圖式建構：分數概念教學結構化的有效路徑

［摘 要］圖式建構是指通過建構與學科相關的結構來理解新的概念的過程。在教學中，教師要引導學生在圖式工具中感悟，激活學生的認知；在圖式表征中內化，理解概念的本質；在圖式應用中遷移，實現思維的進階。這有助于學生從整體結構理解和應用分數概念，獲得更為系統的知識結構，從而實現融會貫通。

［關鍵詞］圖式建構；分數概念；教學結構化

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）35-0054-04

長期的數學教學實踐表明，概念教學一直是個重要的研究領域，其中，分數概念教學是一大難點。在傳統的概念教學中，學生往往對概念理解不清，導致學習效果不佳。因此，尋找一種新的路徑來教學概念變得尤為重要。本文以蘇教版教材三年級上冊“分數的初步認識”教學為例，論述如何利用圖式建構來幫助學生理解和應用分數概念，發展學生的核心素養。

一、圖式建構的內涵與特征

圖式建構重在通過構建圖式來理解和解決數學問題的過程。圖式是一種思維模式或結構，可以用圖形、符號等形式表示。通過運用圖式建構的方法，學生可以直觀地理解數學概念，并將其應用于解決問題中。圖式建構主要用于描述個體如何通過經驗和學習來構建和組織知識結構。圖式建構的特征包括以下幾個方面。

（一）學習主體的參與性

圖式建構強調個體在學習和知識組織過程中的主動參與和與環境的交互作用。學生在用感知、觀察和實踐等方式主動構建和調整圖式的過程中，能夠發揮創造力和想象力，培養解決問題的能力和信心。

（二）認知結構的連接性

在圖式建構理論中，新知識體系是基于已有知識和經驗進行構建的。具體來說，是將新信息與已有的圖式聯系起來，不斷更新和修訂已有的知識結構，提高信息處理和記憶的效率。圖式建構有助于激發學生的聯想思維和認知連接能力。通過觸發學生大腦中的圖像和符號系統，可以使他們深入理解數學概念。

（三）具體與抽象的平衡性

圖式建構將抽象的數學概念轉化為具體的圖像，幫助學生建立基于感知的意義。同時，也需要逐步引導學生將具象的圖式轉化為抽象的符號，并將其與概念，以進一步鞏固數學概念。

二、以圖式建構實現概念教學結構化的必要性

（一）認識不足導致概念模糊化

很多學生誤解分數的概念，例如，有學生認為如圖1所示的圖形中，第三個圖形的涂色部分不能用[12]表示。之所以有這樣的判斷是因為教師在教學時過于強調“平均分”這一前提，受學習“平均分”時呈現的物體或圖形都被分成兩個相等部分的影響，學生會誤認為只有將一個整體分成大小、形狀完全一樣的幾個部分才是平均分。這種誤解會在學生的學習中反復出現，難以糾正。

（二）理解不全導致缺乏概念一致性

關于3個[13]和4個[14]是否相等，從數量的角度來看，兩者都代表數量1，它們是相等的。基于數是對數量的抽象，學生對分數的概念理解不全，因此沒有領悟到分數在數的概念本質上的一致性。整數、分數和小數都是對數量的抽象；無論是學習整數、分數，還是小數，都可以基于計數單位和計數單位的個數來認識。因此，要建立整數、分數和小數的概念的一致性，需要從計數單位入手。

（三）知識割裂導致無法系統化建構

分數的概念教學在教材編排中知識結構相對獨立，在三年級上冊編排把一個物體平均分的知識，到三年級下冊編排把一個整體平均分的知識，這種知識點割裂往往會導致學生對分數知識體系的建構不夠系統化。

針對以上現象，教師引導學生進行圖式建構可以有效改善。具體來說，教師應該根據學生的認知規律對分數概念進行結構化教學，這樣可以幫助學生理解新知識，并將新知識與原有的知識結構聯系，從而獲得系統的知識結構。

