基于邏輯推理核心素養的教學

摘 要：集合是高中生第一個正式學習的內容，放在第一章說明其地位之高.而集合的運算更是教學中的重點，里面抽象的知識點的學習則要求教師著重培養學生的邏輯推理能力，為以后的學習打下基礎.

關鍵詞：集合的運算；課堂；邏輯推理

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0030-03

討論培養邏輯推理素養的策略，本質上離不開數學思維品質的培養，而數學思維培養孕育的主陣地是課堂，所以本教學設計想通過實踐研究來改變單一傳統的教學模式.通過潛移默化的熏陶，學生的思維能力得以提升，素養逐步落地生根.

1 學情分析

本課的學習對象是高一的新生，從學生的學習基礎來看，學生經過多年的數學學習，已經具備了一定的觀察能力、推理能力和思維轉換的能力；從已有知識和經驗來看，學生在學習集合的運算之前已經系統學習了集合的概念、性質等知識，對集合已經有了一定的了解.雖然集合的運算和之前的算術運算有很大的不同，但是這兩個知識遷移的過程可以讓學生明白數學運算的底層架構是一樣的，而且數學運算是解決數學問題的基本手段，

其最大的價值是可以培養學生的推理能力[1].

2 教學過程

2.1 創設情境，興趣導入

教師：同學們好，我們已經學習了集合的概念、集合與集合之間的關系.下面我們將學習集合的運算，聽到運算這個詞，你們有什么想法？

學生：會想到加減乘除這些運算法則.

教師：我們馬上要學習的集合的運算和這之間有沒有聯系？如果有，那將是怎樣的？

學生：有聯系，集合之間應該也有加減乘除.

教師：好的，（這里寫2個集合）這兩個集合相加會是怎樣的結果？

學生：（各有各的想法，有不少還拿不定主意）

教師：你們發現什么問題了？

學生：這兩個集合相加的話，里面誰和誰相加不知道啊.

設計意圖：猜想正確與否沒關系，關鍵是這個思考的過程必須讓學生親身經歷.高一新生的可塑性還很強，我們如果從一開始的教學中就不斷讓學生自己嘗試推導本節課的知識點，那今后的課前預習效果就會更好.

2.2 動腦思考，探索新知

教師：既然一時半會想不到，那我們來看一道題.用Venn圖分別表示下列各組中的三個集合， 你能說出集合C與集合A、B之間的關系嗎？A=-1，1，2，3，B=-2，-1，1，C=-1，1.

學生：（畫圖，教師選取一人上來展示）.

教師：你們有什么發現？

學生：集合A與集合B中有共同的元素，而集合C中恰好就是那共同的元素.

教師：不錯，說得很直觀.但是我們能不能用數學的語言來描述？

學生：集合C中的元素既屬于集合A也屬于集合B.

教師：很好，這就是我們今天要學習的第一個集合的運算——交集.

（1）定義：給定兩個集合A與集合B，由既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合，叫作集合A與集合B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”.即

A∩B=xx∈A且x∈B.

（2）圖形表示：陰影部分表示A∩B.

教師：看著Venn圖，是不是覺得交集這個稱呼挺形象的？2.3 鞏固知識，典型例題

例題：已知集合A、B，求A∩B.

（1）A=3，8，6，5，B=4，5.6，7;

（2）A=1，4，7，B=2，5，8;

（3）A=1，5，6，9，B=1，5;

（4）A=x-4lt;x≤2，B=x-1≤x≤3.

教師：在完成上述題目時，你們又有什么新的問題發現嗎？

學生：第二個好像沒有答案，第三個算下來就是集合B.

教師：為什么說第二個沒有答案？

學生：因為這兩個集合沒有公共的元素，所以沒有答案.

教師：好的，我們換個問題，數與數的運算，結果是什么？

學生：是數.

教師：那集合與集合的運算呢？

學生：應該是集合.

教師：所以第二題有沒有答案？

學生：有，是空集.

教師：不錯，那我們能不能試著推導一下，什么時候兩個集合的交集是空集？

學生：當兩個集合沒有公共元素時，有A∩B=.

