素養(yǎng)導(dǎo)向的學(xué)科實踐：思維可視化的實現(xiàn)路徑

[摘要] 20多年的數(shù)學(xué)課程改革，“滿堂灌”的課堂形態(tài)得到較大改變，但虛假探究現(xiàn)象仍較突出。新課改要求學(xué)生以實踐的方式進行學(xué)科學(xué)習(xí)，展現(xiàn)思維的過程與結(jié)果，讓“探究”迭代升級。數(shù)學(xué)學(xué)科實踐是實現(xiàn)思維可視化的路徑之一，思維可視化助力數(shù)學(xué)學(xué)科實踐育人價值的彰顯。基于對課標(biāo)、教材、學(xué)情的準(zhǔn)確把握，多樣實踐形式讓思維“看得見”“看得清”“看得遠(yuǎn)”。圍繞問題解決，以問題解決為導(dǎo)向，構(gòu)建真實有意義的情境，激活學(xué)生認(rèn)知及探究的心理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題表征、策略探究、方法遷移、模型構(gòu)建等可視化過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科實踐并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的唯一方式，應(yīng)根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)對象特點靈活選擇多種學(xué)習(xí)方式，合理進行思維可視化，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，實現(xiàn)學(xué)科育人功能。

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng)；學(xué)科實踐；實踐育人；思維可視化；數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)

[中圖分類號] G64[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1005-4634（2024）05-0086-07

數(shù)學(xué)課程改革已實施了20多年，課改突出綜合實踐活動的“實踐”功能，“自主、合作、探究”學(xué)習(xí)方式的普遍運用，使“滿堂灌”的課堂形態(tài)得到較大改變。但是，數(shù)學(xué)學(xué)科實踐基本上還是項目式學(xué)習(xí)或主題活動形式，“為探究而探究”的“虛”“假”“泛”“淺”“僵”現(xiàn)象仍較突出，無法從根本上促進學(xué)生“像專家一樣思考與行動”、用“學(xué)科的方法”獲得并實踐“學(xué)科知識”，實現(xiàn)知行合一和自我建構(gòu)。2022年，《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》正式實施，要求將“實踐”融入到各學(xué)科課程學(xué)習(xí)中，促使“自主、合作、探究”迭代升級，以實踐的方式進行學(xué)科學(xué)習(xí)，展現(xiàn)思維的過程與結(jié)果，提升學(xué)生思維能力與動手操作能力，將學(xué)科實踐轉(zhuǎn)化為學(xué)科素養(yǎng)。

從學(xué)科特性出發(fā)，以學(xué)科獨有的方式學(xué)習(xí)，以學(xué)科實踐落實學(xué)科育人，培育學(xué)生綜合素養(yǎng)，是學(xué)科實踐的出發(fā)點與歸宿。數(shù)學(xué)學(xué)科實踐離不開思維參與，以獨特的思維方式解決數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展?！半u兔同籠”是經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，多種版本教材均安排了此內(nèi)容。人教版安排在四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”探究活動中，主要目的是讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索問題的解決過程，呈現(xiàn)思維歷程，理解列表、畫圖、假設(shè)法，在學(xué)科實踐中滲透數(shù)學(xué)思想與方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面以“雞兔同籠”教學(xué)為例，探討如何在學(xué)科實踐中發(fā)展學(xué)生思維能力。

