一道市級聯考題的解法探究與推廣

近期筆者在解題教學時遇到一道市級聯考題，考查了雙曲線的幾何性質，也考查了分析問題，解決問題的能力尤其是運算求解能力，本文現對其解法進行探究，并給出一般性的結論．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點P的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，直線OP與直線AN交于點D．設直線MB，MD的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．

1．推廣探究

評注：上述證明方法思路自然，邏輯順暢，利用設而不求和韋達定理策略處理斜率之積為定值問題，但是運算量大，學生不易算到最后結果．

評注：此方法看似繁瑣，實質有多次運用同構思想簡化運算，利用二次函數的對稱性得到斜率關系，相比證法一減少了很多運算量．而且有一個意外收獲，即kBN＝kMD，因此可知BN∥MD，由此可得命題2．

2．類比探究

橢圓與雙曲線有很多相似的性質，于是考慮橢圓是否也具有相似的結論呢［1］？經探究，可得如下命題：

以t＝kMD，即kBN＝kMD，所以BN∥MD．

評注：注意到點P是橢圓在點M處切線上的一點，由此考慮將命題3推廣到更加一般性的情況，得到如下命題．

如圖3，利用GeoGebra軟件，不難驗證結論是正確的．命題4的證明方法類似命題3，因運算較繁瑣，本文不再贅述，有興趣的讀者可以自行完成．

3．結語

“數學是思維的體操”，在數學學習中，要不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、演繹證明、反思與構建等思維過程.圓錐曲線的定值問題的研究無窮無盡，需要師生堅持不懈地探索與反思，這樣才會在學習中提升數學品質和數學素養.

參考文獻

［1］何雪冰.學會“選擇” 綻放“精彩”——一道高考題的教學反思［J］.中學數學教學，2020（04）：73-74.

［2］ 王中學，蔡忠芬.追根溯源求本質 反思感悟探新知［J］.數學通訊，2021（04）：34-36+38.