基于深度學習的數學定理教學探討

深度學習是學習者批判性學習新思想、新事實，并無痕將其納入原有認知結構，解決問題的學習過程.

數學定理是人類在長期不斷總結與發現后得出的結果，定理是數學的基石.數學定理教學是數學的靈魂.通過定理學習，學生可以真正理解和解決數學問題，從而為長期數學學習提供理論基礎.

1 基于深度學習的定理教學過程

1.1 環節1：在問題解決中發現命題

問題1 我們所學判斷兩個三角形全等的方法有哪些？

生（思考后回答）：邊邊邊相等；邊角邊相等；角邊角相等；角角邊相等.

問題2 已知△ABC和△A′B′C′，若AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，則△ABC≌△A′B′C′嗎？請闡明原因.

生（思考后回答）：不全等.因為它不符合我們學過的四個判定方法的任意一個.

問題3 問題2中，若添加條件∠C=∠C′=90°，則△ABC≌△A′B′C′成立嗎？說說你的探究過程.

學生思考、討論，但未達成一致結果.

師（總結引出命題）：同學們，接下來我們一起來探究“有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”這個命題是否成立.

1.2 環節2：在深入探究中發現結論

探究活動：

（1）如圖1，已知Rt△ABC，試著畫Rt△A′B′C′，使得AB=A′B′，BC=B′C′，∠C′=90°.

（2）剪下Rt△A′B′C′，再將其與Rt△ABC重疊在一起，那么Rt△ABC與Rt△A′B′C′完全重合嗎？

（3）猜測結論，并試著表述.

學生經過動手探究，發現結論是成立的，同時在師生交流與生生互動中提煉得出命題.最終在教師的啟發下，學生進一步以圖形語言和符號語言進行表述：

如圖2，已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′=90°，則△ABC≌△A′B′C′.

1.3 環節3：在合作探究中證明定理

問題4 已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，求證：△ABC≌△A′B′C′.

點撥1：你覺得可運用什么判定定理來證明？

生1：若再給出一組邊相等，則可以通過SSS予以證明；若再給出一組角相等，則可以通過AAS、ASA、SAS證明.

點撥2：有哪些方法可以證明一組邊或一組角相等？在合作討論后試著用思維導圖予以呈現.

學生探討、匯總，然后由生2匯報探討結果（如圖3所示）.

面對思路①，學生有困頓之感.

點撥3：由果索因僅僅是探尋方向的其中一種，由因索果也不失為一個好的方向.

經過思考、聯想，生3用圖4所示的思維導圖來詮釋他的所思所想.

師：經過剛才的引導和分析，大家前后分為一組，再進一步討論、探究，最后展示你們具體的證明過程.

合作探究后，小組1利用圖4所示的思路得出證法1.

C′D′，AD=A′D′.

又因為AC=A′C′，所以△ACD≌△A′C′D′，則∠A=∠A′.所以△ABC≌△A′B′C′.

小組2的學生則基于圖4及“計算得到等量關系”的思路，得到證法2.

小組3根據“同一個三角形中，等邊對等角”的思路，探究得到多種封閉圖形（略），同時得到證法3.

證法3：如圖6，因為∠C=∠C′=90°，所以B，C，B′三點共線.又AB=A′B′，則△ABB′為等腰三角形，所以∠B=∠B′.所以△ABC≌△A′B′C′.

教師適時引導：圖6是直接應用定理，而并非所有圖形都是如此.還有什么圖形可能是定理的變式應用？

各個小組又熱烈討論起來，小組1很快有了證法4.

證法4：如圖7，連接CC′，因為AC=A′C′，所以∠ACC′=∠AC′C.

又因為∠ACB=∠AC′B=90°，

可知∠ACB－∠ACC′=∠AC′B－∠AC′C，即∠C′CB=∠CC′B，所以BC=B′C′.所以△ABC≌△A′B′C′.

師：有小組或同學用思路“④如果a=b，b=c，則a=c”證明的嗎？

沒有學生回答.教師接著提示：證明線段相等或角相等，只需探尋第三個量后借助等量代換即可.比如，能否構造一個三角形與其中一個三角形全等，再證明構造的這個三角形與另一個三角形全等？

最后，在師生共同合作下完成了定理的完整證明，得到證法5（這里略）.

1.4 環節4：在互動交流中應用定理

例1 如圖8所示，已知∠AOB內有一點P，滿足PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，PD=PE.

證明：點P是∠AOB的平分線上的一點.

師：想證明點P是∠AOB的平分線上一點，可以通過什么驗證呢？

生：連接PO，然后證明∠DOP=∠EOP.

師：那根據題目中給定的條件，可以怎么證明這兩個角相等呢？

生：可以證明△DOP≌△EOP.

師：如圖9，已知OP為∠AOB的平分線，OA上有一點D，OB上有一點E，∠PEO=40°，PD=PE，試求出∠PDO的度數.

…………

1.5 環節5：在反思提煉中深化理解

問題5 從本節課定理學習的步驟著手試著總結定理的發現、提出、證明和應用過程，并繪制思維導圖.

2 反思

問題是促成核心素養的有利方式和現實基礎.定理教學成功與否很大程度上取決于學生對定理探究的興趣，而知識轉化為素養的有效途徑在于問題，因此，定理教學中的問題選擇需基于學生思維的最近發展區，且以激發學生學習動機為關鍵要素.本課中教師設計了拾級而上的問題鏈，從引導學生回顧舊知到喚醒類比研究法，層層遞進引領學生有意義地深度學習，自主建構新的認知結構，最終促進思維向著深度和廣度發展.

初中生的邏輯思維處于從經驗型向理論型轉型的初級階段，通過有效方式引領學生正確探尋思維方向，可以幫助學生快速理清定理的證明思路，實現自主建構.事實上，在思維導圖的輔助下，學生能合理、有序地聯想，最終完成定理的證明.

總之，在數學定理教學中需以深度學習內在機制為依據設計教學，挖掘各種有效的素材與策略助推深度學習的教育價值，仔細處理好教學內容與具體學情的耦合關系，以進一步提高基于深度學習的數學定理教學的實效性，讓學生在深度思考和探究中學會思維，發展數學核心素養.