借助幾何直觀 分析數(shù)量關(guān)系

［摘 要］描述和分析數(shù)量關(guān)系是幾何直觀的內(nèi)在旨趣。在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，幾何直觀能夠?qū)⒊橄蟾拍罹呦蠡沂倦[含信息，構(gòu)建直觀模型，指明分析方向。在教學(xué)實(shí)踐中，結(jié)合問(wèn)題解決的具體過(guò)程，可以通過(guò)“根據(jù)實(shí)際情況，確定圖形類型”“精準(zhǔn)把握問(wèn)題，合理繪制圖形”“培養(yǎng)析圖能力，明晰數(shù)量關(guān)系”等策略來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)借助幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀；數(shù)量關(guān)系；小學(xué)數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）35-0096-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將“數(shù)量關(guān)系”單獨(dú)列為一個(gè)學(xué)習(xí)主題，這一變化充分凸顯了數(shù)量關(guān)系教學(xué)的重要地位。《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)量關(guān)系主要是用符號(hào)或含有符號(hào)的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。對(duì)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)可以利用畫(huà)圖、實(shí)物操作等方法，引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)過(guò)的知識(shí)表達(dá)情境中的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)幾何直觀。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)采用畫(huà)圖的方法幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系。

一、幾何直觀的內(nèi)在旨趣

（一）從幾何直觀的內(nèi)涵來(lái)說(shuō)

幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣。其定義包含三個(gè)要點(diǎn)：第一，幾何直觀被界定為一種意識(shí)和習(xí)慣；第二，圖表是幾何直觀研究問(wèn)題的主要工具；第三，描述和分析問(wèn)題是幾何直觀的主要作用。其中的第三點(diǎn)需要結(jié)合數(shù)學(xué)這一學(xué)科背景來(lái)思考。數(shù)學(xué)是一門(mén)探究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，它源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象化過(guò)程，通過(guò)抽象數(shù)量及其關(guān)系、圖形及其關(guān)系，形成數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其相互關(guān)系。因此，幾何直觀所致力于描述與分析的，正是問(wèn)題中的數(shù)量及其關(guān)系、圖形及其關(guān)系。

（二）從幾何直觀的主要表現(xiàn)來(lái)說(shuō)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》將幾何直觀的主要表現(xiàn)概括為以下四條：①能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；②根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；③建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型；④利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路。這四條內(nèi)容清晰地展示了運(yùn)用幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系的基本過(guò)程。要用圖形來(lái)描述、分析問(wèn)題，首先需要認(rèn)識(shí)圖形、了解圖形。接著需要把語(yǔ)言文字?jǐn)⑹龅膯?wèn)題抽象成圖形，把問(wèn)題中的各個(gè)數(shù)量及其之間尚未被學(xué)生發(fā)現(xiàn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形或位置關(guān)系。最后通過(guò)對(duì)直觀圖形的分析、思考，找到問(wèn)題的解決思路。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，解題思路通常表述為：先用數(shù)量[a]加上數(shù)量[b]得到數(shù)量[c]，再用數(shù)量[c]乘數(shù)量[d]得到數(shù)量[e]……可見(jiàn)，每一步解答都包含一個(gè)數(shù)量關(guān)系式，每一個(gè)數(shù)量關(guān)系式都清晰地展示出兩個(gè)或多個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。因此，解題思路中包含著數(shù)量關(guān)系及其組合。

二、幾何直觀在分析數(shù)量關(guān)系中的價(jià)值意蘊(yùn)

（一）變抽象為直觀

蘇聯(lián)心理學(xué)家魯賓斯坦認(rèn)為，小學(xué)生的推理是建立在直接觀察所提供的直觀前提之上，即使到后來(lái)能以抽象前提為基礎(chǔ)進(jìn)行推理，也只有借助于直觀形式或熟悉事例把抽象前提加以具體化，推理才能順利實(shí)現(xiàn)。幾何直觀需要根據(jù)文字?jǐn)⑹霎?huà)出相應(yīng)的圖表描述和分析問(wèn)題，幫助學(xué)生進(jìn)行直觀地理解問(wèn)題，分析思考，從而找到解決問(wèn)題的途徑和方法，這與小學(xué)生依賴直觀前提進(jìn)行推理的思維特征相吻合。

