多想少算：利用題目中隱含的幾何意義解題

摘" 要：以典型例題來說明恰到好處地運用題目中隱含的幾何意義解題，“化式為形”或“化形為式”，可使問題解決幾何化、動態化、可視化，既能體現其操作簡單、運算方便的特點，又能體現形象直觀的優越性.

關鍵詞：幾何意義；數形轉化；動態化；解題能力

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0091-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：莫靜波（1981.9—），吉林省梨樹人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

高中數學中很多知識具有代數形式和幾何形式的“雙重性”，有些題目若只按照其代數形式的方向求解，會出現思路不清無從下手或計算繁雜的情況，但若能夠通過巧妙構造幾何量或幾何圖形，利用隱含的幾何意義求解，常常會獲得非常簡明的處理辦法［1］.但這些知識隱含的幾何意義往往具有隱蔽性和靈活性，不易被發現、掌握．因此，筆者以典型例題來說明恰到好處地運用隱含的幾何意義，對一些問題的解決卓有成效.該解法“化式為形”或“化形為式”，可使問題解決幾何化、動態化、可視化，既能體現其操作簡單、運算方便的特點，又能體現形象直觀的優越性，為拓寬學生解題視野、提升解題能力起到輔助作用，實現“多想少算”.

1" 利用代數式隱含的幾何意義

例1" 求y=（x+1）2+（lnx-2）2的值域.

分析" 本題題干簡練，但從代數形式結構解題卻很難入手，如果仔細觀察函數解析式結構，可聯想到兩點間距離公式d=（x-a）2+（y-b）2，可發現“y”的幾何意義是表示函數y=lnx上動點M到定點A（-1，2）的距離（如圖1）.借助圖象可知，當點M運動到點N處，即使得點N與點A的連線與點N處切線垂直時，點A到曲線y=lnx的距離最小，即為函數的最小值.

圖1" 例1幾何意義示意圖

解析" 設切點為N（x0，lnx0），則切線斜率為k=f ′（x0）=1x0.

因為AN與切線垂直，則kAN=-x0.

則直線AN方程為y-lnx0=-x0（x-x0） .

把（-1，2）代入解得x0=1.

所以切點N為（1，0）.

所以AN=［1-（-1）］2+（0-2）2=22.

所以函數的值域為［22，+SymboleB@）.

點評" 兩點間距離公式不僅可以正用公式，由給出的點的坐標求兩點間的距離，還可以逆用公式.根據題目條件，設點的坐標，利用兩點間的距離公式的幾何意義，化“數”為“形”，借“形”解“數”，使數學問題幾何化、直觀化，借助動態變化尋找到解題的突破口.

2" 利用圖形隱含的幾何意義

例2" 在平面直角坐標系xOy中，點A（2，0），B為曲線y=1-x2上的動點，C為第一象限內的點，滿足AB⊥AC，AB=AC，則線段OC的最大值是.

分析" 要解決這個問題，首先根據題意畫出圖象（圖2），結合圖象發現，本題中主要條件是AB⊥AC與AB=AC，剛好對應幾何中最重要的兩個要素：“角度”與“距離”.如果把它們結合在一起思考，就是“旋轉”，思考涉及“旋轉”的知識，就可聯想到復數乘法的幾何意義（旋轉變換及伸縮變換）［2］.

復數乘法的幾何意義：若z=r（cosθ+isinθ）（復數三角形式），則z0·z的結果為將復數z0按逆時針旋轉θ，再把模長變為原來的r倍，復數乘法幾何意義實際上是向量旋轉和拉伸變換的合成.

圖2" 例2幾何意義示意圖

解析" 由點B是曲線y=1-x2上的動點，可設B（cosα，sinα），α∈0，π，C（m，n），則 AC，AB對應的復數分別為

z1=m-2+n·i，z2=cosα-2+sinα·i.

由題可知z2=z1·（cos90°+isin90°）=z1·i" .

可得m=2+sinα，n=2-cosα.

所以m2+n2=（2+sinα）2+（2-cosα）2

=9+42sin（α-π4）.

