初中數學解題反思的幾個著力點

［摘 要］解題反思有利于學生理解數學知識和掌握解題技巧，是提高學生數學核心素養和培養學生數學關鍵能力的重要途徑。教師可引導學生對題目考查的知識點、解題過程的合理性和便捷性、題目條件與結論的關系、題目所考查的數學思想方法、題目的問題情境、錯題等進行反思，及時總結解題方法與解題規律， 使學生掌握解題思維活動的基本規律，提升學生的解題能力和核心素養。

［關鍵詞］解題反思；初中數學；著力點

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）23-0019-04

解題反思是一個重要的學習環節，是學生理解數學知識和掌握解題技巧的重要方法，它有助于培養學生的邏輯思維能力和問題解決能力。在解題教學中，就算教師將解題方法與技巧講得清清楚楚、面面俱到，一些學生自己動手做題時仍然不知從何下手，究其原因主要是缺少解題反思。對此， 教師應引導學生對題目考查的知識點、解題過程的合理性和便捷性、題目條件與結論的關系等進行反思，使學生通過反思加深對數學知識的理解，掌握解題的規律與技巧，逐步提高解題能力。具體可從以下幾個方面進行解題反思。

一、題目考查的知識點

反思題目考查的知識點是非常重要的。在解題后，教師可讓學生反思題目考查了哪些概念、公式、定理和推論，然后對比類似的題目和知識點，找出它們之間的聯系和區別，這樣可讓學生鞏固復習知識，更好地掌握知識點，提高解題效率。

［例1］如圖1，四邊形[ABCD]中，[AD]∥[BC]，點[O]為對角線[BD]的中點，過點[O]的直線[l]分別與[AD]、[BC]所在的直線相交于點[E]、[F]（點[E]不與點[D]重合）。

（1）求證：[△DOE ]≌[△BOF]。

（2）當直線[l⊥BD]時，連接[BE]、[DF]，試判斷四邊形[EBFD]的形狀，并說明理由。

解析：（1）由[AD]∥[BC]，利用平行線的性質得到[∠ODE=∠OBF]，[∠OED=∠OFB]，由[O]為[AD]的中點得[BO=DO]，可證得[△DOE ]≌[△BOF]。

（2）判斷四邊形[EBFD]為菱形，連接[EB]、[FD]，如圖2所示，由[△DOE ]≌[△BOF]得[ED=BF]，結合[ED]∥[BF]可由平行四邊形的判定知四邊形[EBFD]為平行四邊形，又直線[l⊥BD]，即[EF⊥BD]，由菱形的判定得四邊形[EBFD]為菱形。

反思：解答此題需要用到三角形全等的判定和性質、平行四邊形的判定、菱形的判定、平行線的性質等相關知識，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法。通過逐一回顧這些知識點，學生清楚圖形的性質與判定的核心是邊與角及其關系，從而加強對問題的認識，進一步鞏固知識。

二、解題過程的合理性與便捷性

反思解題過程的合理性和便捷性是非常重要的。解題過程的合理性是指解題過程合理、完整，而解題過程的便捷性則是指解題過程簡單、高效。

解題后必須對解題過程進行反思。首先，反思解題步驟和方法是否規范合理，列式是否符合題意，使用的數學概念、公式和方法是否正確，檢查和梳理解題過程是否合理、完整；其次，反思解法是否便捷、是否最佳， 思考有無多種解法。有時候，同一個問題可能有多種解法，而不同的解法可能在解題過程的合理性與便捷性上有所不同。通過反思解題過程的合理性和便捷性，可以找到更加高效、簡捷的解法，從而提高解題效率。

［例2］如圖3，點[A]、[D]分別在函數[y=-3x]和[y=6x]的圖象上，點[B]、[C]在[x]軸上。若四邊形[ABCD]為正方形，點[D]在第一象限，則點[D]的坐標是" " " " " " "。

解法一：∵四邊形[ABCD]為正方形，∴設點[D]的坐標為[m，6m]，則點[A]的坐標為[-m2，6m]，∴[m--m2=6m]，解得[m=±2]（負值舍去），經檢驗，[m=2]是方程的解，∴點[D]的坐標為（2，3）。

反思：本題采用的是設坐標法，這一解法是常規方法，是否還有更簡捷的解法？通過觀察圖形（如正方形）的特征，聯想面積問題，發現可利用[k]的幾何意義解題。

解法二：由反比例函數的比例系數[k]的幾何意義可得正方形[ABCD]的面積為[3+6=9]，∴[CD=3]，∴[OC=2]，∴點[D]的坐標為（2，3）。

反思：兩種解法都符合數學原理，具有合理性，但解法二利用[k]的幾何意義更為簡單快捷，在選擇題和填空題中優點尤為突出。

通過解題反思，學生有了一題多解的意識，并能分析每種解法的優劣，學會去繁取簡、優化解題過程。

三、題目條件與結論的關系

在解題過程中，學生對題目的條件與結論的認識和理解可能存在缺漏，造成審題不清或忽視條件與結論的內在關系，從而導致錯解或無解。因此，反思題目條件與結論的關系尤為重要。