（二）揭示隱藏信息

幾何直觀還能幫助學(xué)生發(fā)掘一些不易從文字?jǐn)⑹鲋兄苯荧@取的數(shù)量關(guān)系。以一道練習(xí)題為例：小華和小明分別從一座橋的兩端同時(shí)出發(fā)，往返于橋的兩端之間。小華的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，經(jīng)過(guò)5分鐘兩人第二次相遇。請(qǐng)問(wèn)，這座橋有多長(zhǎng)？教學(xué)時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生把兩人行走的過(guò)程畫(huà)成線段圖，學(xué)生就可以清楚地發(fā)現(xiàn)兩人在第二次相遇時(shí)所走的路程之和是橋長(zhǎng)的3倍。幾何直觀憑借其將抽象轉(zhuǎn)化為具體形象的功能，讓學(xué)生能夠從不同的視角觀察問(wèn)題，從而有效地發(fā)現(xiàn)那些隱藏在文字背后的關(guān)鍵信息，為解決問(wèn)題提供重要的線索和思路。

（三）構(gòu)建直觀模型

幾何直觀通過(guò)建立形與數(shù)之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型。對(duì)于一些特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以使用圖式模型來(lái)幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系。例如，用矩形模型表示乘法分配律，學(xué)生可以通過(guò)觀察矩形的面積計(jì)算公式，理解乘法分配律的數(shù)量關(guān)系。雙重編碼理論認(rèn)為，如果同時(shí)呈現(xiàn)文本和圖形組成的多元表征信息，兩類表征可以通過(guò)模型建構(gòu)和模型檢驗(yàn)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)譯和補(bǔ)充，從而形成概念性的抽象認(rèn)識(shí)。

（四）指明分析方向

當(dāng)學(xué)生面臨復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)他們將抽象的數(shù)字和符號(hào)轉(zhuǎn)化為直觀的圖形來(lái)表示數(shù)量關(guān)系。通過(guò)分析圖形的形狀、數(shù)量及位置關(guān)系，學(xué)生能夠洞察數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，從而明確解題的思路與具體方法。因此，將幾何直觀作為一種解題習(xí)慣加以培養(yǎng)，能夠讓學(xué)生在紛繁復(fù)雜的文字?jǐn)⑹鲋袚茉埔?jiàn)日，迅速找到解題的正確方向，提高解決問(wèn)題的效率和準(zhǔn)確性。

三、借助幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系的教學(xué)策略

（一）根據(jù)實(shí)際情況，確定圖形類型

幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的直接體現(xiàn)，是根據(jù)問(wèn)題的描述繪制相應(yīng)的圖形，以分析數(shù)量關(guān)系。這些圖形依據(jù)其抽象程度，可被劃分為示意圖與幾何圖兩大類。示意圖又可以進(jìn)一步細(xì)分為實(shí)物圖與模型圖。實(shí)物圖采用實(shí)物圖像替代實(shí)物本身，既生動(dòng)形象，又便于觀察與分析。模型圖則利用不同的圖形符號(hào)來(lái)模擬并代表不同的實(shí)物，如使用圓圈來(lái)替代花朵，用長(zhǎng)方形表示行進(jìn)中的車(chē)輛等，這一過(guò)程蘊(yùn)含抽象思維。幾何圖則是指將問(wèn)題的內(nèi)容抽象為小學(xué)生所熟知的由點(diǎn)、線、面、體等幾何元素構(gòu)成的圖形，涵蓋一維的線段圖、二維的平面圖以及三維的立體圖等。

面對(duì)這些不同類型的圖形，教學(xué)時(shí)教師需要根據(jù)實(shí)際情況做出合理的選擇。其中既要考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，也要考慮問(wèn)題情境和知識(shí)特點(diǎn)。

1.尊重學(xué)生經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生的圖形認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是幾何直觀的基礎(chǔ)，學(xué)生只有基于已有經(jīng)驗(yàn)來(lái)選擇圖形，才能發(fā)揮幾何直觀的價(jià)值。低年段學(xué)生的思維發(fā)展還處于具體形象思維階段，通常采用動(dòng)手操作以及對(duì)實(shí)物圖或模型圖的觀察與分析來(lái)幫助思考。中年段學(xué)生已經(jīng)有了一定的知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)一般圖形的基本特征也有所了解，可以從模型圖向幾何圖形過(guò)渡，一般通過(guò)畫(huà)線段圖或平面圖來(lái)分析數(shù)量關(guān)系。高年段學(xué)生的觀察和分析能力、空間思維都有了進(jìn)一步發(fā)展，能夠依據(jù)題目?jī)?nèi)容，靈活選用線段圖、平面圖或立體圖進(jìn)行解題。

