初中學生直觀想象素養的三重境界

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.直觀想象主要表現為：建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物.

在初中階段的函數學習中，二次函數是相對較難的內容，它與二次式、一元二次方程、一元二次不等式有著緊密聯系.二次函數是描述勻變速問題的基本模型，其變化規律、增減性、對稱性、最大（小）值、零點等特性很難從函數解析式上觀察出來，二次函數圖象的延展性、連續性、對稱性、頂點、與坐標軸的交點等非常直觀地將二次函數在“數”方面的隱性特征外化出來，為二次函數相關問題的解決提供了直觀模型.在深入理解函數圖象的基礎上，借助拋物線的直觀形象發現和提出問題、分析和解決問題、探索和形成解題思路往往是解決二次函數相關問題的思維基礎.

初中階段正是學生幾何直觀和空間觀念發展的關鍵時期，受知識水平、思維能力、活動經驗的限制，他們的直觀想象能力表現出明顯的差異，在利用函數圖象解決問題方面表現出不同的層次.

1 看圖識圖，直接感知

關于直觀，西方哲學家普遍認為，直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的直接洞察；徐利治教授認為，直觀就是借助于經驗、觀察所產生的對事物關系的直接的感知與認識.關于直觀想象素養，普通高中數學課程標準（2017年版）將其劃分為三級水平，水平一的主要表現為：能夠在熟悉的情境中，體會圖形與數量的關系，能夠通過圖形直觀認識數學問題；能夠用圖形描述和表達熟悉的數學問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數形結合.

拋物線是學生熟悉的圖形，借助拋物線的直觀形象，學生不難直接感知開口方向、對稱軸、頂點、拋物線與坐標軸的交點，進一步可以由形到數“讀”出函數的增減性、最值、相應方程解的情況或不等式的解集，相關代數式的取值范圍，初步體會數與形的聯系，這是借助二次函數圖象解決問題的第一重境界.

案例1 如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，則下列結論中，錯誤的是（" ）.

A.a＜0

B.c＞0

C.b2-4ac＞0

D.a-b+c＜0

本題直接給出了函數圖象，四個選項的正誤可以比較直觀地從圖象上觀察得到，不需要進行太多的推理和計算.

2 想圖畫圖，數形結合

直觀想象素養的二級水平的主要表現為：能夠在關聯情境中，想象并構建相應的幾何圖形；借助圖形提出數學問題，發現圖形與圖形、圖形與數量的關系，探索圖形的運動規律;能夠借助圖形性質探索數學規律，解決實際問題或數學問題；能夠形成數形結合的思想，體會幾何直觀的作用和意義.

二次函數與二次多項式、一元二次方程、二次不等式直接相關，在與二次函數相關聯的問題情境中，想象和構造函數圖象，運用數形結合思想，通過幾何直觀和空間想象探尋相關問題的解題思路，描述和解決相關數學問題是借助二次函數圖象解決問題的第二重境界.

案例2 若拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過第四象限的點（1，-1），則關于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情況是（" ）.

A.有兩個大于1的不相等實數根

B.有兩個小于1的不相等實數根

C.有一個大于1另一個小于1的實數根

D.沒有實數根

從“數”的角度看，本題考查一元二次方程根的情況，從“形”的角度思考，實際上是考查拋物線與x軸的交點位置，根據題意畫出函數的圖象，答案十分明顯（選項C正確）.

案例3 若二次函數y＝|a|x2+bx+c的圖象經過點A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（2，y2），E（2，y3），則y1，y2，y3的大小關系是（" ）.

A.y1＜y2＜y3

B.y1＜y3＜y2

C.y3＜y2＜y1

D.y2＜y3＜y1

本題沒有給出二次函數圖象，問題中涉及到的字母較多，直接計算y1，y2，y3的值顯然費時費力，走入誤區.如果仔細審題，發現A與C兩點的縱坐標相等，從而得到拋物線的對稱軸，畫出函數的大致圖象，在圖象上描出B，D，E三點，再由B（0，y1），D（2，y2），E（2，y3）與對稱軸的距離，即可判斷y1＞y3＞y2.

