一定的解題技巧才能解出。而在數學分析本科階段，通過一元函數微分學方法的使用，對函數進行求導可以輕易得到函數的極值性質。在此處可以看出使用一元函數微分學解法去解答部分中學數學題目顯得更為快捷。

例2：求f（x）=x2+128x的極值。

解：當x≠0時，f′（x）=2x-128x2=2x3－128x2。

令f′（x）=0，即f′（x）=2x3－128x2=0，解得x=4，即f（x）=x2+128x的穩定點為x=4。

又因為f″（x）=2+256x3，即f″（4）=2+25643=6＞0。

由極值的第二充分條件，x=4為f（x）=x2+128x的極小值點，即極小值f（4）=42+1284=48。

所以f（x）=x2+128x的極小值為48。

2微分中值定理的應用

利用微分中值定理證明不等式與等式。對于一些中學數學相關不等式的證明，若通過中學數學所學的相關知識證明的話，通常需用到相應的基本不等式，而且證明思路也不是太明朗。我們可以使用數學分析里的拉格朗日中值定理可以快捷地證實此類題目。使用數學分析里的微分中值定理，此題的思路一目了然，證明過程簡單。因此，在解題過程中千萬不要沉迷于中學數學這個范圍，有時跳出一定的知識面問題或許會豁然開朗。

例1：［4］證明不等式：b－ab＜lnba＜b－aa，其中0＜a＜b。

證明：設f（x）=lnx，則由拉格朗日中值定理得：

f（b）-f（a）=f′（$）（b-a）

則得：lnb-lna=1$（b-a），其中0＜a＜$＜b，即lnba=b－a$；

又因為0＜a＜$＜b，所以不等式：b－ab＜lnba＜b－aa成立。

例2：證明：arctanx+arccotx=π2，x∈R。

證明：因為x∈R，由拉格朗日中值定理得：

（arctanx+arccotx）′=11+x2－11+x2=0

所以（arctanx+arccotx）′=C（C為常數）。

又因為：

y=arctanx，定義域為（－∞，+∞），值域為－π2，π2；

y=arccotx，定義域為（－∞，+∞），值域為（0，π）。

令x=0，則arctan0+arccot0=π2=C，所以C=π2。

所以arctanx+arccotx=π2，x∈R成立。

初讀此題，用中學數學知識解題的話，很難想出思路，甚至于即便知道（arctanx+arccotx）′=C（C為常數），也不知道如何繼續證明下去。但是如果這里的恒等式證明用數學分析中的微分中值定理證明的話，此題會迎刃而解。由此看來，學習好數學分析這門專業課程有利于數學系師范生更好地進行中學數學的教育。

3條件極值的應用

求解用料最省的相關應用題時，使用中學知識可以用數形結合等方法來解。但是如果用數學分析的條件極值方法解答此類問題別有新意，能增添我們的數學發散思維，而且使用條件極值的相關方法來解答，節省了大部分計算量，顯得簡潔。

例：［4］要修造一個容量為V的長方形開口水箱，試問水箱的長、寬、高各為多少時，其表面積最小？

解：設長方形開口水箱的長、寬、高分別為x、y、z（x＞0，y＞0，z＞0）。

則得長方形開口水箱的表面積S=2（xz+yz）+xy。

又可得長方形開口水箱的體積V=xyz，即xyz-V=0。

此題實際上即求解函數S=2（xz+yz）+xy在前提xyz-V=0與x＞0，y＞0，z＞0下的最小值。

則設所求問題的拉格朗日函數是：

L（x，y，z，λ）=2（xz+yz）+xy+λ（xyz-V）

對L分別求偏導數，并令其等于0，則得：

LX=2z+y+λyz=0Ly=2z+x+λxz=0

LZ=2（x+y）+λxy=0Lλ=xyz－V=0

由上面四個式子聯立，解得：

x=y=2z=32V，λ=－432V

由此得長方形開口水箱在條件xyz-V=0與條件x＞0，y＞0，z＞0下確實存在最小值。

所以當高為3V4，長與寬都為高的2倍時，即長與寬都為23V4，其表面積最小，且表面積最小值為：

S=2（xz+yz）+xy=3（2V）23

4求曲線的漸近線的應用

求解曲線的漸近線表達式一向是中學數學的熱門研究內容，高考歷年多考察計算曲線的漸近線表達式。在中學數學的范圍中，我們可以通過一系列的聯立曲線方程組的計算來求得曲線的漸近線方程，但是這種運算的計算量實在過大。遇到某些求曲線的漸近線方程的題目，我們其實可以考慮數學分析中的極限思想來求解，這樣可以大大地減輕我們求解時所做的運算量。