2.依據(jù)問(wèn)題特征

在利用圖形表征問(wèn)題時(shí)，還要依據(jù)情境內(nèi)容的知識(shí)特點(diǎn)，同時(shí)考慮圖形表征的適切性。如在教學(xué)行程問(wèn)題、相差關(guān)系問(wèn)題、倍數(shù)關(guān)系問(wèn)題時(shí)，一般選擇畫(huà)線段圖；涉及面積或體積的變化問(wèn)題時(shí)，一般選擇平面圖或立體圖；遇到數(shù)量之間有交叉關(guān)系的，一般選用集合圖；等等。

（二）精準(zhǔn)把握問(wèn)題，合理繪制圖形

1.保證題意理解的準(zhǔn)確性

繪圖，首先要理解題意。教學(xué)中，部分學(xué)生因未能準(zhǔn)確理解題意而感覺(jué)畫(huà)圖困難或者畫(huà)圖出現(xiàn)錯(cuò)誤。這種情況通常源于信息獲取不全面、詞句理解不準(zhǔn)確、條件間的關(guān)系未厘清等因素。例如，有這樣一道習(xí)題：新莊小學(xué)的操場(chǎng)原來(lái)是一個(gè)正方形，擴(kuò)建校園時(shí)，操場(chǎng)的一組對(duì)邊各增加18米，這樣操場(chǎng)的面積就增加了900平方米。原來(lái)操場(chǎng)的面積是多少平方米？題中“一組對(duì)邊各增加18米”是指相對(duì)的兩條邊分別增加18米（如圖1-1），有的學(xué)生錯(cuò)誤地理解成相對(duì)的兩條邊的兩端都增加18米（如圖1-2），圖畫(huà)錯(cuò)了，直接導(dǎo)致數(shù)量關(guān)系的理解出錯(cuò)。這就屬于圖意理解問(wèn)題。事實(shí)上，學(xué)生的解題錯(cuò)誤很多是審題不清、題意理解錯(cuò)誤造成的。

2.把握形與數(shù)的一致性

幾何直觀的過(guò)程是要把文字表達(dá)的數(shù)量信息轉(zhuǎn)化為圖形進(jìn)行分析，然而，在這個(gè)直觀化的過(guò)程中學(xué)生容易忽略圖形的量的特征，導(dǎo)致畫(huà)出的圖形比例失調(diào)。例如，有這樣一道習(xí)題：學(xué)校圖書(shū)室里，科技書(shū)比故事書(shū)少240本，故事書(shū)的數(shù)量是科技書(shū)的3倍，故事書(shū)有多少本？部分學(xué)生畫(huà)出的線段圖（如圖2）并未能夠體現(xiàn)兩條線段倍數(shù)關(guān)系，不能直觀看出240本對(duì)應(yīng)的份數(shù)，最終影響了對(duì)數(shù)量關(guān)系的思考，不能起到幾何直觀應(yīng)有的作用。

對(duì)于這類情況，教師在教學(xué)中，一是要重視畫(huà)圖方法的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生注意形與數(shù)關(guān)系的一致性，避免數(shù)形分離；二是要有意識(shí)地開(kāi)展錯(cuò)例分析，分析畫(huà)錯(cuò)的原因及其造成的影響，讓學(xué)生在糾錯(cuò)過(guò)程中規(guī)范畫(huà)圖，盡可能在圖中能較為準(zhǔn)確地體現(xiàn)量與量之間的倍數(shù)關(guān)系或相差關(guān)系。

3.關(guān)注圖示信息的完整性

在解題過(guò)程中，畫(huà)圖能輔助學(xué)生理解題意。雖說(shuō)有的簡(jiǎn)圖也可啟發(fā)思維，但多數(shù)情況下，仍需引導(dǎo)學(xué)生繪制清晰且完整的圖形。教師要重視對(duì)學(xué)生畫(huà)圖習(xí)慣的培養(yǎng)。首要，要精確地在圖形中反映題目中的有效條件及待求解問(wèn)題；其次，需在圖上明確標(biāo)注題目中的每一項(xiàng)數(shù)據(jù)；最后，需排除多余條件的干擾，關(guān)注隱含條件的表達(dá)，并掌握將隱含關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀形式的能力。例如，對(duì)于“今年強(qiáng)強(qiáng)8歲，媽媽32歲，幾年后媽媽的年齡是強(qiáng)強(qiáng)的3倍？”這一年齡差倍問(wèn)題，隱含條件是“兩人的年齡差保持不變”。在繪制圖形時(shí)，既要體現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，也需標(biāo)明年齡差，以便于對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析。

（三）培養(yǎng)析圖能力，明晰數(shù)量關(guān)系

分析圖形需要一定的基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)和能力。要增強(qiáng)學(xué)生的圖形分析能力及提煉數(shù)量關(guān)系的技能，必須重視學(xué)生基本數(shù)量關(guān)系的積累，并加強(qiáng)對(duì)其圖形抽象能力的培養(yǎng)。

1.注重基本數(shù)量關(guān)系的積累

小學(xué)涉及的大部分解決問(wèn)題的內(nèi)容，都可以歸結(jié)為“總量=分量+分量”和“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”及其變式和拓展的應(yīng)用。教師可以結(jié)合四則運(yùn)算的意義、混合運(yùn)算的教學(xué)展開(kāi)解jmbeJATN72RccFbLmkyS1w==決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，重視“總量=分量+分量”和“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”及其在實(shí)際問(wèn)題中衍生出的各種數(shù)量關(guān)系的積累和運(yùn)用。這些基本數(shù)量關(guān)系的積累與儲(chǔ)備為學(xué)生分析復(fù)雜數(shù)量關(guān)系提供了知識(shí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)備。

2.提高學(xué)生的圖形抽象能力

學(xué)生分析圖形困難的原因，通常在于其對(duì)圖形的抽象能力不足，即對(duì)圖形的敏感度不高，不能準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)每個(gè)“部分量”在圖中所處的位置。例如，有這樣一道習(xí)題：甲、乙兩車(chē)同時(shí)分別從A、B兩地相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行80千米，乙車(chē)每小時(shí)行90千米，甲車(chē)行至離兩地中點(diǎn)還有30千米的地方與乙車(chē)相遇，A、B兩地相距多少千米？學(xué)生雖然正確畫(huà)出了示意圖，但卻誤認(rèn)為路程差就是30千米，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤。這時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在圖上指一指、比一比，讓其明確路程差是兩個(gè)30千米。

提高學(xué)生的圖形抽象能力，需注重日常積累與實(shí)踐。一是提供“讀圖”機(jī)會(huì)。日常教學(xué)中，教師要經(jīng)常有意識(shí)地設(shè)計(jì)看圖編題、看圖列式等題型，多為學(xué)生提供“讀圖”的機(jī)會(huì)，增強(qiáng)學(xué)生識(shí)圖本領(lǐng)。二是鼓勵(lì)表述圖意。鼓勵(lì)學(xué)生在畫(huà)圖、觀圖的基礎(chǔ)上，相互交流圖意并在全班匯報(bào)圖意，通過(guò)表述圖意，訓(xùn)練學(xué)生圖形表征與語(yǔ)言表征的轉(zhuǎn)譯能力。三是訓(xùn)練抽象關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形提煉數(shù)量之間的關(guān)系，以及表述數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系。經(jīng)過(guò)日復(fù)一日的訓(xùn)練，逐步提升學(xué)生的圖形抽象能力和數(shù)學(xué)建模水平。

綜上所述，圖形可以是現(xiàn)實(shí)中可視的，也可以是學(xué)生腦海中想象的。引導(dǎo)學(xué)生利用表象在頭腦中進(jìn)行思維加工是教師的教學(xué)目的，在教學(xué)中，教師要致力于讓學(xué)生從眼中有圖到心中有圖，促使其思維向更高處跨越，最終發(fā)展想象力。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（5）：0-3.

[3] 朱智賢、林崇德.思維發(fā)展心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[4] 唐劍嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)及教學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.

（責(zé)編 梁桂廣）