三、以圖式建構實現概念教學結構化的路徑

（一）在圖式工具中感悟，激活學生的認知

整體認知是教學分數概念的有效方法。從整體認知的角度來看，我們可以將分數視為數的一部分，并通過圖形幫助學生理解和掌握分數的本質。通過這種整體認知的方法，學生可以通過觀察圖形直觀理解分數的定義和基本性質，建立對分數的整體認知，從而為后續的分數運算和應用打下堅實的基礎。

1.數軸喚醒：激活原有圖式

在一年級時，學生已經認識了自然數0，1，2，3……此后，學生的學習數都是基于對整數的認識，他們認為0之后便是1，1之后便是2，在0和1之間沒有其他數字，這與分數的概念產生了沖突。對此，可以將數軸引入教學活動中，激活并豐富學生大腦中的原有圖式。

教學時展示數軸，以0為起點，向右數值逐漸增大，向左數值逐漸減小，通過探究“0和1之間是否還存在其他數”這個問題，把0和1之間的分數寫在數軸上（如圖2），將它融入學生已有的數的圖式中。

2.直尺著眼：有效輸入概念

在初步認識分數之前，學生接觸過整數。為了讓學生充分認識分數的本質，教師鼓勵學生大膽探索，讓他們走進生活，去發現那些不是整數的事例。例如，教師讓學生用直尺去探索“1厘米”與“半厘米”的關系。

師：可以用直尺來干什么？

生1：量一量我的鉛筆有多長。

師：請大家量一量各自鉛筆的長度。

（不同學生給出了不同答案，有的說10厘米，有的說5厘米）

師：請問1厘米跟半厘米有什么關系？請觀察直尺，看看刻度0和刻度1之間有多少個小格子？

生2：10個。

師：半厘米內有幾個小格子？

生3：5個。

師：那1厘米與半厘米的關系是什么？

生4：半厘米是1厘米的一半。

師：是的，我們也可以說半厘米是[12]厘米，換一種說法，半厘米是1厘米的[12]。看，這就是分數，既可以表示數量，也可以表示數量關系。

學生通過對直尺的探索可以得出：當度量單位為“1”時，我們能夠數出整數；而當度量單位小于“1”時，我們需要將“1”平均分成更小的計數單位，以便進行數數。[12]厘米可以用作測量的結果，表示數量；[12]也可以表示數量關系，即半厘米是1厘米的[12]。

3.圖形協助：整體認知分數

圖形可以幫助學生建立對分數意義的整體感知。教學時需要逐步引導學生將具象的圖形與分數概念相結合，將一個完整的圖形等分，讓學生觀察和感知分數的大小關系。

例如，可以將一個長方形平均分為若干個小長方形，每個小長方形代表一個分數單位。學生通過觀察這些小長方形的數量發現，當小長方形的數量增加時，分數變得更大，當小長方形的位置靠近大長方形的頂部時，分數接近1。這樣的有序組織和呈現方式可以幫助學生建立對分數的整體認知。

（二）在圖式表征中內化，理解概念的本質

圖式表征是一種表示信息和概念關系的圖形工具，它可以幫助學生理解和組織復雜的想法和概念。在學習分數概念時，圖式可以發揮重要作用，幫助學生內化和抽象分數概念。圖式表征的基本元素包括實物、符號和模型等。

1.實物表征：深化概念理解

學生在認識數的過程中，通常需要從豐富的現實情境中逐步提煉共性、抽象概括。實物表征在形象與抽象之間起著橋梁作用。無論是將一個正方形、圓形，還是將線段平均分成幾份，其關鍵都在于表示一份是整體的幾分之一。通過引導學生關注共同特征，幫助他們積累操作經驗，并經歷從實物操作到表征操作，再到符號操作的表征過程，以培養學生的符號意識。借助豐富的圖形表征基礎，逐步引導學生建立對分數單位的理解，將分數單位的產生及分數單位的累加與實際意義聯系起來。