因為α∈0，π，

所以m2+n2≤9+42=（1+22）2，當α=34π時等號成立.

因為OC=m2+n2，

所以OC的最大值為1+22.

點評" 本題利用復數乘法的幾何意義，把描述對象幾何關系轉化為有效的代數形式，成為本題解題的關鍵.幾何圖形與復數雖然彼此形式不同，但它們均能反映同一客觀事物的不同側面，在復數乘法的幾何意義中，揭示的是數之間的關系轉化為向量（形） 之間的關系.反過來，圖形中的位置關系，亦可借助乘法的幾何意義轉化為數之間的關系，即借助復數乘法的幾何意義，化“形”為“數”，把形轉化為有效的代數形式，解法更簡明了.

3" 利用概念、公式隱含的幾何意義

例3" 如圖3是蜂巢結構圖的一部分，正六邊形的邊長均為1，正六邊形頂點稱為“晶格點”.若A，B，C，D四點均位于圖中的“晶格點”處，且A，B位置如圖3所示，則AB·CD的最大值是.

圖3" 例3題圖

分析" 表面上看，本題是考查向量數量積的最值和范圍問題，是高考命題熱點之一，并不陌生，但此題結合蜂巢圖象背景， C，D的位置不確定，導致此題難以入手.如何確定C，D位置就是解決本題的關鍵點.

由于AB·CD取得最大值時的C，D兩點位置暫時無法確定，那么我們將題目簡化變為“任取C，D兩點，求AB·CD的值”，通過放寬條件和所求的范圍，尋找解題思路.去掉蜂巢背景，則如圖4所示，由此圖我們聯想到了投影向量的幾何意義.

圖4" 投影向量示意圖

一般地，如果兩個向量不共起點，分別過點C，D作AB的垂線，垂足為點E，F，可知EF即為CD在AB上的投影向量，所以有AB·CD=AB·EF［2］.進一步整合有AB·CD=AB·EF=AB·EF，其中，AB和EF分別是兩個有向線段的數量.由投影向量的幾何意義可知，只有當CD與AB夾角是銳角，且CD在AB上的投影向量模最大時，AB·CD取得最大值，此題就轉化為在AB上尋找投影線段最大的兩個“晶格點”的問題.如圖5所示，作AB的垂線，垂線沿AB方向運動，運動過程中，垂線經過蜂巢的第一個“晶格點”為點C，最后一個“晶格點”即為點D.C，D兩點確定后，通過建系表示出相關向量，求解即可.

圖5" 例3幾何意義示意圖

解析" 如圖6所示建立平面直角坐標系，可得A（32，92），B（0，0），C（0，5），D（-3，0）.

則AB=（-32，-92），CD=（-3，-5）.

所以AB·CD=-32×（-3）+（-92）×（-5）=24.

所以 AB·CD的最大值是24.

圖6" 建系示意圖

點評" 本題涉及向量數量積的最值問題，我們要抓住向量數量積的幾何本質，將問題轉化為共線向量的數量積，借助圖象，聯想到投影向量的幾何意義，化靜為動，就可突破難點.

4" 結束語

以上僅是列舉了利用題目中隱含的幾何意義解決問題的一些應用，其實幾何意義的應用遠不止這些.利用隱含的幾何意義解題關鍵是仔細觀察問題的結構和圖象特征，而后抽象出相應的幾何意義，從而實現問題的轉化.運行此種方法，

要熟悉各種條件隱含的幾何意義，正確作出圖象，再根據圖象特征尋找解題途徑.綜上，利用幾何意義解題可以加深理解，培養學生的發散思維，提高他們的分析問題能力和想象能力，加強知識間的相互聯系，使知識融會貫通.學會利用幾何圖形建立直觀，通過代數運算刻畫規律，站在更高的位置上認識問題，拓寬視野，提升解題能力.

參考文獻：

［1］

章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律：“平面向量及其應用”內容分析與教學思考［J］.數學通報，2020，59（12）：4-13，29.

［2］ 黃鵬程.用幾何法處理平面向量中最值問題［J］.中學數學教學，2020（03）：48-51.

［責任編輯：李" 璟］