1數(shù)學(xué)學(xué)科實踐、思維可視化的邏輯關(guān)系

1.1數(shù)學(xué)學(xué)科實踐的內(nèi)涵

20世紀(jì)50年代，施瓦布（iCBfuST5sZc2ga3Aosv9VQ==Schwab J J）在亞里士多德、杜威等人思想的基礎(chǔ)上提出并發(fā)展了實踐課程概念，認(rèn)為實踐課程具有“真實性、探究性、過程性與情境性”等特點[1]，驅(qū)動著對學(xué)科實踐內(nèi)涵的重構(gòu)?！皩W(xué)科實踐”是針對真實情境中的特定問題，運用具有學(xué)科特點的做法，讓學(xué)生像專家一樣，通過動手和動腦親身體驗探究的過程[2]。傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式多為記憶、練習(xí)、理解、思考等，本次課程改革，將從根本上改變傳統(tǒng)的“坐而論道”等育人方式，強化行動、體驗、感悟、思維、創(chuàng)造等多樣學(xué)習(xí)形態(tài)。杜威的名言“教之于學(xué)猶如賣之于買”，闡明了將書本知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生的知識的重要性。只有親身經(jīng)歷知識產(chǎn)生的歷程，讓知識在“基于實踐、通過實踐、為了實踐”的過程中產(chǎn)生、應(yīng)用與發(fā)展，才能使“學(xué)了”變成“學(xué)會了”，才可能將書本知識變?yōu)閷W(xué)生的知識。學(xué)科實踐不僅可以使學(xué)生學(xué)習(xí)和運用新知識，而且能促進其綜合素質(zhì)的發(fā)展[3]。

數(shù)學(xué)學(xué)科實踐是以數(shù)學(xué)學(xué)科知識學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，以真實問題情境和高階思維參與為基本特征，圍繞數(shù)學(xué)問題解決，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言為目的的實踐學(xué)習(xí)方式，也是一種對知識的理解、探究和創(chuàng)造的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。數(shù)學(xué)學(xué)科實踐樣式包括但不僅限于綜合與實踐活動課程，一般包括以探索發(fā)現(xiàn)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)問題探究、以驗證理解為目標(biāo)的數(shù)學(xué)實驗操作、以綜合應(yīng)用為目標(biāo)的主題活動或項目活動3種基本樣式。數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)從本質(zhì)上說是一種數(shù)學(xué)學(xué)科實踐形式。加拿大不列顛哥倫比亞省課程改革，設(shè)置了各個學(xué)科的實踐方式，其中數(shù)學(xué)實踐包括“推理和分析”（reasoning and analyzing）、“理解和解決”（understanding and solving）、“溝通和表征”（communicating and representing）、“聯(lián)系和反思”（connecting and reflecting）?！半u兔同籠”問題，具有較強的探究性，讓學(xué)生親身經(jīng)歷“假設(shè)—比較—調(diào)整”的問題解決的過程，能夠積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，訓(xùn)練思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

1.2思維可視化的內(nèi)涵

思維可視化，是“讓思維可見”，以恰當(dāng)?shù)牟僮骰顒樱ㄈ缰庇^語言、圖式表征、動作操作等），將“看不見，摸不著”的思維，變得“看得見，摸得著”，讓他人能看得見自己的思考路徑，讓自己看得見思維的影響，從而促進思維成長。約翰·哈蒂提出了 “可見的學(xué)習(xí)”核心概念，當(dāng) “可見”發(fā)生時，對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的效應(yīng)最大[4]。 根據(jù)活動理論內(nèi)化和外化結(jié)合的原則，學(xué)科實踐活動有將學(xué)生個體的認(rèn)知轉(zhuǎn)化為外在行為的外化過程，改變著學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。因而，學(xué)科實踐活動是由內(nèi)化轉(zhuǎn)向外化，再由外化影響內(nèi)化的過程。思維可視化，是小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的典型特征。借助思維外顯手段，有利于將抽象的數(shù)學(xué)知識具象化，把內(nèi)隱的思維過程外顯化，實現(xiàn)“內(nèi)”思考與“外”表現(xiàn)的轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生主動思考的意識與活力，實現(xiàn)真正的深度學(xué)習(xí)。“雞兔同籠”課堂學(xué)習(xí)，借助簡單的圖形、表格等表征形式，記錄了猜想的過程，留下了思考的痕跡，呈現(xiàn)多種列表方法，發(fā)展了學(xué)生思維的靈活性、獨創(chuàng)性。