2.符號表征：厘清邏輯關系

在圖式表征中，我們可以使用箭頭符號來表示分數概念。箭頭在圖式表征中扮演著關鍵的角色，它表示了分數概念之間的關系（如圖3）。

通過符號表征讓學生在分數意義的建構過程中，把藏在大腦里的建構步驟變成外在的表現形式，幫助學生厘清分數線、分母與分子的關系，從而對分數的概念形成有邏輯的思考程序，深刻理解分數的結構和組成。

3.模型表征：加強概念聯系

在用模型表示分數時，可以將正方形平均分成4份，每份表示[14]，幾個[14]組成四分之幾（如圖4），幫助學生厘清幾分之幾和幾分之一之間的聯系。

（三）在圖式應用中遷移，實現思維的進階

圖式應用是一種以問題為核心的學習模式，學生通過解決具體問題掌握知識、培養技能和發展思維能力。在圖式應用中遷移，學生可以從被動接受知識到主動探究和構建知識，逐步提升思維的層次和復雜度，培養解決問題的能力和創新思維。

1.伙伴共研：促進思維的遷移

通過伙伴共同研究，并以分數的概念為例，鼓勵學生遷移思維和合作學習，可以實現思維的進階。這種方法可以使學生在圖式應用的框架下理解和運用分數的概念，提高思考和解決問題的能力，將已學到的知識和經驗應用到分數的概念中。例如，將整數的概念遷移到分數上，比較分數與整數之間的關系，或者將分數的運算法則與其他數學概念進行類比，幫助學生理解和記憶分數的運算法則。通過遷移，學生可以發現分數概念與其他數學概念之間的聯系，提升對分數概念的理解和運用能力。

2.拓展場景：實現思維的重構

在認識整數時，從整數的產生、讀寫、意義、運算這四個維度進行研究，在首次教學分數時，也可以從分數的產生、讀寫、意義、運算等維度進行研究，努力探尋各個元素間的內在關聯（如圖5）。學生在思考數的概念的方式上都有了明顯的改變，不局限于對數的概念的整理，而是擴充為數的由來、數的意義、數的性質特征、數的大小等內容，探尋各個元素間的內在關聯，使自己對各類數有全面的認識。從“學結構”到“用結構”的過程，提升學生融會貫通的綜合素養。

3.解決問題：激活思維的輸出

如圖6所示的題目是認識分數之后的跟進練習。在這道題目中，各陰影部分占總圖形的幾分之一需要深度思考。

然而，此題的難點在于陰影部分分布在不同的區域。為了解決這個問題，教學時需要引導學生想象陰影部分與整體的關系，從而推出部分占整體的比例。同時，通過從不同角度觀察，學生可以初步感知分數單位的累加，從而產生新的分數。這種方法有助于滲透分數的基本性質，并幫助學生靈活運用想象力，找到解決問題的方法，實現思維的有效輸出。

總之，圖式建構對于概念教學結構化有著重要作用。將抽象的分數概念與具體的圖形結合，可以激活學生的認知，還可以實現思維的進階。圖式建構為概念教學提供了一條新的路徑，對于教學分數概念有積極的影響。筆者期待廣大教師一同進一步探索圖式建構在其他數學概念教學中的應用，并完善教學方法和策略。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 朱裕華.圖式建構：小學數學結構化教學的新視域：以“多邊形的面積”教學為例[J].小學數學教育，2023（Z2）：22-23.

[2] 郎俊杰.小學數學結構化教學深度發生的路徑探索[J].小學數學教育，2022（21）：10-12.

[3] 王曉燕，劉馳.“分數的初步認識”教學實錄與評析[J].小學數學教育，2022（21）：62-64.

[4] 李雪梅.結構化建構概念 系統化發展學生思維：以“認識負數”教學為例[J].教育科學論壇，2021（10）：57-60.

[5] 葛素兒.結構化學習的價值取向與路徑探尋[J].教學月刊小學版（數學），2021（5）：12-15.

（責編 黃 露）