學科育人背景下提升學生數學“四能”的實踐研究

在全國初中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動中，榮獲全國一等獎的“浙教版數學九年級上冊《3.4圓周角（1）》”一課，贏得了評委們的陣陣掌聲.作為一起參賽且同樣獲一等獎的我有幸觀摩了該課.該課不但能為學生進一步研究圓的性質奠定基礎，而且圓周角概念的形成和定理的證明，能使學生領悟分類、歸納等思想方法，對培養學生觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括等思維能力有幫助，同時對培養學生運動變化等辯證唯物主義觀點和形成良好的個性品質也有作用.現擷取幾個片段與大家共賞.

1 創設情境——以學習興趣為切入點

情境1：在一個圓形噴水池的中心安裝彩色的投射燈，每盞投射燈的投射角度為30°，安裝效果如圖1所示，問至少要安裝幾盞這樣的投射燈，可以同時照亮整個水面？

生：360÷30=12（盞）.

點評：由學生熟悉的生活實際問題引入，回顧圓心角的概念以及圓心角與所對弧的關系.既利用學生已有的知識解決了生活中的問題，又提高了學生學習的興趣，幫助學生擺脫了枯燥單調的知識回顧，并在無形之中滲透了重要的數學基本思想——數學抽象.

情境2：設計師發現，將投射燈移至水池周圍，如圖2所示，則所需盞數將有所減少，從節約材料與能源的角度來看，你知道至少需要幾盞燈才能照亮整個水面嗎？

眾生：1個、2個、3個、4個、5個、6個……

師：這么多答案，到底哪個同學說的是正確的呢？通過今天的學習相信同學們能順利地解決這個問題.

點評：根據初中生的年齡特征，依靠生活背景，引發學生注意，使學生產生好奇心，激發學習的興趣.通過情境中問題的變化，提出了用學生已有知識無法解決的問題，產生了認知上的沖突，為引出新知識埋下伏筆，使學生對新知識的探究產生興趣.

2 定義辨析——以自主學習為探究點

師：圖1和圖2中∠AOB和∠DCE有什么聯系和區別？

生：聯系是∠AOB，∠DCE都等于30°；兩邊都與圓相交；……

區別是∠AOB為圓心角，角的頂點在圓心上，兩邊與圓相交;∠DCE的頂點在圓周上，兩邊也與圓相交.

師：正確，像∠DCE這類頂點在圓周上，兩邊也與圓相交的角叫圓周角.請同學們總結下圓周角具備的條件.

點評：“學生原有的知識和經驗是教學活動的起點”，通過兩個基本圖形的對比，類比圓心角的定義，師生共同歸納出圓周角的概念，為圓周角定理的學習奠定基礎.概念教學設置了辨析鞏固，從正反兩個方面加深學生對圓周角特征的理解，為及時引出定理證明做好鋪墊.同時培養學生將實際生活中的問題抽象為數學問題的能力，使學生體會到數學來源于生活.

師：（1）圖3中各角是不是圓周角？為什么？

（2）說出圖4中有哪些圓周角？

點評：讓學生動手實踐，通過探究、討論、交流得到圓周角有各種各樣的圖案.通過學生口答的方式進行相互評價，實現課堂評價的多元化，重視學生的課堂參與.讓學生在活動中自主探究以及與同伴交流，有條理地進行思考和表達，從而提高分析問題和解決問題的能力.

3 合作探究——以思維能力為關鍵點

針對情境2的問題，讓學生進行合作探究.

學生經過利用圓規畫圖、猜想、實驗，在教師的啟發和點撥下，再共同討論，最后得出“∠C所對的弧是60°弧”.

師：能否通過已有知識，求出弧DE的度數為60°呢？

生：在圖2中連接OD，OE，連接CO并延長交⊙O于點F，將圓心角和圓周角通過等腰三角形和三角形的外角得到“當∠DCE=30°時，∠DOE=60°”，從而得到弧DE的度數為60°.