案例4 小愛同學學習二次函數后，對函數y＝-（|x|-1）2進行了探究.在經歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖2的函數圖象.請根據函數圖象，回答下列問題：

（1）觀察探究：

①寫出該函數的一條性質；

②直接寫出方程-（|x|-1）2＝-1的解；

③若方程-（|x|-1）2＝a有四個實數根，直接寫出a的取值范圍.

（2）延伸思考：

將函數y＝-（|x|-1）2的圖象經過怎樣的平移可得到函數y1＝-（|x-2|-1）2+3的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍.

解析：（1）

①該函數的其中一條性質為“函數圖象關于y軸對稱”.

②方程-（|x|-1）2＝-1的解為x＝-2或x＝0或x＝2.

③結合圖象，若方程-（|x|-1）2＝a有四個實數根，則a的取值范圍是-1＜a＜0.

（2）將函數y＝-（|x|-1）2的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，可得到函數y1＝-（|x-2|-1）2+3的圖象（見圖3）.

當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍是0＜x＜4且x≠2.

本題背景較為新穎，主要考查學生的數學活動經驗和直觀想象能力.第（1）問借助圖形直觀不難解答，第（2）問在比較兩個函數解析式的基礎上畫出平移后的圖象，觀察圖象即可得到問題的解.

3 無圖構圖，轉化建模

前面兩種境界都是在二次函數背景下，在熟悉或者關聯的情境中運用圖象直觀解決當前知識范疇之內的問題，以識圖解題、構圖解題為手段.直觀想象素養的最高境界就是在綜合復雜的情境中，在理解數學各分支之間聯系的基礎上，創造性地建立數學的直觀模型，綜合利用圖形與圖形、圖形與數量的關系解決問題.

案例5 （2021年廣東省中考試題節選改編）已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一個解，且對任意實數x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.求a，b，c的值.

分析：本題表面上是二次方程和二次不等式問題，條件比較隱含，但如果跳出不等式范疇，轉換視角，用函數觀點看不等式，結合函數圖象解決問題，則可以柳暗花明.

解析：如圖4所示，在同一直角坐標系中畫出直線y=4x-12和拋物線y=2x2-8x+6.

容易發現直線與拋物線有唯一公共點（3，0），

除此以外，拋物線y=2x2-8x+6恒處于直線y=4x-12上方.由于對任意實數x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6，

所以當x=3時，

0≤ax2+bx+c≤0.

于是，拋物線y=ax2+bx+c經過點（3，0）.

設y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3），則

y＝ax2-2ax-3a.

又ax2-2ax-3a≥4x-12恒成立，即不等式ax2-（2a+4）x+（12-3a）≥0恒成立，所以a＞0且Δ≤0.

整理得（a-1）2≤0，且a＞0，則a=1.

因此容易得到a＝1，b＝-2，c＝-3.

利用函數圖象可以驗證上述結論正確.

本題將不等式問題轉化為函數問題，利用直線和拋物線的直觀形象，通過探索拋物線與直線的位置關系來解決不等式問題，體現了幾何直觀的獨特魅力.

數學是研究空間形式和數量關系的科學，“形”和“數”是同一事物的兩個不同方面，對數學問題的思考往往需要憑借直觀想象.直觀想象是以直觀表象為思維起點，以數形結合為思維方式，以構建直觀模型為創新特點.利用函數圖象解決問題，首先要充分認識函數圖象的基本特征，學會看圖識圖，直接感知圖象所呈現的基本信息；其次是要學會利用數形結合去思考問題，想圖畫圖，借助圖象解決相關聯的數學問題；最后就是構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，利用圖象描述、分析、解決數學問題，達到借助函數圖象解決數學問題的最高境界.