1.3數(shù)學(xué)學(xué)科實踐與思維可視化的關(guān)系

1.3.1數(shù)學(xué)學(xué)科實踐是實現(xiàn)思維可視化的路徑之一

數(shù)學(xué)學(xué)科實踐的本質(zhì)要求是用數(shù)學(xué)獨特的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是基于數(shù)學(xué)學(xué)科特點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科思想和數(shù)學(xué)方法，彰顯數(shù)學(xué)意蘊的學(xué)習(xí)方式。沒有思維參與的實踐不是數(shù)學(xué)實踐。數(shù)學(xué)學(xué)科實踐以問題探究為核心，思維過程與思維形式則是問題探究的內(nèi)在邏輯和最終追求[5]60 。再現(xiàn)與描述思維過程和思維形式，即是思維可視化的過程。數(shù)學(xué)學(xué)科實踐能引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，用數(shù)學(xué)的思維方式方法發(fā)現(xiàn)問題與解決問題，并形成清晰的數(shù)學(xué)邏輯思路，用恰當(dāng)?shù)男问綄⑺伎歼^程表現(xiàn)出來并與他人交流，實現(xiàn)了思維的可視化?！半u兔同籠”教學(xué)將學(xué)生帶入古今對同一問題解決方法的差異化情境中，引導(dǎo)學(xué)生用已有的知識與經(jīng)驗進行猜想、驗證，經(jīng)歷列表有序思考—繪圖數(shù)形結(jié)合—運算驗證等實踐操作過程，以列表、畫圖、算式等方式將思考過程可視化，實現(xiàn)了“學(xué)科實踐”與“思維可視化”的巧妙結(jié)合，學(xué)生的知識體系得到了自主建構(gòu)。

1.3.2思維可視化彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科實踐育人價值

根據(jù)多維學(xué)習(xí)理論，借用數(shù)學(xué)符號、圖形、文字語言或者動作等表達(dá)數(shù)學(xué)實踐過程與結(jié)果，讓學(xué)習(xí)過程外顯、情境可視，學(xué)生必定能得到全新的心理體驗，激發(fā)多種感官參與，促進“四基”“四能”發(fā)展，形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。

數(shù)學(xué)學(xué)科實踐結(jié)果相同，并不等于思維過程一致。問題解決方法的多樣性，取決于思維方式的多樣性。學(xué)生在用列表法解決“從上面看有8個頭，從下面數(shù)有26只腳，雞兔各有幾只”問題時，在得出“雞3只、兔5只”正確答案的學(xué)生中，所用方法與時間統(tǒng)計見表1。

由此可見，學(xué)生雖都用列舉方法得到了正確答案，但思維過程有異，用時也有較大差異。針對幾種列舉法，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“添足”或“抬腳”畫圖法，進行對比分析，溝通了列舉與假設(shè)法的關(guān)系，深刻理解了假設(shè)法的本質(zhì)，進一步彰顯了分享活動前學(xué)生自主探究實踐活動的價值。

多樣的思維可視化方式，優(yōu)化了實踐操作過程?！爱嫵鰜怼薄皩懗鰜怼薄罢f出來”更能推進“做”得更好。在解決“雞兔同籠”的問題時，教師請8位學(xué)生到臺上扮演雞和兔，嘗試有26只腳在地，提出問題：“需要有幾位學(xué)生扮演雞或兔？”經(jīng)過討論，有5位學(xué)生自然將“手”扮為兔足。他們既能表演出裝扮的過程，也能描述為什么這樣裝扮，“所說”即“所想”，以“說”的方式表達(dá)“想”和“做”的過程。當(dāng)頭不變（學(xué)生人數(shù)不變）時，探究如何調(diào)整“足”的數(shù)量，降低了實踐操作難度，也優(yōu)化了操作過程。

學(xué)科實踐包含了多種思維可視化方式，正確應(yīng)用能有效地促進學(xué)生思維的生長與發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2基于思維可視化的學(xué)科實踐路徑建構(gòu)

2.1指向思維可視化的學(xué)科實踐設(shè)計起點：基于課標(biāo)、教材、學(xué)情分析

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求強化“做中學(xué)”，“做”讓思維“看得見”。引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)科探究活動，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、建構(gòu)知識、運用知識的過程，體會數(shù)學(xué)思想與方法，提升解決真實問題的能力。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“數(shù)學(xué)廣角”，從學(xué)生日常生活中選材，如路燈安裝、花壇擺花、道路旁植樹、沏茶、烙餅等，在實際生活問題的解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想與思維方法；有部分內(nèi)容增加了閱讀資料，介紹了有關(guān)數(shù)學(xué)知識，滲透了數(shù)學(xué)文化，如古代的數(shù)學(xué)問題“雞兔同籠”等。“數(shù)學(xué)廣角”突出在數(shù)學(xué)操作中進行數(shù)學(xué)思考，在可見的活動中學(xué)習(xí)。如在“找搭檔”游戲中思考排列組合，在“田忌賽馬”過程中思考數(shù)學(xué)優(yōu)化，在探究“雞兔”各多少只的活動中體會假設(shè)法的應(yīng)用等，在具體探究實踐過程中形成理性思維。