例：求雙曲線x225-y216=1的漸近線方程。

解：雙曲線x225-y216=1可化為y=±45x2－25。

該漸近線的斜率k為f（x）x=±45x2－25x→±45（x→∞），即得k=±45。

在Y軸上的截距b為f（x）-kx=±45x2－2545x→0（x→∞）。

所以該雙曲線x225-y216=1的漸近線方程為y=±45x。

5求立體圖形的切線（切平面）與法線（法平面）方程的應用

在中學數學的一些復雜立體圖形的題目中，很多時候都要求我們計算這個立體圖形的切線（切平面）與法線（法平面）方程。在中學數學階段中，我們只有用幾何法或者向量法來解決此類題目，但是幾何法要求過高的空間想象能力，而向量法往往伴隨著很大的計算量。如果我們遇到一些需要求立體圖形的切線（切平面）與法線（法平面）方程，此時我們不妨如此題般考慮下能否用隱函數（組）定理求解，從而達到化簡計算量的目的。

例：［4］計算球面x2+y2+z2=50與錐面x2+y2=z2所截出的曲線的點（3，4，5）處的切線和切平面方程。

解：設F（x，y，z）=x2+y2+z2-50，F（x，y，z）=x2+y2-z2。

它們在點（3，4，5）處的偏導數和雅克比行列式之值為：

Fx=6，Fy=8，Fz=10，

Gx=6，Gy=8，Gz=-10

與（F，G）（y，z）=-160，（F，G）（z，x）=120，（F，G）（x，y）=0

所以，曲線在點（3，4，5）處的切線方程為：

x－3－160=y－4120=z－50

即：

3（x－3）+4（y－4）=0

z=5

其法平面方程為-4（x-3）+3（y-4）+0（z-5）=0。

化簡得4x-3y=0。

所以球面x2+y2+z2=50與錐面x2+y2=z2所截出的曲線的點（3，4，5）處的切線方程為：3（x－3）+4（y－4）=0

z=5；其法平面方程為：4x-3y=0。

結語

數學分析對于中學數學的理解與運用能力有極大的幫助，而中學數學的理解與運用能力的提高也離不開數學分析的輔助。數學分析等數學師范類主干課程是在中學數學的基礎上進行更深刻的研究，是中學數學的深化。而中學數學則通過講述基本數學概念來加強我們的數學素養，是數學分析等大學主干課程的基礎。數學分析等數學師范類主干課程在內容上是中學數學的延續與擴充，在解法上是中學數學的深入與擴展，在思維上是中學數學的深入與探究。本文通過研究數學分析這類數學師范主干課程的相關概念和思想方法，與中學數學相對應的部分進行對比，探究利用數學分析的思想方法解決高中數學問題的途徑，一方面有利于豐富目前的高中數學解題方法和技巧，另一方面，以提高數學師范生的畢業后的教學能力為導向，可促進數學分析課程的教學改革。

參考文獻：

［1］包崇胡.數學分析思想在中學數學解題中的應用［J］.數理天地（高中版），2022（14）：4849.

［2］何經剛.淺談提高學生數學分析能力的策略［J］.安徽教育科研，2022（14）：6667.

［3］何天榮.數學分析課程中導數單元的教學實施及反思改進——以麗江師范高等專科學校數學教育專業為例［J］.教師，2022（14）：3638.

［4］華東師范大學數學系編.數學分析（上、下冊）［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001.

［5］金迎迎，謝利紅.從數學文化角度探討空間解析幾何的思政元素［J］.科教導刊電子版（上旬），2021（8）：213214.

［6］金迎迎，謝利紅.數學軟件在《空間解析幾何》課程實踐教學中的探索［J］.內蒙古煤炭經濟，2021（13）：209211.

基金項目：廣州市高等學校教育教學改革一般項目（生源多樣化背景下基于藍墨云班課的翻轉課堂實踐研究——以高等數學課程為例，項目編號：2022JXGG124）資助

*通訊作者：金迎迎（1982—），女，河南洛陽人，博士，副教授，研究方向：主要從事幾何拓撲、拓撲代數的研究。