高中三角函數教學運用GeoGebra軟件的實踐策略研究

摘 要：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調了信息技術與數學課程的深度融合，以提高教學的實效性.三角函數是高中數學體系中的重難點，將GeoGebra軟件應用于三角函數的教學中，有助于激發學生的數學學習興趣、拓展數學課堂新思路、提高學生的數學素養，進而提升高中三角函數教學效果.

關鍵詞：高中；三角函數；GeoGebra軟件

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）36-0005-03

收稿日期：2024-09-25

作者簡介：吳章興（1977.11—），男，福建省福清市人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2023年度立項課題“GeoGebra環境下的高中數學探究教學研究”（項目編號：FJJKZX23-726）．

三角函數作為高中數學的重要組成部分，其本身具有一定的抽象性和復雜性，加之傳統教學方式比較側重于理論講授和題海戰術，難以有效激發學生的學習興趣，對學生造成學習障礙.隨著信息技術的發展，GeoGebra作為一款強大的動態數學軟件，逐漸成為三角函數教學、學習、評價的主要輔助性工具，為學生搭建了更加生動、高效的學習平臺，為教師的教學創新提供了有力支持.深入探究GeoGebra軟件在高中三角函數教學中的應用，對于提升三角函數教學質量，提升學生數學綜合素養，甚至提升高中數學教學整體水平都具有重要意義.

1 三角函數教學運用GeoGebra軟件的意義

1.1 激發學生的數學學習興趣

三角函數作為數學領域中的一個重要分支，其概念抽象、公式繁多，容易使學生在學習過程中感到困惑和乏味.GeoGebra軟件可將抽象的數學概念轉化為直觀、生動的圖象和動畫，使學生在視覺和思維的雙重刺激下，更加主動地參與到學習過程中.而學生可以利用GeoGebra軟件親手繪制三角函數圖象，觀察角度變化時圖象的動態變化，深刻感受到數學的動態美，進而激發探索數學奧秘的興趣.

1.2 提高學生的數學素養

GeoGebra軟件以其強大的功能，為學生提供了一個探索數學奧秘的廣闊平臺.學生在利用GeoGebra軟件分析、判斷三角函數知識的過程中，不僅能夠直觀地觀察到三角函數圖象的變化規律，深入理解其性質與特點，還能在動手實踐中鍛煉空間想象能力、邏輯推理能力和問題解決能力［1］.同時，利用GeoGebra軟件組織合作探究學習，還能培養學生的團隊協作能力和溝通能力，這同樣是數學素養的重要組成部分.

1.3 拓展數學課堂新思路

GeoGebra軟件為教師提供了豐富的教學資源，如預設的示例、習題和解決方案，可幫助教師更好地組織教學內容.而且通過GeoGebra軟件，教師可以靈活地設計各種教學活動，如引導學生自主繪制函數圖象、觀察參數變化對圖象的影響、驗證三角函數性質等.在此基礎上，教師可以根據學生的實際情況高效調整教學課件、制作動態課件，有效地拓展數學課堂的新思路［2］.

2 三角函數教學運用GeoGebra軟件的策略

2.1 在概念類三角函數知識教學中的應用

2.1.1 直觀展現認知沖突

在概念類三角函數知識的教學中，直觀展現認知沖突是促進學生深入理解數學概念、激發其探索欲望的有效手段.通過這種方式，學生不僅能夠認識到引入

基本概念的重要性和必要性，還能在認知的碰撞中構建起更加穩固的知識體系.以人教版高中數學必修第一冊第五章《三角函數》中的“任意角和弧度制”為例，“任意角和弧度制”內容標志著學生從傳統的0°到360°角度指向更為廣泛、抽象的任意角和弧度制的跨越，這一過程本身就蘊含著豐富的認知沖突.直觀展現認知沖突能讓學生意識到當物體旋轉超過一周或不足一周時，傳統的角度制存在局限性，無法全面描述旋轉運動的連續性和無限性.此時，弧度制的引入就顯得尤為重要且必要，不僅能突破角度制的局限，還可為后續學習任意角三角函數的性質奠定基礎.為了