對于“雞兔同籠”的教學(xué)內(nèi)容，不同版本教材編排年級、體例、呈現(xiàn)的問題解決方法有別，表2為各版本教材“雞兔同籠”問題分布情況及解決方法。

“列舉”讓思維“看得清”。9種教材都把此內(nèi)容作為獨立的學(xué)習(xí)主題，呈現(xiàn)了“列舉法”這種基本的問題解決策略，體現(xiàn)了“猜想—比較—推理—調(diào)整”探究過程。人教版（2014）將內(nèi)容安排在四年級下學(xué)期，以列表比較、畫圖表征為基本特征的“可視化”平臺，使學(xué)生在具體的“猜想—比較—調(diào)整”過程中感受“雞兔”頭與腳數(shù)量的變化規(guī)律，深度理解抽象的“假設(shè)法”的本質(zhì)（列舉法與畫圖法都體現(xiàn)不同層次的假設(shè)思想）。

“假設(shè)”思想分學(xué)段滲透，讓想象思維逐漸“看得遠(yuǎn)”。用列表假設(shè)法進行實踐探究，是用數(shù)學(xué)學(xué)科特有的方式進行活動，有鮮明學(xué)科實踐的特點。假設(shè)是一種預(yù)見與猜想，是有意義的高階思維，也是一種問題解決的重要思想方法。小學(xué)階段，基本上是在具體真實的情境中假設(shè)，假設(shè)的過程與結(jié)果常以具體的圖像、圖表、符號、數(shù)值等方式表達(dá)，是一種具體化的假設(shè)，是在數(shù)學(xué)學(xué)科實踐活動中假設(shè)。學(xué)生從一到六年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中貫穿了“假設(shè)法”或假設(shè)的思想，表3為學(xué)生在各學(xué)段運用假設(shè)法的情況。

由此可見，學(xué)生從一年級開始接觸假設(shè)法，但很隱蔽。假設(shè)法與具體操作結(jié)合，用圖表、算式等方式表達(dá)假設(shè)法的過程，將抽象的推理轉(zhuǎn)化為便于理解的具象，由圖表到抽象的符號，層層遞進。

九種教材中，人教版教材最早安排“雞兔同籠”假設(shè)法解決問題，并以此構(gòu)建問題模型思想。四年級是一個承上啟下的過渡年級，雖然學(xué)生的邏輯思維能力不斷發(fā)展，推理意識逐漸增強，但是形象思維在問題解決中仍占有重要地位。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在課堂學(xué)習(xí)前，有近30%的學(xué)生以“試”“猜”的方法找到數(shù)字較小的“雞兔同籠”問題的正確答案，能找到數(shù)字稍大的“雞兔同籠”問題的人數(shù)僅為10%左右。由此表明，“試”也有方法，盲目地“試”對復(fù)雜問題的解決作用不大。學(xué)生需要在不斷猜測中獲得確定的規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律解決問題，實現(xiàn)“不試”或科學(xué)地“試”?！半u兔同籠”的學(xué)習(xí)，使學(xué)生借助列表特例進行嘗試與探究，發(fā)現(xiàn)隱含的替換規(guī)律，明確“畫圖”“列舉”“假設(shè)”等方法間的內(nèi)在聯(lián)系，進而真正理解假設(shè)法原理，推動思維發(fā)展。