點評：通過情境引入對圓周角與圓心角的關系進行了具體分析，由此學生可以做出“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”的猜想.在30°和60°的特殊情況下，學生確立了證明的思考方向，形成定理猜想，定理在表述時包含各種同時成立的情況.分情況進行證明是說理過程完整性的一個體現.蘇霍姆林斯基說過，應該讓我們的學生在每一節課上都感到熱烈的、沸騰的、多姿多彩的精神生活.通過求弧DE的度數這一活動，學生能夠真正“動”起來、“活”起來，使學習熱情高漲，并通過小組討論交流得出兩種不同的圖形，體會分類討論的數學思想.

師：工人師傅在安裝的過程中進行了多種嘗試，圖5中的方案你認為弧DE的度數一樣嗎？

首先通過觀察，學生根據圓的對稱性和旋轉不變形，得到圖②與圖④是一樣的、圖③和圖⑤是一樣的，圖5中的圖①可根據圖2的方法得出弧DE的度數為60°.下面討論圖②和圖③中的弧DE的度數.對于弧DE的度數需要分三種情況進行討論，這三種情況的區別在哪里，學生進行分析，三種情況是按照圓周角和圓心的位置關系進行分類的，滲透了數學的分類討論思想.

在圖①的求解過程中，學生已經形成了已有的解決問題的方法，通過小組討論能夠成功地解決圖②中弧DE的度數問題，圖③中弧DE的度數需要學生合作探究以及教師適當點撥分析才能解決.

完成了三種情形下的計算分析，當∠DCE=30°時，∠DOE=60°，學生形成了初步的猜想，即同弧所對的圓周角等于圓心角的一半（結合圖形即∠DOE=2∠DCE）.此時，教師借助幾何畫板課件改變點C的位置對學生的猜想加以驗證，并提出剛才分類的情況是否全面，是按照什么標準進行分類的，在改變點C的過程中驗證了分類的完整性與合理性，接下來就是從特殊到一般的知識提升過程.

點評：在圖5中圖①證明解決的前提下提出問題的分類，讓學生了解由于點C的位置不同，使圓周角與圓心的位置發生變化，因此分成三種不同的情況進行論證.在30°和60°的特殊情況下，學生確立了證明的思考方向，形成定理猜想，定理在表述時包含各種同時成立的情況.分情況進行證明是說理過程完整性的一個體現.

在數學證明中出現分類討論，學生會難以理解，甚至課后好長一段時間都不知道為什么要分類證明.圓周角定理區別于圓心角定理的證明，主要是分類討論.關鍵在于同弧的情況下，圓心角的頂點是確定的，而圓周角的頂點是不確定的，類似于點與圓的位置關系，隨著圓周角頂點的運動，就自然形成了圓心與圓周角之間的三種位置關系.明確了這一點，也就不難理解在證明圓周角定理時為什么要分類了.

師：在30°的特殊情況下我們證明了∠DCE=2∠DOE，那么在其他角度的情況下，是否也存在同弧DE所對的圓周角等于圓心角的一半？

學生在30°，60°特殊計算的基礎上，基本能夠完成證明，得出猜想的正確性.回歸到一般問題的證明上來，同樣也分三種情況（如圖6）討論證明.

教師板書“同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半”.

點評：在特殊情況的基礎上，再分三種情況進行一般條件下的數學證明是非常必要的，可以讓學生感受到數學證明說理過程不能用特殊代替，說理過程是一個一般情況下完整的嚴密的數學思維過程.學生在這個過程中會真正體會圓周角定理，突出“以學生的數學活動”為主線，激發學生學習的積極性.以噴水池為背景，向學生提供充分從事數學活動的機會，體現以教師為主導，以學生為主體，以知識為主線，以育人為主旨的教學原則.基于圓周角定理證明中的分類標準較難領會，本節課主要采用引導發現與合作探究的教學法，由質優生領跑，帶動全班同學一起前進，再結合多媒體直觀演示，啟發式設疑誘導為輔的教學方法，引導學生積極思考、勇于探索，使學生達到一種“欲罷不能”的興奮狀態，從而產生濃厚的學習興趣，發揮學生的主觀能動性，體現學生的主體作用.