直觀展示這一認知沖突，教師可先利用GeoGebra軟件繪制一個單位圓，并在其上標記出傳統的角度制刻度，隨后，逐步旋轉圓上的點，當旋轉超過360°或不足360°時，引導學生觀察角度制描述的不足，如刻度無法連續顯示、計算煩瑣等.緊接著，引入弧度制，并利用GeoGebra的實時計算功能，展示角度與弧度的對應關系及轉換過程，使學生直觀感受到弧度制在描述旋轉運動時的簡潔性和精確性.在演示過程中，教師還可設置問題引導學生主動思考，如“為什么我們需要弧度制？”“弧度制相比角度制有哪些優勢？”以促進學生深度思考.

2.1.2 多元聯系新舊知識

數學概念是相互交織、彼此依存的知識體系中的一部分.舊概念作為新概念的基石，為學生學習新概念提供了必要的支撐.同時，新舊概念之間的邏輯關系能夠提升學生對概念的靈活應用與遷移能力［3］.因此，通過多樣化的教學手段和策略，有效聯結新舊知識，能夠促進知識間的融會貫通，為學生后續深入學習三角函數的圖象與性質奠定堅實的基礎.為此，教師應巧妙地運用GeoGebra軟件，幫助學生構建三角函數的概念知識網絡，進而打通幾何與代數的雙向通道.首先，教師可以通過GeoGebra軟件展示一系列包含特殊角（30°，45°，60°）的直角三角形.隨后，利用軟件的滑動條功能，動態改變角的大小，讓學生在屏幕上觀察隨著角度變化，三角形各邊長的相對關系，幫助學生直觀感受從特殊角到一般角的過渡過程中三角函數值的變化規律.其次，教師繼續利用軟件的滑動條，將角的范圍從（0，π/2）擴展到［0， 2π）乃至任意實數范圍，讓學生觀察并理解任意角的概念.此時，教師可引入單位圓作為工具，并利用軟件的追蹤功能，展示任意角終邊在旋轉過程中與單位圓的交點，引導學生關注交點的坐標（即終邊與單位圓交點的x，y坐標）.通過坐標的變化解釋三角函數值，學生能夠在幾何與代數的轉化過程中理解三角函數的本質.最后，教師通過對比在三角形中和單位圓上定義的三角函數，引導學生辨析新舊概念之間的異同，明確在一般三角形中研究的是具體數值，而在單位圓上研究的是函數關系，強化學生“數形結合”的思維，促進學生對三角函數概念的理解.

2.2 在命題類三角函數知識教學中的應用

2.2.1 動態展現變化規律

學生掌握任何數學命題的前提是其既有的認知框架.在三角函數的學習中，學生的認知基礎主要包括對函數概念的理解、對繪制函數圖象方法的掌握，以及初步分析函數性質的能力.但面對如正弦函數這樣具有特殊性質的函數時，學生所掌握的描點作圖法較難滿足深入探究正弦函數圖象的需求［4］.GeoGebra軟件的動態展示功能能夠揭示數學命題的內在變化規律.教師可利用此軟件，以學生已有的認知經驗作為起點，設計巧妙的問題情境，引導學生在探索中發現并理解新的數學命題.

以正弦函數為例，教師可利用GeoGebra軟件的序列命令和滑動條功能，巧妙地解決“如何取點”和“取哪些點”這兩個關鍵問題.具體而言，教師可借助GeoGebra的動態控制，逐步調整取點的數量和位置，幫助學生發現繪制正弦函數圖象的五點作圖法（即繪制正弦函數的圖象至少需要選取5個點）.在此基礎上，教師可在軟件的命令欄輸入所選點的序列，并改變序列值，尋找能夠畫出最小正周期內圖象的點的特殊位置，進而幫助學生歸納總結三角函數的圖象特征.

