新工科背景下現代控制理論案例教學方法探索

摘" 要" 現代控制理論作為控制科學與工程學科核心課程之一，在自動化專業創新人才培養方面具有重要作用。結合新工科發展需求，探索現代控制理論案例教學方法，旨在將科研成果引入課程，促進理論與實際、科研與教學的深度融合。在分析案例教學現狀的基礎上，提出現代控制理論案例教學架構，以機械臂輸出反饋自適應控制為例設計教學案例。實踐表明，案例教學方法可以有效激發學生的學習興趣，促使學生以開放式、探索式的學習方式消化吸收前沿控制理論知識。

關鍵詞" 新工科；自動化專業；博士研究生；現代控制理論；案例教學；機械臂

中圖分類號：G642.4" " 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2024）14-0095-04

0" 引言

為主動應對新一輪科技革命與產業變革，近年來，教育部積極推進新工科建設[1-3]，強調教學內容體現前沿性與時代性，及時將學術研究、科技發展前沿成果引入課程。在新工科建設背景下，北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院面向博士研究生開設現代控制理論課程。該課程是學院基礎及學科理論核心課，學時為48學時，授課內容涵蓋輸出調節理論、非線性系統自適應控制、非平滑非線性系統控制、時滯系統分析與綜合、切換系統分析與綜合、多智能體分布式協同控制、模型預測控制等，旨在使學生掌握現代控制理論課程的基本理論、設計方法和分析方法，能快速接觸相關領域熱點前沿，并靈活運用所學知識解決實際問題。

現代控制理論課程理論性強、公式多，內容較為抽象，課程教學具有較大的難度。若采用以教師為主導、課堂“填鴨式”的傳統教學方法，往往容易造成理論知識與工程實際脫節，難以激發學生的學習興趣，難以使學生真正理解先進控制理論與實際工程之間的聯系，教學效果會大打折扣。在新工科建設背景下，如何實現理論與實際相結合、科研與教學相結合，以便更高質量地服務自動化專業創新人才培養，是現代控制理論教學過程中需要解決的核心問題。

1" 案例教學現狀分析

案例教學是一種通過設計典型案例進行授課的先進教學方式。結合課程教學目標，在教學過程中引入實際工程案例，有助于促進學生積極思考、分析和解決實際問題，更好地消化和吸收理論知識。在現代控制理論課程案例教學方面，一些高校教師已經開展了卓有成效的探索。例如：賀躍幫等[4]以四旋翼無人機為例，研究線性系統能觀性、能控性以及極點配置授課方法；文傳博等[5]從三容水箱的線性模型出發，探索狀態觀測器和故障診斷的案例教學方法；邢景虎等[6]基于單級倒立擺，設計線性二次型最優調節器的教學案例；王婕等[7]將二級倒立擺、磁懸浮裝置等工程案例引入現代控制理論課程教學中；雷旭升[8]以直升機巡檢作業為例，講解狀態反饋和狀態觀測器中參數對性能提升的重要性；沈進中等[9]將橋式電路和單擺系統引入系統能控性、能觀性和穩定性的講解中；張苗等[10]利用直流電機位置控制系統，探索現代控制理論實驗課程案例教學。

然而，上述案例教學研究結果局限于傳統的線性系統控制教學，授課對象主要是碩士研究生或高年級本科生，難以直接應用于面向博士研究生的、以前沿非線性控制方法為主的現代控制理論課程教學。

基于上述問題，結合新工科建設需求和北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院現代控制理論課程教學實踐，開展現代控制理論案例教學方法探索，旨在將來源于實際工程的案例與來源于學術前沿的控制方法有機融合，通過案例教學的方式將較為復雜抽象的控制理論有效傳授給學生，增強現代控制理論授課效果，促使現代控制理論“從實踐中來，到實踐中去”，培養學生分析和解決實際問題的能力。

2" 案例教學架構設計

2.1" 課前問題引出和思考

在現代控制理論課堂授課之前，教師將來源于實際工程的控制問題發給學生，引導學生課前積極思考解決方案，以便讓學生帶著問題和好奇心來上課。以“非線性系統輸出反饋自適應控制”這一節為例，可以請學生課前考慮圖1所示的機械臂，其動力學模型為：