首先，反思是否閱讀清楚題目，有沒有遺漏或誤解，是否完全理解所有的條件，并思考這些條件之間的聯系，以及它們可能會如何影響解題過程；其次，仔細考慮題目要求的結論或需要證明的結論；最后，在了解題目條件和結論的基礎上，思考結論與題目條件之間的關系，思考為什么這些條件能推出結論或者為什么結論是基于這些條件而得出的，嘗試找出連接題目條件和結論的橋梁。

［例3］如圖4，在[△ABC]中，[AB=AC]，[∠A=30°]，射線[CP]從射線[CA]開始繞點[C]逆時針旋轉[α]角（[0°lt;αlt;75°]），與射線[AB]相交于點[D]，將[△ACD]沿射線[CP]翻折至[△ACD]處，射線[CA]與射線[AB]相交于點[E]。若[△ADE]是等腰三角形，則[∠α]的度數為" " " " " " " 。

解析：由折疊的性質知[∠A=∠A=30°]，[∠ACP=∠A′CP=α]，當[AD=DE]時，如圖5，若[∠DEA=∠A=30°]，由三角形的外角性質得[∠DEA=∠A+∠ACD+∠ACD]，即[30°=30°+2α]，此情況不存在。當[AD=AE]時，如圖6，[∠A=30°]，[∠DEA=∠EDA=12×（180°-30°）=75°]，由三角形的外角性質得[75°=30°+2α]，解得[α=22.5°]。當[EA=DE]時，如圖7，[∠EDA=∠A=30°]，∴[∠DEA=180°-30°-30°=120°]，由三角形的外角性質得[120°=30°+2α]，解得[α=45°]。當[AD=AE]時，如圖8，[∠ADE=∠AED=15°]，∴[∠ADC=∠ADC=12×（180°-15°）=82.5°]，∴[α=∠ACD=180°-30°-82.5°=67.5°]。

綜上，[∠α]的度數為[22.5°]或[45°]或[67.5°]。

反思：三角形的外角是解題的關鍵條件，更是解題的橋梁。當條件不明確時就要考慮分類討論；當題中提供的圖形不夠用時，可多畫些圖形進行分析；當題中直接提供的條件不夠用時，應挖出隱含條件加以運用，從而順利解決問題。

四、題目所考查的數學思想方法

數學思想方法是數學知識的精髓，是對數學知識本質的認識。在解題過程中，不僅要關注題目的答案，還要關注解題過程所涉及的數學方法和蘊含的數學思想。反思題目考查的數學思想方法是一個非常重要的學習過程，學生通過總結題目考查的數學思想方法，形成自己的解題經驗和策略，并將這些解題經驗和策略應用到其他類似的題目中，檢驗其有效性，從而達到對數學思想方法的再認識，加深對數學思想方法的理解，提升解題能力和數學核心素養。

［例4］如圖9，一次函數[y=kx+b（kgt;0）]的圖象過點[（-1，0）]，則不等式[k（x-1）+bgt;0]的解集是（ ）。

A. [xgt;-2] B. [xgt;-1]

C. [xgt;0] " D. [xgt;1]

解法一：∵一次函數[y=kx+b（kgt;0）]的圖象過點（-1，0），∴[-k+b=0]，∴[b=k]，∴不等式化為[kx-k+bgt;0]，即[kxgt;0]，∵[kgt;0]，∴[xgt;0]，故選C。

反思：函數圖象經過某一點，把該點的坐標代入函數關系式是一種常用方法（直接法），但既然有圖象，而不等式與函數圖象之間又有密切的關系，能否用圖象法求解？由[kx+b]與[k（x-1）+b]對應成[y=kx+b]與[y=k（x-1）+b]，能體現點的坐標與圖形變換的關系，因此可以利用數形結合方法求解。

解法二：如圖10，將直線[y=kx+b（kgt;0）]向右平移1個單位得到[y=k（x-1）+b（kgt;0）]，該圖象經過原點，由圖象可知，在[y]軸右側，直線位于[x]軸上方，即[ygt;0]，因此，當[xgt;0]時，[k（x-1）+bgt;0]，故選C。

反思：本題利用一次函數的圖象與一元一次不等式之間的關系求解，通過觀察圖象，從圖象中得到對應部分的解集，把求答案化成看答案（圖象法），體現了數形結合思想。通過解題反思，學生了解到除了一般的常規解題方法，還可以利用數形結合思想進行求解，既簡便又快捷，進一步拓展了解題思路與拓寬了解題視野，提升了解題能力。