2.2圍繞數(shù)學(xué)問題解決：基于思維可視化的數(shù)學(xué)學(xué)科實踐的實施路徑

學(xué)科實踐是學(xué)科學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在主動探索、積極參與學(xué)科問題解決的“類實踐”學(xué)習(xí)活動中，發(fā)展知識理解等關(guān)鍵能力，實現(xiàn)素養(yǎng)轉(zhuǎn)化[6]。 “情境參與和問題解決是實踐學(xué)習(xí)方式區(qū)別于其他各種學(xué)習(xí)方式的基本特征。”[7]數(shù)學(xué)學(xué)科問題是實踐學(xué)習(xí)的導(dǎo)向，問題解決是實踐學(xué)習(xí)的基本任務(wù)。學(xué)生在真實有意義的情境中，以學(xué)科問題激活學(xué)生認(rèn)知及探究的心理，在問題解決的過程中理解知識、應(yīng)用知識和獲取新知識。

2.2.1問題表征，思維驅(qū)動

問題解決時，對問題涉及的對象、條件、目標(biāo)等方面，用文字、圖表、符號或模型等具體和通俗易懂的方式表現(xiàn)出來，驅(qū)動大腦對問題進行相關(guān)信息的記載、理解和表達(dá)等思維活動，建立起問題表征。問題解決前，對問題信息與問題本身進行表征，能有效促進問題解決策略的選擇與應(yīng)用。問題表征是一種對問題情境和結(jié)構(gòu)進行心理加工的過程，貫穿問題解決全過程，很大程度上影響問題解決的難易程度。教師進行“雞兔同籠”教學(xué)時，出示《孫子算經(jīng)》，多媒體演繹主題圖；學(xué)生模仿圖中小孩苦想的情境，并有感情朗讀，在感悟題目含義時，體味了古代文化之美。學(xué)生被激發(fā)了解決問題的興趣，發(fā)現(xiàn)了題目隱蔽的信息：一只雞比一只兔少兩只腳。教學(xué)PPT呈現(xiàn)雞免的簡筆畫，如圖1所示。教師提問：“如何才能算猜對呢？”此問題推動了學(xué)生進一步表征問題的內(nèi)在關(guān)系：雞、兔的頭之和為35個，腳一共94只。問題解決過程中，有的學(xué)生列舉錯誤，“顧頭不顧腳”，或“顧腳不顧頭”，其根本原因在于對問題信息表征的錯誤，沒有將題目信息建立關(guān)聯(lián)，形成“頭、腳”的信息結(jié)構(gòu)，建立正確的數(shù)量關(guān)系，也缺乏用數(shù)學(xué)的眼光觀察與分析問題的能力。

根據(jù)圖式理論，結(jié)構(gòu)良好的圖式能夠幫助學(xué)生識別與構(gòu)建問題情境中的數(shù)量關(guān)系，有效運用已有的數(shù)學(xué)知識、思想方法，多元表征問題結(jié)構(gòu)，如用列舉、畫圖、算式等方式表征信息與問題的關(guān)系，讓數(shù)學(xué)操作更有趣味與吸引力，同時驅(qū)動了思維的可視化發(fā)展，降低了問題解決的難度。

2.2.2問題探究，思維可視

問題引領(lǐng)，動手操作，逼近本質(zhì)。學(xué)科實踐的顯著特點是動手操作，不僅有實物操作、表象操作，還有符號操作，即用雙手去做、用大腦去想、用眼睛去看等?！半u、兔各有幾只”問題的解決，主要借助符號操作。學(xué)生從最初的無序猜想，到有序列表；從逐一列舉（如表4）、跳躍列舉（如表5），到最后取中列舉（如表6），在一系列的自主探究活動中，感受到假設(shè)法從本質(zhì)上看就是特殊的列舉法。從數(shù)據(jù)調(diào)整的變化過程中，學(xué)生探尋雞兔的頭、腳間的變化規(guī)律，發(fā)展邏輯思維能力。在解決“8只頭20只腳，雞兔各幾只”時，從8只雞0只兔共16只腳開始列表，添4只腳就達(dá)到腳總數(shù)20只的題目要求。由“怎樣添”“理由是什么”的問題，引發(fā)學(xué)生討論“將1只雞換成1只兔”后腳的變化規(guī)律：每換1只，腳增加2只。借助畫圖解釋猜測的過程（如圖2），用圓圈加兩條線作雞腿，畫出形象的雞，再加兩條線（兔腿）變成兔，讓思考可視化，從具體到抽象恰當(dāng)解釋了跳躍列舉和中間列舉法的合理性。