4 學以致用——以學習信心為結合點

師：由剛才的討論我們得到了重要的結論——同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.為了加深對這個結論的理解，請先完成下面的練習.

（1）已知一條弧所對的圓周角是50°，則這條弧所對的圓心角是[CD#3]度；

（2）已知一條弧的度數為40°，這條弧所對的圓心角和圓周角分別為[CD#3]，[CD#3].

（3）n°弧所對的圓心角是[CD#3]度，所對的圓周角是[CD#3]度.

（4）半圓所對的圓周角是[CD#3]度，90°的圓周角所對的弦是[CD#3].

學生根據上述結論，都能輕松完成相應練習.

師：對于第（4）題的特殊情況，提出作為圓周角定理的推論.

應用 請你用直角曲尺檢查半圓形的工件，圖7中哪個是合格的？請說明理由.

生：因為同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，90°圓周角所對的弦是直徑.如果工件的凹面所對的弦是直徑，那么這個工件就是半圓形的，反之則不是.因此圖7中間的工件合格.

點評：通過這幾道題目來檢測學生對本節所學知識的掌握程度，落實基礎.學生剛剛接觸到新的知識需要一個消化過程，也就是對新知識從不熟悉到熟練的過程.無論是基礎的習題，還是變式強化，都要以學生理解透徹為最終目標.通過練習及時鞏固反饋，有助于學生加深對圓周角定理的理解與應用，再將弧與角度特殊化，自然得出推論，工件的檢查也體現了圓周角定理在生活中的應用.教師在學生理解圓周角定義、定理的前提下，引導學生對定理的語言進行正確表述后馬上解決實際問題，培養成功感，進一步鞏固所學知識，培養學生獨立思考、解決問題的能力，同時使學生體會到數學知識服務于生活.

5 范例教學——以學習能力為設計點

例題 如圖8，在噴水池的圓周A，B，C，D處安裝了四盞投射燈，其投射范圍剛好照亮整個水面（四邊形ABCD四個頂點在⊙O上）.

求證：∠A+∠C=180°.

師：大家能否運用今天所學習的知識證明呢？

生：設圓心為O，連接OB，OD，圓被分成了優弧BAD和劣弧BCD，其中劣弧BCD所對的圓心角∠BOD=2∠A，優弧BAD所對的圓心角等于2∠C，所以∠A+∠C=180°.

師：通過今天的學習，老師相信同學們一定能解決課堂一開始提出的情境2中的問題——你知道至少需要幾盞燈才能照亮整個水面嗎？

點評：知識的應用過程是檢驗學生學習成果的過程，在例題中加入了一個噴水池作為背景，目的只是為了本節課的設計更加具有整體感，讓學生的學習存在延續性，加深學生對生活中數學的感受，體現數學來源于生活.

蘇聯著名教育學家蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者.”我們知道，現在初中學生自我意識很強，這種需要表現尤為強烈.因此，本節課教師著力構建一節思維活動的數學課堂，重點放在創造良好的問題情境，喚醒學生的主體意識，激發學生強烈的探究欲望，通過師生之間、生生之間的有效互動，追溯知識的內在聯系，滲透數學思想方法，發展學生的數學思維.在此過程中，教師的作用就是更好地組織、引導、激勵學生進行自主探究學習.在教學手段上，采用了多媒體輔助教學，將靜態知識以動態的形式生成，既吸引了學生的注意力，又加深了學生對知識的理解；在教學方式上，采用了以問題引導思維的方式，很好地培養了學生自己發現問題、提出問題、探究問題并解決問題的能力.數學教師如果都能把培養學生思考、分析、解決問題的能力作為教學的出發點和歸宿，那么課堂一定將預設繽紛，生成精彩，收獲累累碩果.