五、題目中的問題情境

通過反思題目中的問題情境，學生可感受到數學在解決生活問題的作用，從而增強學生的知識應用意識，提高學生解決實際問題的能力。在反思題目的問題情境時，要弄清楚題目的背景信息，理解所描述的實際情境，理解題目要求，確定解題方向。在理解題目背景和要求的基礎上，挖掘題目的隱含條件。有時候題目會間接給出一些關鍵信息，需要仔細分析和推斷，在得到解后，還要檢查解是否符合題目背景和要求。同時，還應將問題與其他知識關聯起來。例如，如果問題涉及方程，那么可以考慮這個方程與哪些方程有關聯，或者這個方程在實際生活中的應用場景等。

通過以上反思，學生可以更好地理解和掌握數學問題，提高數學思維能力和解題能力。

［例5］任務：某校八年級同學想測量旗桿的高度 h（m），他們發現系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子長度未知，如圖11所示。

工具： 一把皮尺（測量長度略小于繩子長）。

小明利用皮尺測量，求出了旗桿[BC]的高度 [h（m）]，其測量及求解過程如下：

測量出繩子垂直落地后還剩余[a]（m），把繩子拉直，繩子末端A點在地面上離旗桿底部C點[b]（m），即[AC=b]（m），如圖12所示。

由測量得[AC=b]，[BC=h]，[AB=h+a]，在 Rt[△ABC]中，[∠ACB=90°]，∴[BC2+AC2=AB2]， 即[h2+b2=（h+a）2]，∴[h=]" " " " " " "（m）。

閱讀下列材料，回答問題。

（1）直接寫出小明求得的旗桿高度h（m）的值;

（2）小明求得h所用到的幾何知識是" " " " " " ;

（3）小明僅用皮尺，通過２次測量，求得h（m），請你利用皮尺另外設計一個測量方案，并利用直角三角形的知識求旗桿的高度h（m），寫出你的測量及求解過程。（測量得到的長度用字母m，n表示）

反思：測量長度和高度問題是常見的問題，但回歸到實際生活情境的應用不多見，因此如何把所學知識應用于解決生活實際問題至關重要。很多學生可能想到了方法，但不會表達，而還有學生是看不懂題目中的表述在數學中的含義。因此，教師應引導學生對數學實際情境問題進行思考、反思、總結，從而提高學生解決實際情境問題的能力，同時讓學生進一步感受數學知識在解決實際問題中的作用。

六、錯題

反思錯題有助于學生找到問題所在，避免再犯同樣的錯誤，提高數學解題能力。具體做法如下：

1.明確錯誤原因。仔細分析錯題，找出錯誤的原因，如概念理解不清、計算錯誤、方法不當等。明確錯誤原因，有助于針對性地解決問題。

2.回顧相關知識點?；仡櫯c錯題相關的數學知識點，確保自己對這些知識點有清晰的理解。如果遇到不熟悉的知識點，應及時查閱課本或請教老師、同學。

3.訂正錯題。在找到錯誤原因后，嘗試自己訂正錯題。訂正錯題有助于把握正確的解題思路和方法，同時提升解題能力。

4.舉一反三。在訂正錯題后，嘗試舉一反三，找出類似的問題并進行練習。舉一反三有助于更好地掌握相關知識點，提高解題的熟練度。

5.尋求幫助。如果在反思過程中遇到困難，可向老師、同學請教，或者參加數學學習小組，與其他小組成員共同討論、解決問題。

通過明確錯誤原因、回顧相關知識點、訂正錯題、舉一反三、尋求幫助等，學生可以更好地掌握數學知識，提高解題能力。

［例6］在[△ABC]中，[AB=AC]，[AB]的垂直平分線與[AC]所在的直線相交所得到的銳角為50°，則[∠B=]" " " " " " " 。

解析：此題根據[△ABC]中[∠A]為銳角與鈍角進行分類討論。當[∠A]為銳角時，如圖13，[∠B=70°]；當[∠A]為鈍角時，如圖14，[∠B=20°]。

反思：很多學生按通常的認識習慣畫出了銳角三角形，沒有注意到題中的等腰三角形并未畫出，即條件不明確，因此應分類討論，還存在是鈍角三角形的情況，所以答案應是70°或20°。當題中無具體化條件或是幾何題沒有畫圖，尤其是等腰三角形等有多種可能的圖形時，應進行分類討論，以避免出現漏解。

總之，從以上六個著力點進行解題反思，能夠幫助學生更好地鞏固所學數學知識和習得數學技能，掌握數學知識的本質，體悟數學知識的運用價值，進一步領會數學思想方法、完善思維過程，促使解題過程更加合理與解題方法更加便捷，提高解題能力。初中數學解題反思是一個持續的過程，需要不斷地思考、總結和改進。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 史寧中.數學基本思想與教學[M].北京：商務印書館，2018.

[2]" 白小紅.新課程背景下提高初中數學課堂教學有效性的策略分析[J].考試周刊，2021（92）：55-57.

（責任編輯 黃春香）