認(rèn)知體驗，思維貫通，知識建構(gòu)。課堂中解決“雞兔同籠”問題，學(xué)生從未知開始，在“猜”的過程中用畫圖、列表、驗算等最原始的“笨”方法，逐漸體驗“猜想—對比—調(diào)整”的推理過程，不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在實踐探究中一步步優(yōu)化思維方式，實現(xiàn)了由一一列舉到取中列舉、由畫圖到列式、由猜到算等問題解決方法的轉(zhuǎn)化，建立假設(shè)法的運算模型。以“對比”的方法關(guān)聯(lián)知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)理解力。對比與反思“列舉、畫圖、假設(shè)”3種方法的異同，揭示3種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系。列舉是一種特殊假設(shè)，畫圖是直觀體現(xiàn)列舉、假設(shè)的過程，其本質(zhì)上是一致的，都是假設(shè)法的不同形式的體現(xiàn)，實質(zhì)都蘊含了“假設(shè)—驗證—調(diào)整”循環(huán)往復(fù)的思維過程。

分享交流，展示過程，拓展思維。語言是思維的外殼，用自己的語言表達(dá)“怎樣想”“為什么這樣想”“想的結(jié)果是什么”等問題，這是具有數(shù)學(xué)學(xué)科特點的語言實踐活動。學(xué)生用自己的語言表述思考的過程：假設(shè)全是雞，則腳有8×2=16（只），腳少了26-16=10（只）；一只雞換成一只兔腳多了2只，則要將多少只雞換成兔？10÷（4-2）=5（只），即兔有5只，雞有8-5=3（只）。最后，學(xué)生歸納了此類問題用假設(shè)法解決的基本流程。學(xué)生用自己的語言、圖式、算式等方式表達(dá)自己的思維過程，總結(jié)、提煉問題解決的方法，并分享給其他學(xué)生，以體驗成功的喜悅，不斷積累思考的原動力。課前，獨立用各種方法猜測、驗證答案；課中，小組交流自己的想法，向全班展示分享自己的思維過程，教師追問，引發(fā)學(xué)生深度思考。整節(jié)課，學(xué)生通過猜想驗證、分享交流、討論升華的學(xué)習(xí)活動，理解假設(shè)法的內(nèi)涵。

2.2.3問題遷移，思維進階

“學(xué)以致用”是模型思維能力的體現(xiàn)，學(xué)生在實踐活動中學(xué)習(xí)知識，再回歸到實踐中應(yīng)用知識。小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的感悟。數(shù)學(xué)模型思維，是指通過對現(xiàn)實問題進行抽象與推理，建立數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型解決類似問題的意識與觀念[5]58。學(xué)生將生活問題經(jīng)過“數(shù)學(xué)化”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)問題解決過程中掌握數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模型；再用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法與工具，將學(xué)習(xí)的問題轉(zhuǎn)化為生活問題，與外部世界建立聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型向生活問題的拓展與遷移，提升思維素養(yǎng)。

用學(xué)科實踐的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，目的在于讓外在的數(shù)學(xué)知識向內(nèi)在的素養(yǎng)遷移與轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)遷移是學(xué)生學(xué)校生活學(xué)習(xí)與真實世界問題解決間的通路[5]60。 “雞兔同籠”問題蘊含的數(shù)學(xué)思想主要是假設(shè)推理，在幾種方法建立關(guān)系的過程中，理解假設(shè)法的本質(zhì)“假設(shè)—對比—調(diào)換”，把握了假設(shè)思維的“神”；從直觀到建構(gòu)，初步感悟了假設(shè)法的數(shù)學(xué)模型，得到了假設(shè)思維的“形”。再演繹到“龜鶴”“三輪車和自行車”“植樹”“買票”等新的生活問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到在具體生活實踐中，很多新問題的解決都可以用這種“嘗試—調(diào)整”的思維方式，假設(shè)思維“形神”完美相遇，數(shù)學(xué)模型靈活運用。讓學(xué)生將問題模型應(yīng)用到生活問題的解決中，從問題解決走向思維建構(gòu)，發(fā)展了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實生活、用數(shù)學(xué)的思維分析生活問題、用數(shù)學(xué)的方法解決實際問題的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3正確處理好兩對關(guān)系，聚焦學(xué)生素養(yǎng)提高，提升學(xué)科實踐的實效性

多次轟轟烈烈的課改，取得了很大成就，同時由“滿堂灌”到“滿堂問”、由“自主”變“自流”、教師由“演員”變“觀眾”、課堂由缺乏探究到無探究不成課等極端現(xiàn)象也不少見，嚴(yán)重違背課改初衷，影響課改質(zhì)量，給課程研究與實踐者諸多教訓(xùn)與思考。本次課改試圖以學(xué)科實踐為支點，撬動育人方式的變革，讓“自主、合作、探究”迭代升級，構(gòu)建實踐育人新模型，學(xué)科實踐在新課改中煥發(fā)新機，充分發(fā)揮“做中學(xué)”的應(yīng)有價值。但是，如果處理不好傳承與改革、“為什么要改”“要改什么”“要改到什么程度”三者關(guān)系，過分偏向一種學(xué)習(xí)方式的正面而忽略觀察它的反面，也會重蹈復(fù)轍，不利于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。在提倡以學(xué)科實踐學(xué)習(xí)方式促進思維可視化的同時，需要聚焦學(xué)生素養(yǎng)的提高，正確處理學(xué)科實踐、思維可視化與核心素養(yǎng)的關(guān)系，以提高教與學(xué)的實效性。

3.1正確處理學(xué)科實踐與學(xué)習(xí)方式多樣化的關(guān)系

3.1.1學(xué)科實踐學(xué)習(xí)不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的唯一方式，也不是思維可視化的唯一道路

數(shù)學(xué)知識的多樣性與知識構(gòu)建的復(fù)雜性決定了學(xué)習(xí)方式的多樣性。實證研究發(fā)現(xiàn)，樣例學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)（類似于實踐學(xué)習(xí)）和觀察學(xué)習(xí)，3種學(xué)習(xí)方式均有助于學(xué)生對技能要素的遷移，而樣例學(xué)習(xí)更有xFulXOgGGIq/OKsvQsES1w==助于原理關(guān)系和解題策略方法的遷移；學(xué)生先前知識經(jīng)驗較為豐富且能與要學(xué)習(xí)的新知識建立起聯(lián)系時，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)對于促進學(xué)生概念理解的優(yōu)勢才能被凸顯，如缺乏教師指導(dǎo)，對學(xué)習(xí)程序性知識沒有優(yōu)勢；觀察式學(xué)習(xí)不利于概念性、程序性知識學(xué)習(xí)[8]。由此可知，實踐學(xué)習(xí)方式不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的唯一方式。有的概念學(xué)習(xí)，如小數(shù)、分?jǐn)?shù)等，也可用接受式學(xué)習(xí)，用概念同化方式把新概念納入學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去理解，如在整數(shù)概念基礎(chǔ)上認(rèn)識小數(shù)，用新概念的實質(zhì)性意義，改善原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！半u兔同籠”的學(xué)習(xí)，滲透了多種學(xué)習(xí)方式，如學(xué)生展示列舉法時，學(xué)生同時采用了觀察學(xué)習(xí)方式和樣例學(xué)習(xí)方式等。同樣，思維可見，不僅可以將思維的過程與結(jié)果“做”出來，還可以“說”出來、“畫”出來等。需要根據(jù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容及學(xué)習(xí)對象的特點靈活選擇可視化的方式，提升學(xué)習(xí)效率。

3.1.2研究適合學(xué)科實踐學(xué)習(xí)的內(nèi)容與對象特點，恰當(dāng)運用思維可視化方式

學(xué)科實踐不是萬能的，有其適用的內(nèi)容與對象。教學(xué)時，需要從育人體系的角度系統(tǒng)設(shè)計課程，避免虛假、淺層次的學(xué)科實踐。深入分析學(xué)習(xí)內(nèi)容，哪些內(nèi)容適合學(xué)科實踐，以什么方式進行實踐；哪些知識不利于實踐學(xué)習(xí)，需要站在前人或自己的肩上學(xué)習(xí)。否則，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會走向另一個極端，進入“實踐化”胡同。若所有內(nèi)容都運用“綜合實踐”式學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)，將會大大降低學(xué)習(xí)實效性。除了分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)科結(jié)構(gòu)外，還需要分析教學(xué)對象——學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、心理特點，合理選擇學(xué)習(xí)方式，分析教師怎樣介入發(fā)揮引導(dǎo)作用，以思維可視化促進學(xué)生思維發(fā)展，而不僅是學(xué)習(xí)方式的運用。

