重視思維可視過(guò)程，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》指出，初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，在初中幾何教學(xué)中，以上核心素養(yǎng)幾乎都會(huì)涉及，但因?yàn)榻處煹慕虒W(xué)方式、學(xué)生的個(gè)人素質(zhì)等因素，導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)于幾何學(xué)習(xí)存在無(wú)法積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、不能深入感悟數(shù)學(xué)思想方法的問(wèn)題.現(xiàn)以“拼圖法驗(yàn)證勾股定理”課堂教學(xué)為例，呈現(xiàn)思維可視化這種教學(xué)方式對(duì)于學(xué)生提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過(guò)程.

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 前置知識(shí)激活

首先以問(wèn)題串的形式回顧勾股定理的內(nèi)容和結(jié)論得出過(guò)程：

問(wèn)題1 同學(xué)們上節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了“勾股定理”，它的內(nèi)容是什么？

學(xué)生（積極回答）：直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)a，b與斜邊長(zhǎng)c之間的數(shù)量關(guān)系為a2+b2=c2.

問(wèn)題2 我們是如何得出這個(gè)結(jié)論的？

學(xué)生（積極回答）：通過(guò)觀察格點(diǎn)圖中不同邊長(zhǎng)的直角三角形的面積之間的數(shù)量關(guān)系，猜測(cè)直角三角形三邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系.

問(wèn)題3 按照數(shù)學(xué)研究的一般流程，接下來(lái)我們應(yīng)該做什么呢？

學(xué)生（試著回答）：要舉例驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否正確.

問(wèn)題4 大家還記得七下“整式乘法與因式分解”一節(jié)中是如何得出乘法公式的嗎？

學(xué)生（回憶后回答）：“完全平方公式”是通過(guò)拼圖法進(jìn)行不同方式的面積計(jì)算，進(jìn)而得到的數(shù)量關(guān)系.

教學(xué)說(shuō)明：這個(gè)過(guò)程不僅讓學(xué)生復(fù)習(xí)了勾股定理的內(nèi)容，還引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)研究的一般流程，即“觀察—猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”，也引出了本節(jié)課的課題.

1.2 拼圖過(guò)程

課前已經(jīng)請(qǐng)學(xué)生把實(shí)驗(yàn)手冊(cè)后面附錄2中的圖形拆下來(lái)，置于桌面?zhèn)溆?

拼圖步驟：（1）打開實(shí)驗(yàn)手冊(cè)，取出附錄2中的圖形，并了解這些圖形之間的關(guān)系.

（2）用一號(hào)正方形紙片和四個(gè)直角三角形，拼成一個(gè)新的正方形.

（3）用二號(hào)、三號(hào)正方形紙片和四個(gè)直角三角形，拼成一個(gè)新的正方形.

注：圖形之間不重疊，無(wú)縫隙.

教學(xué)說(shuō)明：附錄2中一共有三個(gè)大小不一的正方形和八個(gè)全等的直角三角形，先引導(dǎo)學(xué)生觀察各個(gè)圖形之間的關(guān)系，再把直角三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，從短到長(zhǎng)分別記為a，b，c.在學(xué)生對(duì)圖形有了初步認(rèn)識(shí)之后，教師再指導(dǎo)學(xué)生將這些圖形分成兩堆拼正方形.

1.3 觀察與驗(yàn)證

學(xué)生所拼圖形如圖1與圖2所示.

問(wèn)題5 這兩個(gè)圖形是什么關(guān)系？

學(xué)生（觀察后積極回答）：兩個(gè)圖形都是正方形，邊長(zhǎng)都是a+b，兩個(gè)大正方形都是由小正方形和直角三角形拼成的.

問(wèn)題6 類比七下“整式乘法與因式分解”中的學(xué)習(xí)方式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生開始討論并計(jì)算.

學(xué)生2（有不同看法）：不僅可以看圖1，也可以結(jié)合圖2，把圖2看成一個(gè)整體，面積是（a+b）2，與圖1

教學(xué)說(shuō)明：學(xué)生能夠觀察出兩個(gè)圖形的形狀和大小之間的關(guān)系，進(jìn)一步通過(guò)計(jì)算得出勾股定理.在此過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手操作—觀察思考—計(jì)算—語(yǔ)言歸納的過(guò)程，完成了自主構(gòu)建勾股定理證明的過(guò)程.

