旋轉(zhuǎn)多“一點(diǎn)” 理解更透徹

［摘 要］旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)是圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)了相同的角度。教師需要站在學(xué)生學(xué)習(xí)的視角，提供結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，通過連續(xù)的遞進(jìn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)、感受和認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］旋轉(zhuǎn)；學(xué)習(xí)視角；結(jié)構(gòu)化材料

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）35-0061-04

【課前思考】

旋轉(zhuǎn)作為一種保持特定點(diǎn)或軸不變的連續(xù)變換，相較于平移和軸對(duì)稱，其概念更為復(fù)雜。在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然已經(jīng)在低學(xué)段接觸過旋轉(zhuǎn)，但在進(jìn)一步學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍將旋轉(zhuǎn)簡(jiǎn)單等同于轉(zhuǎn)動(dòng)，未能深刻理解旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的核心特征：圖形上的每一點(diǎn)均繞旋轉(zhuǎn)中心按相同方向旋轉(zhuǎn)相同角度。針對(duì)這一教學(xué)現(xiàn)狀，筆者嘗試通過提供結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)材料和設(shè)計(jì)遞進(jìn)式學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生深入體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，以提升學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)概念的理解，實(shí)現(xiàn)了“旋轉(zhuǎn)多‘一點(diǎn)’，理解更透徹”的教學(xué)目標(biāo)。

【課中實(shí)踐】

一、引入新課

師（板書課題“旋轉(zhuǎn)”，出示生活中常見的旋轉(zhuǎn)，如圖1）：二年級(jí)的時(shí)候我們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了旋轉(zhuǎn)，今天我們進(jìn)一步來學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)生熟悉的生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象喚起學(xué)生的前經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單明了地引入新課。】

二、學(xué)習(xí)新知

（一）線的旋轉(zhuǎn)

1.認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的要素

（1）旋轉(zhuǎn)角度

師（出示線段AB）：這是一條線段。想象一下，若將線段[AB]旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形會(huì)是怎樣的呢？

師：大家嘗試旋轉(zhuǎn)了線段[AB]，為何結(jié)果各異？

生1：因?yàn)橛械男D(zhuǎn)角度較大，有的較小。

師：確實(shí)如此，旋轉(zhuǎn)角度的差異導(dǎo)致了結(jié)果的不同。

（2）旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)中心

師（出示圖2）：你能迅速判斷出這幅圖中線段[AB]旋轉(zhuǎn)了多少度嗎？

生2：線段[AB]旋轉(zhuǎn)了90°，因?yàn)樗c旋轉(zhuǎn)后的線段形成了一個(gè)直角。

師：我們可以通過想象線段旋轉(zhuǎn)的過程，觀察旋轉(zhuǎn)前后形成的夾角來判斷旋轉(zhuǎn)角度（演示旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)過程）。

師（出示圖3）：快速判斷圖中線段[AB]的旋轉(zhuǎn)角度。（學(xué)生快速判斷都旋轉(zhuǎn)了90°）

師：這幾幅圖都旋轉(zhuǎn)了90°，為何結(jié)果仍然不同？

生3：因?yàn)榉较虿煌械南蛳滦D(zhuǎn)，有的向上旋轉(zhuǎn)。

生4：有的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，有的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

師：描述旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們常用順時(shí)針和逆時(shí)針來表示方向（出示鐘表，動(dòng)態(tài)演示指針旋轉(zhuǎn)）。現(xiàn)在，伸出手指和老師一起指一指，與鐘表時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向一致的是順時(shí)針，相反的是逆時(shí)針。

師：快速判斷圖2、圖3中線段[AB]的旋轉(zhuǎn)方向。

師：圖2中的①和圖3中的③都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，為何結(jié)果不同？

生5：因?yàn)棰僖訹A]點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)，③以[B]點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)。

師：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)圍繞的點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心。①②的旋轉(zhuǎn)中心是[A]點(diǎn)，③④的旋轉(zhuǎn)中心是[B]點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)中心同樣重要。

【設(shè)計(jì)意圖：在前測(cè)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于旋轉(zhuǎn)角度的感知最為敏感，其次是旋轉(zhuǎn)方向，而旋轉(zhuǎn)中心則常被忽略。教材編排的鐘表素材有助于學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)角度，但由于其旋轉(zhuǎn)中心固定且方向唯一，不利于學(xué)生全面理解旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)中心對(duì)旋轉(zhuǎn)效果的影響。因此，采用線段旋轉(zhuǎn)作為教學(xué)素材來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的三要素時(shí)，由于線段旋轉(zhuǎn)不受旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度的限制，學(xué)生可以自由探索旋轉(zhuǎn)的多種可能性。按照學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)要素感知的強(qiáng)弱順序——“角度→方向→中心”，結(jié)構(gòu)化地展示了學(xué)生前測(cè)中的典型作品，并輔以動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)演示，加深學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)要素的理解。】

（3）旋轉(zhuǎn)描述

師：知道了旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度，能否準(zhǔn)確描述圖形的旋轉(zhuǎn)呢？（出示圖4）“線段[AB]繞[A]點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°”描述的是哪幅圖？

生6：圖4中的①。

師：還有其他可能的情況嗎？（學(xué)生觀察后確認(rèn)沒有）。當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度都確定時(shí)，旋轉(zhuǎn)結(jié)果也是唯一的。

師：你能像這樣描述其他幾幅圖的旋轉(zhuǎn)情況嗎？和你的同桌交流一下。

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生掌握了旋轉(zhuǎn)的三要素之后，讓學(xué)生根據(jù)描述選擇對(duì)應(yīng)圖形，不僅為學(xué)生提供了描述旋轉(zhuǎn)的表達(dá)范式，還讓他們認(rèn)識(shí)到當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度確定時(shí)，旋轉(zhuǎn)結(jié)果的唯一性。】

2.體驗(yàn)旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)

師（出示圖5）：線段[AB]處于豎直位置，若將其繞[A]點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請(qǐng)問旋轉(zhuǎn)后的線段[AB]將位于何處？請(qǐng)觀察線段上的[C]點(diǎn)，思考在線段旋轉(zhuǎn)過程中，[C]點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡及其旋轉(zhuǎn)角度。

生1：線段[AB]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后，會(huì)落在水平橫線上，長(zhǎng)度為4格；[C]點(diǎn)也是繞[A]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的，旋轉(zhuǎn)后得到了一個(gè)直角，因此[C]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了90°。

師：為什么[C]點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡是彎曲的，而不是直線運(yùn)動(dòng)？你是怎么理解的？

生1（指向[C]點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡，如圖6-1）：[C]點(diǎn)是繞[A]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的，不是直接移動(dòng)，所以軌跡是彎曲的。

師：非常好，這說明[C]點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中，與[A]點(diǎn)的距離保持不變。讓我們一起來觀察（動(dòng)態(tài)演示[C]點(diǎn)隨線段[AB]旋轉(zhuǎn)）。可以將[C]點(diǎn)視為線段[AC]的端點(diǎn)（演示[C]點(diǎn)隨線段[AC]旋轉(zhuǎn)），旋轉(zhuǎn)后，[AC]與[AC′]之間的夾角為直角，說明[C]點(diǎn)繞[A]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了90°。

師：假設(shè)線段上還有[D]點(diǎn)和[E]點(diǎn)（如圖6-2），想象一下，它們可以看作是哪條線段的端點(diǎn)？它們分別旋轉(zhuǎn)了多少度？

生2：[D]點(diǎn)可以看作是線段[AD]的端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)了90°；[E]點(diǎn)可以看作是線段[AE]的端點(diǎn)，同樣旋轉(zhuǎn)了90°（動(dòng)態(tài)演示[D]點(diǎn)、[E]點(diǎn)分別隨線段[AD]、[AE]旋轉(zhuǎn)）。

師：通過剛才的探討，有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：線段旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段上的點(diǎn)都會(huì)隨線段一起旋轉(zhuǎn)相同的角度。

師：線段旋轉(zhuǎn)過程中，線段上的每個(gè)點(diǎn)都會(huì)繞旋轉(zhuǎn)中心按旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)相同的角度。（課件演示線段上的點(diǎn)隨線段旋轉(zhuǎn)，如圖6-3）

【設(shè)計(jì)意圖：先選取線段上的代表性點(diǎn)[C]，探討其旋轉(zhuǎn)情況，幫助學(xué)生深入理解旋轉(zhuǎn)的概念；接著類比分析[D]點(diǎn)、[E]點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，推廣到線段上所有點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，從而將線段旋轉(zhuǎn)簡(jiǎn)化為點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，使學(xué)生理解“線段旋轉(zhuǎn)過程中，線段上的每個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)相同的角度”。】

（二）形的旋轉(zhuǎn)

1.初步感受形的旋轉(zhuǎn)

師：剛才我們研究的線段[AB]其實(shí)是三角形[ABC]的一條邊（補(bǔ)上線段[BC]、[AC]，形成三角形[ABC]）。想象一下，如果三角形[ABC]旋轉(zhuǎn)，結(jié)果會(huì)怎樣呢？（動(dòng)態(tài)演示三角形旋轉(zhuǎn)）請(qǐng)仔細(xì)觀察三角形[ABC]是如何旋轉(zhuǎn)的。

生1：三角形[ABC]繞[A]點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

師（出示圖7）：繞[A]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)很容易看出是逆時(shí)針，但你是如何判斷三角形旋轉(zhuǎn)了90°的呢？接下來，請(qǐng)大家?guī)е@個(gè)問題完成下面的任務(wù)。（1）找一找：你能從不同的地方找到三角形[ABC]旋轉(zhuǎn)了90°的痕跡嗎？請(qǐng)找一找并用三角板驗(yàn)證。（2）想一想：三角形上的[O]點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中會(huì)如何移動(dòng)？它旋轉(zhuǎn)了多少度？請(qǐng)?jiān)趫D上標(biāo)出你的推斷。可以使用信封中的小三角形輔助你的研究。

生2（出示圖8）：我發(fā)現(xiàn)[AB]與[AB′]的夾角是90°，[AC]與[AC′]的夾角也是90°，這說明三角形[ABC]旋轉(zhuǎn)了90°。

師：像這樣，[AB]和[AB′]就是一組對(duì)應(yīng)邊，[AC]和[AC′]也是一組對(duì)應(yīng)邊。你是通過對(duì)應(yīng)邊的旋轉(zhuǎn)角度來判斷三角形[ABC]旋轉(zhuǎn)的度數(shù)的，非常清晰。

生3（出示圖9）：[O]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后到了[O′]這里，連接[AO′]，發(fā)現(xiàn)[AO]和[AO′]的夾角也是90°。

師：有這么多點(diǎn)，為什么要連接[A]點(diǎn)和[O]點(diǎn)？

生4：因?yàn)槿切问抢@點(diǎn)[A]旋轉(zhuǎn)的，所以[O]點(diǎn)也會(huì)繞[A]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

師：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形上的點(diǎn)也會(huì)圍繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)。現(xiàn)在讓我們一起來觀察[O]點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)過程（使用幾何畫板演示）。

2.加深理解形的旋轉(zhuǎn)

師（出示圖10-1）：如果[O]點(diǎn)變成了[D]點(diǎn)（如圖10-2），還是旋轉(zhuǎn)90度嗎？如果變成了[E]點(diǎn)（如圖10-3）呢？

師：通過這些研究，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：在三角形[ABC]旋轉(zhuǎn)過程中，三角形上的所有點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了90度。這個(gè)面上的每條邊、每個(gè)點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)了相同的角度。

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生理解了線段旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)后，將概念由“線”拓展到“形”，選取三角形上的代表性O(shè)點(diǎn)進(jìn)行探討，幫助學(xué)生理解形狀旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。通過類比探討D點(diǎn)、E點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，能幫助學(xué)生將面的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)為線段和點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，從而直觀理解面旋轉(zhuǎn)時(shí)每條邊和每個(gè)點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)相同角度的概念。】

3.初步定位形的旋轉(zhuǎn)

師（出示圖11）：我們將三角形[ABC]標(biāo)記為三角形①。三角形①以[A]點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，形成三角形②。三角形②會(huì)出現(xiàn)在什么位置？

師：當(dāng)一個(gè)面旋轉(zhuǎn)時(shí)，面上的所有線段都會(huì)旋轉(zhuǎn)相同的角度。因此，只需確定關(guān)鍵線段的位置，即可推斷出旋轉(zhuǎn)后的形狀。（課件先展示邊[AB]的旋轉(zhuǎn)，再展示整個(gè)三角形的旋轉(zhuǎn)）