其中，y是關節角，u是控制力矩，J為轉動慣量，ρ為阻尼系數，M為關節質量，G為重力加速度，L為重心對關節軸心的距離?？刂茊栴}描述為：在參數J、ρ、M、G和L未知且僅有關節角y可測的條件下，設計控制信號u使得閉環系統內所有信號有界且y（t）跟蹤給定的期望軌跡yd（t），其中期望軌跡及其前二階導數已知且有界。

上述機械臂控制問題是一個典型的非線性系統輸出反饋自適應控制案例，包含非線性系統輸出反饋自適應控制的主要知識點。在引出問題的時候，應強調關節角速度未測量且機械臂參數未知。

2.2" 課堂內容講解和互動

教師基于提前準備好、涵蓋完整案例的課件，向學生講授狀態估計、控制器設計、穩定性分析、仿真結果等主要內容。在講解過程中需要注意引導學生互動，用簡單易懂的語言深入淺出地向學生講解理論知識。在講解核心知識點的時候，需要講清楚碰到的困難、提出的解決方案以及所帶來的優缺點等方面，并與學生討論課前思考的一些解決方案，讓學生知其然且知其所以然。在教學課件中，需要靈活運用動畫和不同顏色、不同大小的字體，以便學生更好地跟上講課節奏，抓住重點。在課堂授課中，不能過度依賴課件和多媒體，對于一些重要知識點，黑板板書必不可少。授課教師需要靈活運用多媒體和黑板板書，充分發揮二者的優勢。

2.3" 課后仿真與再設計

督促學生在課后消化吸收課堂授課內容，復現仿真結果。重視并加強數值仿真在現代控制理論教學中的作用，鼓勵學生在得到基本的仿真結果后測試不同參數、不同初始條件、不同仿真步長對控制系統暫態性能、穩態性能和穩定性的影響。進而，鼓勵學生對于案例中的控制方法進行優化和再設計，給出其他解決途徑，并對比分析不同方法的控制效果。對于仿真結果和再設計結果，以作業的形式提交給任課教師，并計入課程成績。

2.4" 課程考核與成績分析

現代控制理論課程成績由平時成績和期末考試成績組成。為避免學生期末考試“臨時抱佛腳”，適當提高平時作業成績在總成績中的比重，以激勵學生持續學習。平時作業內容以工程實例為主，包括三種形式：1）復現教師教學案例中的仿真結果并進行優化；2）對教師布置的新工程案例進行控制系統設計和仿真驗證；3）運用所學控制方法解決科研中遇到的實際控制工程問題。此外，在期末考試中設置一些開放性的、與實際工程案例相關的考題。在期末考試結束后，教師對平時成績和期末考試成績進行分析，統計每一題的學生得分情況，了解學生對各個知識點的理解掌握情況，并有針對性地對教學進行改進。

2.5" 案例選取與優化

教學案例的選取一方面要注意授課內容的連續性，另一方面要兼顧學生的專業特色。對于北京航空航天大學自動化專業的博士生而言，現代控制理論的教學案例可以來源于航空、航天、機器人、電力電子等領域。例如：高超聲速飛行器縱向運動控制可作為非線性系統狀態反饋自適應控制的教學案例；機械臂控制可作為非線性系統輸出反饋自適應控制的教學案例；衛星姿態協同控制可作為多智能體系統協同控制的教學案例。這些案例與學生的專業和科研方向密切相關，容易激發學生的學習興趣。教學案例需要來源于科技前沿，注意與時俱進。授課教師需要密切關注自動化專業發展，及時優化和更新教學案例。此外，在學生提交的開放性作業中，教師亦可得到關于案例設計和優化的啟發，從而形成師生相互促進的良性循環。

2.6" 線上線下混合式教學

線上線下混合式教學有助于進一步提升教學質量。在一般情況下，現代控制理論以線下教學為主。同時，授課教師在課前錄制重要章節的教學視頻供學生課下學習，幫助學生強化線下課堂授課中未能充分理解和吸收的知識點。值得注意的是，課前錄制教學視頻可以幫助教師提前發現講課中的一些不足，從而進行有針對性的改進和優化，提高實際授課質量。此外，教師通過課程微信群、課程中心、面對面討論等線上線下混合的方式，及時為學生答疑解惑并了解學生的學習效果。

3" 教學案例設計

以現代控制理論“非線性系統輸出反饋自適應控制”這一節為例，基于圖1所示機械臂系統給出教學案例設計。

為實現輸出反饋控制，首先需要設計濾波器估計系統的不可測狀態。對于圖1所示機械臂系統而言，若直接選取關節角和關節角速度作為狀態量，則系統不能寫成輸出反饋非線性系統形式。為此，令，然后機械臂動力學模型可寫為如下輸出反饋非線性系統形式：