2.2.2 建立公式內在聯系

三角函數公式不僅數量較多，而且形式相似，常使學生在學習過程中感到困惑.同時，三角函數的相關公式被分散在多個章節中，學生先接觸的是誘導公式，隨后才是三角函數的和差、倍角、半角等公式的推導與證明，導致公式間的邏輯鏈條不夠清晰，成為學生理解與應用三角函數公式的一大障礙.另外，兩角和差的正弦、余弦公式在本質上具有更廣泛的適用性，不僅涵蓋了誘導公式的特殊情況，還展現了三角函數在角度變換下的基本性質.因此，教師應該充分利用GeoGebra軟件，幫助學生厘清公式間的內在聯系.首先，教師應利用GeoGebra軟件繪制清晰的單位圓，接著，設置滑動條控制三角函數線（正弦線、余弦線）的旋轉，使學生能夠直觀地觀察到單位圓上點的坐標隨角度變化而變化的規律，促使學生將幾何直觀轉化為代數表達式，即實現從三角函數線的對稱性質到坐標關系的轉化，再進一步提煉為數學公式.其次，教師可利用GeoGebra軟件中的復選框功能，展示不同角度旋轉后的結果，使學生更加清晰地看到公式間的統一性，幫助學生加深對公式理解的同時，培養其數學歸納與推理能力.最后，借助GeoGebra的動態演示與交互功能，教師需引導學生建立誘導公式與三角恒等變換公式之間的緊密聯系，形成一個完整、有序的知識體系.

2.3 在應用類三角函數知識教學中的應用

在面對應用類三角函數時，學生需要綜合運用三角函數的基本概念、命題與思想方法，并經歷理解問題、分析變量、建立模型以及求取參數值的整個過程.因此，應用類三角函數教學的核心在于構建代數表征（解析式）、圖象表征（函數圖象）與實物表征（問題情境）之間的橋梁［5］.GeoGebra軟件展現出了獨特的優勢，其不僅能夠集成函數與圖表、集合與向量等基本數學元素，還能夠為教師提供強大的命令集，使教師能夠輕松地搭建現實情境，進而幫助學生深入理解三角函數變量的現實意義.教師應首先利用GeoGebra軟件構建函數現實情境讓學生親身體驗三角函數在現實生活中的應用.例如，在教授三角函數模型時，教師可以利用GeoGebra制作水車、摩天輪等模型.在此基礎上，教師應利用GeoGebra展現變量的現實意義，即通過設置滑動條控制參數α，ω，φ，讓學生觀察點P在勻速圓周運動中的軌跡變化，從而直觀地理解這些參數對函數圖象的影響，進而幫助學生建立函數關系與幾何意義之間的聯系，培養其數學建模能力.

3 結束語

綜上所述，GeoGebra軟件在高中三角函數教學中的應用不僅能夠有效提高學生的學習興趣，還能幫助他們更好地理解抽象概念，掌握解題技巧，并將數學知識應用于解決實際問題.文章提出的實踐策略為教師提供了多元化的教學手段，更為學生的全面發展創造了廣闊的空間.未來，教師可進一步探索GeoGebra軟件在數學其他知識領域的應用，以充分發揮GeoGebra軟件的功能，為高中數學教學帶來更多可能，為學生的全面發展保駕護航.

參考文獻：

［1］ 董祥玲，王楊，田宇.高中三角函數教學運用GeoGebra軟件的實踐策略研究［J］.黑龍江教育，2024（06）：66-68.

［2］ 寇恒清.基于GeoGebra的數學教學設計：以“三角與三角函數”大單元為例［J］.教育傳播與技術，2021（04）：91-95.

［3］ 秦曉鵬.數學課堂Geogebra軟件應用探析［J］.中學生數理化，2019（Z1）：40.

［4］ 王嘉琨.GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用研究［J］.數理天地

，2024（13）：129-130.

［5］ 譚佳琳，寧紹鵬，朱亞旸，等.基于TPACK理論的信息技術與高中數學的整合研究：以“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”為例［J］.中學課程資源，2023，19（05）：7-10.

［責任編輯：李 璟］