師：假設(shè)三角形①繞[A]點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度得到三角形③，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到三角形④。三角形③和④各自會(huì)位于何處？

師：我們剛剛通過不同的旋轉(zhuǎn)方式得到了四個(gè)三角形。觀察①②③④的順序，這個(gè)圖形是如何形成的？

生7：是三角形①繞[A]點(diǎn)依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到的。

師（出示圖12）：讓我們一起來觀察這個(gè)過程。（演示旋轉(zhuǎn)）如果每次旋轉(zhuǎn)的角度更小，會(huì)出現(xiàn)什么情況？（學(xué)生想象后，動(dòng)畫演示）

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生理解了點(diǎn)、線、面旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)后，找圖形的活動(dòng)能讓學(xué)生根據(jù)旋轉(zhuǎn)的描述想象和尋找旋轉(zhuǎn)后圖形的位置，學(xué)生體會(huì)到可以將形的旋轉(zhuǎn)分解為關(guān)鍵線或點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，知道可以通過找關(guān)鍵線段或關(guān)鍵點(diǎn)來確定形的位置。】

三、練習(xí)提高（略）

四、回顧總結(jié)（略）

【課后反思】

一、基于學(xué)生學(xué)習(xí)的視角

教學(xué)中，教師除了要關(guān)注學(xué)生的“已知”“能知”及學(xué)習(xí)過程中的“難知”，還要特別關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)中的“怎知”，即站在學(xué)生學(xué)習(xí)的視角，嘗試以學(xué)習(xí)者的角色，分析學(xué)生是怎么認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)新知的。學(xué)生對(duì)于旋轉(zhuǎn)三要素——角度、方向、中心的感知順序往往是從直觀的角度開始，然后是方向，最后才是中心。因此，先將“旋轉(zhuǎn)中心固定，旋轉(zhuǎn)方向唯一”的鐘表素材替換成線段素材，再按學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)要素感知的強(qiáng)弱順序“角度→方向→中心”，結(jié)構(gòu)化地呈現(xiàn)典型作品，就能促進(jìn)學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)要素的理解。這種基于學(xué)生視角的教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅能夠提升教學(xué)效果，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生共鳴，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

二、提供結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)素材

為了幫助學(xué)生將旋轉(zhuǎn)的認(rèn)知從感性認(rèn)識(shí)上升到本質(zhì)理解，教師有意設(shè)置了兩個(gè)層次遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù)——首先是線段[AB]的旋轉(zhuǎn)，然后是三角形[ABC]的旋轉(zhuǎn)，并在此基礎(chǔ)上探究單個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)情況。在這兩個(gè)任務(wù)中，教師“無中生有”地設(shè)置了探究一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)情況的研究任務(wù)。線的旋轉(zhuǎn)和形的旋轉(zhuǎn)，因?yàn)槎嗔颂骄俊盁o中生有”的這“一點(diǎn)”旋轉(zhuǎn)情況，就使教學(xué)走向了深刻。因?yàn)檫@“一點(diǎn)”有力促進(jìn)了學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)本質(zhì)的透徹理解，從而達(dá)到了“旋轉(zhuǎn)多‘一點(diǎn)’，理解更透徹”的教學(xué)效果。

三、給予通順的內(nèi)在邏輯

在學(xué)生理解了旋轉(zhuǎn)的三要素之后，教師可以通過設(shè)計(jì)“據(jù)話選圖”的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體會(huì)當(dāng)旋轉(zhuǎn)的三要素確定時(shí)，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果是唯一的。此外，為了讓學(xué)生更好理解旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)了相同的角度這一本質(zhì)，整個(gè)教學(xué)過程應(yīng)該圍繞將線的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)為點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，以及將形的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)為點(diǎn)或線的旋轉(zhuǎn)這一核心邏輯展開：在探究線段[AB]的旋轉(zhuǎn)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注線段上某點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)情況；在探究三角形[ABC]的旋轉(zhuǎn)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角形上某點(diǎn)或某線的旋轉(zhuǎn)情況。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)將面的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)到線或點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)上，將線的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)到點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)上，有助于學(xué)生構(gòu)建一個(gè)從面到線再到點(diǎn)的清晰且通順的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，從而更加系統(tǒng)地理解和掌握旋轉(zhuǎn)的概念。

（責(zé)編 金 鈴）