3.1.3正確評價學(xué)習(xí)效果，以效果反饋調(diào)整學(xué)習(xí)方式

基于數(shù)學(xué)學(xué)科實踐學(xué)習(xí)的“操作探究”的特點，對實踐活動的評價側(cè)重在表現(xiàn)性評價，評價維度注重數(shù)學(xué)觀念態(tài)度、數(shù)學(xué)思維變化等。設(shè)計測評量表將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為可測量的外顯行為，實現(xiàn)從“知識測評”轉(zhuǎn)向“素養(yǎng)測評”，發(fā)揮評價的診斷與導(dǎo)向功能等，優(yōu)化思維可視化學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計，提升學(xué)習(xí)效率。

3.2正確處理思維可視化與思維內(nèi)隱性的關(guān)系，避免為“可視”而“可視”現(xiàn)象

數(shù)學(xué)學(xué)科實踐是一種很好的思維可視化途徑。在實踐過程中，數(shù)學(xué)知識由抽象轉(zhuǎn)化為形象直觀，將內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維變得可視化，有利于知識的掌握、技能的形成。從認(rèn)知心理學(xué)的角度認(rèn)識思維，思維是人腦中的內(nèi)部加工活動，具有很強的內(nèi)隱性，有的是只可意會無法言傳，憑直覺認(rèn)識、靠無形頓悟的內(nèi)在思維活動；也有的是潛在的目前沒有表現(xiàn)出來的思維過程或結(jié)果。數(shù)學(xué)學(xué)科實踐，重點是具身體驗，沒有必要將所有過程都可視化，如數(shù)感、量感等，通常是一種直覺的感悟，在實踐活動中形成，但要學(xué)生用什么形式體現(xiàn)他的感悟，確實很困難。因此，不必強行“實踐”，或為了“可視”而“可視”，忽略了學(xué)習(xí)效果。

4結(jié)語

數(shù)學(xué)學(xué)科實踐順應(yīng)時代發(fā)展，回答數(shù)學(xué)應(yīng)“怎么教”“怎么學(xué)”等問題，將認(rèn)知與行動聯(lián)結(jié)，實現(xiàn)從知識教學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)W科育人。同時，以實踐方式實現(xiàn)了思維可視化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點。應(yīng)恰當(dāng)運用數(shù)學(xué)學(xué)科實踐，發(fā)揮綜合育人作用，助推每位學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展，逐漸形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。

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Literacy-oriented discipline practice： the realization path of thinking visualization—take the teaching of “chicken and rabbit with the same cage” as an example

TANG Bin，WANG Jing

（The Primary School Affiliated to Wuhou Experimental Middle School，Chengdu， Sichuan610043，China）

Abstract

Over the past two decades of mathematics curriculum reform，the traditional “teacher-centered lecturing” classroom format has undergone significant changes，but the phenomenon of superficial inquiry remains prominent. The new curriculum reform advocates learning through practical activities，emphasizing the presentation of both the thinking process and its results，aiming to upgrade the concept of “inquiry-based learning.” Mathematical practices serve as one of the pathways to make thinking visible，thus highlighting the educational value of these practices.With a precise understanding of curriculum standards，textbooks，and student needs，diverse practical approaches make thinking“visible”“clear”and“far-reaching.”Centered on problem-solving and guided by it，real and meaningful contexts are created to stimulate students’ cognitive and inquiry processes.Students are guided through visual processes such as problem representation，strategy exploration，method transfer，and model construction，which contribute to the development of mathematical thinking skills.However，mathematical practices are not the only approach to learning mathematics.Various learning methods should be flexibly chosen according to the content and characteristics of the learners.Effective visualization of thinking should be employed to cultivate students’ core competencies and achieve the educational goals of the subject.

Keywords

core competencies;disciplinary practice;practical education;visualization of thinking;characteristics of mathematics discipline

[責(zé)任編輯馬曉寧]