“不動點”原理在求數列通項公式中的應用

摘 要：文章利用“不動點”原理求各種形式的數列遞推關系的通項公式，包括遞推關系為一次函數型、分式函數型和二次函數型，為高中生提供一種可操作性極強的求解數列通項公式的方法.

關鍵詞：數列；通項公式；不動點原理；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0019-03

給定數列的遞推關系求數列的通項公式是高考?？嫉念}型.對于這類題，如果直接求解技巧性比較強，學生不易掌握；如果根據“不動點”原理來求解可操作性極強，學生容易掌握.

1 “不動點”原理

對于連續函數f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的不動點.

利用“不動點”求一次函數型和分式函數型遞推關系數列的通項公式，主要是基于如下兩個定理.

定理1 若an=ban-1+c（n≥2），且b≠1，p是f（x）=bx+c的不動點，則有an-p=b（an-1-p）（n≥2）.

證明 因為p是f（x）的不動點，所以p=bp+c.

又an=ban-1+c，兩式相減，得an-p=b（an-1-p）.

定理2 設ad-bc≠0，f（x）=ax+bcx+d.

（1）若函數f（x）有兩個不動點p，q，則an=aan-1+bcan-1+d（n≥2）可化成an-pan-q=k·an-1-pan-1-q（n≥2）.

（2）若函數f（x）只有一個不動點p，則an=aan-1+bcan-1+d（n≥2）可化成1an-p=1an-1-p+k（n≥2）.

證明 因為

an-pan-q=（aan-1+b）/（can-1+d）-p（aan-1+b）/（can-1+d）-q

=（a-pc）an-1+（b-pd）（a-qc）an-1+（b-qd）

=a-pca-qc·an-1+（b-pd）/（a-pc）an-1+（b-qd）/（a-qc），

令p=-b-pda-pc，q=-b-qda-qc，

從而得p=ap+bcp+d， q=aq+bcq+d. ①

即an-pan-q=k·an-1-pan-1-q（n≥2）.

注 ①式表明p，q是f（x）的不動點.類似可證（2）.

2 遞推關系為一次函數型

運用“不動點”原理求數列遞推關系為一次函數型an+1=Aan+B的通項公式的步驟如下：

第一步，構造函數f（x）=Ax+B，并令f（x）=x，求出f（x）的不動點x0；

第二步，在遞推公式an+1=Aan+B兩端同時減去x0，化簡使得左右兩側結構一致；

第三步，構造等比數列求通項公式.

例1 已知數列an滿足a1=1，an+1=2an+2（n∈N*），則an=.

解析 求不動點.設f（x）=2x+2，令f（x）=x得2x+2=x，解得x=-2.

所以由題意可得an+1-（-2）=2an+2-（-2），即an+1+2=2（an+2）.

因為a1+2=3，所以an+2是首項為3，公比為2的等比數列，

從而an+2=3×2n-1，故an=3×2n-1-2.

點評 由遞推公式找到對應的不動點方程，求出不動點，則可構造等比數列求數列的通項公式［1］.

3 遞推關系為分式函數型

運用“不動點”原理求數列遞推關系為分式函數型an+1=pan+qman+t的通項公式的步驟如下：

第一步，構造函數f（x）=px+qmx+t，并令f（x）=x，求出f（x）的不動點；

第二步，若f（x）有2個不動點，則用an+1=pan+qman+t兩端分別減去兩個不動點，得到兩個式子，兩式相除可以產生優良結構，進而構造等比數列來求通項公式；若f（x）只有1個不動點，則用an+1=pan+qman+t兩端減去該不動點，再取倒數，化簡可以產生優良結構，進而構造等差數列求通項；若f（x）沒有不動點，則在考題中，an往往是周期較小的周期數列，直接根據首項和遞推公式an+1=pan+qman+t求出前幾項找規律即可.

例2 已知數列xn滿足x1=2，xn+1=4xn+3xn+2，則數列xn的通項公式為.

解析 設g（x）=4x+3x+2，令g（x）=x可得

4x+3x+2=x，解得x=3或-1.

從而xn+1-3=4xn+3xn+2-3=xn-3xn+2.②

所以xn+1+1=4xn+3xn+2+1=5（xn+1）xn+2.③

用②式除以③式可得xn+1-3xn+1+1=15·xn-3xn+1.

又x1-3x1+1=-13，所以xn-3xn+1是首項為-13，公比為15的等比數列.

從而xn-3xn+1=-13×（15）n-1.

故xn=3-43×5n-1+1.

點評 運用“不動點”原理求遞推關系為分式型數列，可順利構造出等比型數列，求出通項公式.

例3 已知數列an滿足a1=2，an+1=an-1an+2，則a2023=.

解析 設f（x）=x-1x+2，令f（x）=x得x-1x+2=x，化簡得x2+x+1=0，顯然該方程無解，這種情況下an一般是周期不大的周期數列，我們只需算出前幾項，找規律即可.

由題意，a1=2，所以a2=a1-1a1+2=14，a3=a2-1a2+2=-13，a4=a3-1a3+2=-45，a5=a4-1a4+2=-32，a6=a5-1a5+2=-5，a7=a6-1a6+2=2=a1.

從而an是以6為周期的周期數列.

故a2023=a337×6+1=a1=2.

點評 先求不動點方程，根據方程無解可知其是周期數列，再逐項計算根據周期求解即可.

例4 已知數列an滿足an+1=-1an+2，a1=2，則an=.

解析 設f（x）=-1x+2，令f（x）=x，得-1x+2=x，解得x=-1.

所以an+1-（-1）=-1an+2-（-1）.

化簡，得an+1+1=an+1an+2.

所以1an+1+1=an+2an+1=an+1+1an+1=1+1an+1.

從而1an+1+1-1an+1=1.

又1a1+1=13，所以1an+1是首項為13，公差為1的等差數列.

故1an+1=13+（n-1）×1=n-23.

所以an=5-3n3n-2.

點評 由遞推公式找到對應的不動點方程，由于一元二次特征方程只有一個解，所以需要在

an+1=-1an+2的兩邊減去該不動點，再取倒數，從而可構造等差數列求解.

例5 方程f（x）=x的解稱為函數f（x）的不動點，若f（x）=axx+2有唯一不動點，且數列an滿足a1=12，1an+1=f（1an），則a2 018=.

解析 由題axx+2=x，化簡，得x2+（2-a）x=0有唯一不動點，所以△=（2-a）2=0.

所以a=2.

所以f（x）=2xx+2.

所以1an+1=2×（1/an）（1/an）+2=21+2an=11/2+an.

所以an+1=12+an.

所以an+1-an=12.

所以an是首項為12，公差為12的等差數列.

所以a2 018=12+2 017×12=1 009.

例6 已知數列an滿足a1=1，an+1=-an+1（n∈N*），則an=.

解析 設f（x）=-x+1，令f（x）=x，得-x+1=x，所以x=12.

從而an+1-12=-an+1-12.

所以an+1-12=-（an-12）.

因為a1-12=12，所以an-12是首項為12，公比為-1的等比數列.

故an=12×（-1）n-1+12［2］.

4 結束語

綜上所述，根據數列遞推關系求通項公式，這類題型主要考查根據遞推關系結構，運用“不動點”原理求出不動點，進而構造出等差（等比）數列.這充分體現了學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算的核心素養.

參考文獻：

［1］ 李鴻昌.高考題的高數探源與初等解法[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2022.

[2] 李鴻昌，徐章韜.用母函數理解組合問題[J].數學通訊，2023（10）：59-61，66.

［責任編輯：李 璟］