其中：

進而，構造如下一組濾波器：

x的估計可表示為：

可以證明相應的狀態觀測誤差指數收斂至零。在課堂授課中，可先請學生自己嘗試進行證明，然后在黑板上簡要板書證明過程。

接下來基于反步設計構造自適應控制器，設計過程包括兩步。

在第一步中，定義跟蹤誤差，設計調節函數和鎮定函數，其中。

在第二步中，定義，選取自適應律和如下控制律：

基于上述設計可以證明，閉環系統內所有信號全局一致有界且跟蹤誤差漸近收斂至零。證明過程可通過與學生互動并結合板書和課件的方式完成。此外，為加深學生的理解和直觀認識，需將仿真結果展現給學生。

4" 教學案例討論

在案例教學過程中，一些重要知識點需要融合案例重點講解和討論。在上述機械臂控制案例中，以下幾點值得向學生重點強調。

4.1" 被控對象狀態變量選取

對于非線性系統而言，輸出反饋控制最適用于具有輸出反饋形式的系統。若直接選取關節角和關節角速度作為狀態量，則圖1所示的機械臂系統不能寫成輸出反饋形式。為此，將狀態量選為，這本質上是一種系統坐標變換。事實上，許多實際系統在直觀上并不具備輸出反饋形式，但經過適當的坐標變換后能轉換成輸出反饋形式。因此，輸出反饋非線性系統看似特殊，但涵蓋許多實際系統。

4.2" 虛擬控制變量和鎮定函數

在反步控制器設計的第一步中，真實的控制變量沒有出現，即跟蹤誤差的導數中沒有出現可設計的控制變量。為解決這個問題，需要在跟蹤誤差導數的表達式中選取一個變量作為虛擬控制變量。虛擬控制變量需要滿足兩個基本條件：一是可用于構造控制器；二是其導數離真實的控制變量較近。在選定虛擬控制變量后，為其設計一個鎮定函數。該鎮定函數是虛擬控制變量的一種期望軌跡，其設計原則是：在暫不考慮虛擬控制變量與鎮定函數之間偏差的情形下，構造一些想要的項，抵消一些不想要的項，使得第一個準李雅普諾夫函數的導數具有某種期望的形式。第二步設計的目標便是驅使虛擬控制變量去跟蹤對應的鎮定函數。按照上述思想，反步設計可將一個高階系統的控制問題轉化成多個一階系統的控制問題。

4.3" 調節函數和自適應律

在自適應反步控制器設計過程中，某些未知參數會在每一步都出現，這些未知參數對應的自適應律一直要到最后一步才確定。在前面各步驟中，把當前所期望的自適應律定義為調節函數。與控制律類似，自適應律也是設計人員掌握的自由量，其設計的基本原則是消除準李雅普諾夫函數導數中跟參數估計誤差相關的項。若在前面某一步中提前固定自適應律，則當對應的未知參數在后續各步中再次出現時將難以應對。因此，頻繁出現的未知參數對應的自適應律會在最后一步確定，以便消除所有跟參數估計誤差相關的項。此外，在自適應控制系統中，雖然引入自適應律來在線估計未知參數，但通常并不能保證參數估計值收斂至參數真值。引入自適應律的主要目的是在系統參數未知的情形下保證系統跟蹤誤差的收斂性，并不是辨識出未知參數真值。若要通過自適應律辨識出未知參數真值，往往需要持續激勵條件。

5" 結束語

案例教學方法有助于將抽象的控制理論以實際需求驅動的方式進行授課，可有效激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，促進師生互動，進而引導學生以開放式、探索式的學習方式消化吸收前沿控制理論知識。在新工科建設需求推動下，后續將進一步結合課程目標豐富和完善教學案例，促進理論與實際、教學與科研的深度融合，推動現代控制理論“從實踐中來，到實踐中去”，為自動化專業高水平人才培養服務。

6" 參考文獻

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[10] 張苗，肖士敏.現代控制理論實驗課程案例教學探索[J].中國現代教育裝備，2022（4）：117-119.

*項目來源：國家自然科學基金面上項目“非線性系統事件觸發自適應控制及在無人機中的應用”（基金編號：62073016）。

作者簡介：王陳亮，博士，副教授。