教師：很好，接著我們再看第三題，又有什么新發現？

學生：集合B其實是集合A的子集.

教師：也就是說，當集合B是集合A的子集時，有A∩B=B，反之亦然，對不對呢？（可提示學生畫Venn圖來驗證）

教師：最后我們來看第四題，有什么思路嗎？

學生：集合是不等式，不好列舉，但可以畫數軸，把兩個范圍都畫出來后，觀察公共部分即可.

教師：對，這就是數形結合，但一定要注意端點能否取到.（教師指導學生如何進行端點的取舍）

教師總結：

求兩個集合的交集就是找出這兩個集合的公共元素：

（1）對于用列舉法表示的實數組成的數集一般利用定義或 Venn圖求解；

（2）對于用描述法表示的實數組成的數集一般利用數軸分析求解；

（3）當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

設計意圖：與傳統教學不同的是，這一部分是用特殊的題目來引導學生猜想出結論，用具體直觀的特例讓學生感受，使其自主猜想結論，遠好過先告訴結論讓學生去論證這種“先射箭再畫靶”的模式.

2.4 類比遷移，發現并集

教師：剛剛我們學習了交集，下面我們來看另一個集合的運算——并集.那么先小組討論，通過仿照交集的定義來描述并集.

學生小組討論，對于進展緩慢的小組，教師可向他們指出交集關鍵在于“元素既屬于集合A也屬于集合B”，再由并集中的“并”這個字著手，看看能否類比出并集的定義.

學生：剛剛交集中的元素是屬于集合A并且屬于集合B，我們推測并集中的元素是屬于集合A或者屬于集合B.

教師：這兩句話最大的不同在哪？

學生：一個是“且”，一個是“或”.（教師隨后帶領學生類比交集的定義在黑板上板書并集的定義.）

（1）定義：給定兩個集合A與集合B，把它們所有的元素合并在一起組成的集合，叫作集合A與集合B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”.即

A∪B=xx∈A或x∈B.

（2）圖形表示：陰影部分表示A∪B.

在板書完定義后，教師給出下列題目讓學生思考.

已知集合A、B，求A∪B.

（1）A=1，6，7，B=2，4，9，7;

（2）A=4，5，7，B=5，7;

（3）A=x｜1≤x≤9，B=x｜3lt;Xlt;10;

（4）A=，B=7，8，9.

教師仿照交集學習時的問題，讓學生思考這幾題有什么發現.比如第二題，學生發現集合B是答案，而集合B又是集合A的子集.試著讓他們歸納出當集合B是集合A的子集時有A∪B=A，再讓學生舉出一些實例來體驗.同樣第三題也是要讓學生回顧交集中類似的題目，這樣才能使類比這個思想落實到位，學生今后在碰到新知識時不會過度依賴教師.第四題則是數形結合的又一次運用，直觀的圖能更好地促進學生理解.

2.5 教師總結，隨堂反饋

兩個集合求并集，結果還是一個集合，集合A與集合B的所有元素組成的集合，它們的公共元素在并集中只能出現一次.對于表示不等式解集的集合的運算，可借助數軸解題.

設計意圖：并集的教學過程實際上是另一種推理形式——類比.事實上，學生在學習完章節最開始的知識后，如果將這個知識的推導過程運用到下一個知識的學習中，能很大程度提高學習效率.

3 教學思考

在中學數學集合的學習中，集合的運算是集合的重點，又是新知.在復習中應抓住基礎題目進行鞏固練習，不宜出現過難的變式題.還要將學生作為學習的主體，不能讓學生斷裂拼湊式學習數學，要以理解學習為主，培養學生的邏輯推理能力［2］，為將來學習更加抽象的知識做準備.

參考文獻：［1］ 寧連華.數學推理的本質和功能及其能力培養[J].數學教育學報，2003（3）：42-45.

［2］ 連頻.簡談高中數學核心素養的培養[J].中學課程資源，2022，18（9）：65-66.

［責任編輯：李 璟］