1.4 討論與拓展

問(wèn)題7 為什么這種方法可以驗(yàn)證勾股定理？

學(xué)生（思考回答）：通過(guò)圖形的移、拼、補(bǔ)，把同一個(gè)圖形的面積用不同的形式表示，再根據(jù)這些面積表達(dá)形式建立恒等關(guān)系，通過(guò)化簡(jiǎn)運(yùn)算就可以驗(yàn)證勾股定理.

問(wèn)題8 這種方法與上節(jié)課的證明方法相比有什么優(yōu)點(diǎn)和局限性？

學(xué)生（各抒己見）：直觀易懂；啟發(fā)思考；操作煩瑣；依賴工具……

問(wèn)題9 可不可以減少圖形，構(gòu)造新的拼圖呢？這次允許有空隙.

學(xué)生開始思考，并未有一致回答.

教師趁機(jī)展示趙爽弦圖證法（圖3）和總統(tǒng)證法（圖4），并鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證.總統(tǒng)證法的拼圖學(xué)生沒(méi)有直接拼出來(lái)，而是在教師的引導(dǎo)下構(gòu)造出直角梯形并進(jìn)行驗(yàn)證.

1.5 應(yīng)用與拓展

展示邊長(zhǎng)分別為6，8的兩個(gè)正方形組成的“L”形圖案，標(biāo)注格點(diǎn).

問(wèn)題10 要想將邊長(zhǎng)為6和8的兩個(gè)小正方形割補(bǔ)、平移成一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是多少？

學(xué)生思考如何割補(bǔ)、平移，并嘗試畫出圖形.大部分學(xué)生未找到割補(bǔ)方法.

教師進(jìn)行提示，提出問(wèn)題11.

問(wèn)題11 你能從圖5中找到邊長(zhǎng)為10的線段嗎？

學(xué)生觀察圖5，找到邊長(zhǎng)為10的線段.

教師繼續(xù)引導(dǎo)，提出問(wèn)題12與13.

問(wèn)題12 以這條線段為邊的正方形怎么畫？

問(wèn)題13 結(jié)合所畫草圖，你如何剪拼？

學(xué)生根據(jù)提示，畫出圖6.

活動(dòng)：兩個(gè)邊長(zhǎng)不同的正方形連在一起的“L”形紙片，如圖7，現(xiàn)在請(qǐng)你先剪切，然后再將所得到的圖形拼成一個(gè)正方形.

教學(xué)說(shuō)明：以有具體邊長(zhǎng)的格點(diǎn)圖為特例，從特殊到一般，通過(guò)面積割補(bǔ)，直觀地進(jìn)行拼圖驗(yàn)證.

1.6 小結(jié)與鼓勵(lì)

播放視頻，簡(jiǎn)要總結(jié)數(shù)學(xué)史上勾股定理的來(lái)源、發(fā)展和生活中的應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)文化.

2 教學(xué)反思

本節(jié)課由核心問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，通過(guò)操作、觀察、驗(yàn)證過(guò)程，將抽象思維直觀呈現(xiàn)，提升學(xué)生核心素養(yǎng).

2.1 核心問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

本節(jié)課的核心問(wèn)題是“如何通過(guò)拼圖法驗(yàn)證勾股定理”.教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，圍繞核心問(wèn)題，組織教學(xué)過(guò)程.

2.2 素養(yǎng)感知與提升

（1）幾何直觀的素養(yǎng)感知

本節(jié)課最明顯的幾何直觀是用直角三角形和正方形拼圖，感知同一個(gè)圖形從整體和局部?jī)蓚€(gè)方向表現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特征.借助直觀圖形認(rèn)識(shí)事物，利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)與形的聯(lián)系，感知數(shù)形結(jié)合思想.

（2）數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)感知

本節(jié)課中的數(shù)學(xué)抽象是：通過(guò)對(duì)勾股定理的驗(yàn)證研究，進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)研究的一般流程即“操作—猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”，形成幾何教學(xué)的常規(guī)方法.

（3）推理能力的素養(yǎng)感知

本節(jié)課中的推理感知是：學(xué)生拼完圖形后需計(jì)算和驗(yàn)證，存在類比推理、演繹推理和從特殊到一般的推理過(guò)程.

思維可視化呈現(xiàn)有多種方式，這些方式有效使得數(shù)學(xué)思維由抽象到具象，實(shí)現(xiàn)了提升學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo).