基于探究活動(dòng) 發(fā)展推理能力

摘要：推理能力是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿整個(gè)初中教學(xué)過程中.在“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)中，從單元整體視角，基于知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展，設(shè)計(jì)探究一元二次方程的性質(zhì)和從特殊到一般探究根與系數(shù)的關(guān)系等活動(dòng)，通過問題引導(dǎo)及合作探究，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納和證明的研究過程，體會(huì)用代數(shù)思維研究問題的一般方法，逐步發(fā)展推理能力.

關(guān)鍵詞：一元二次方程；根與系數(shù)的關(guān)系；推理能力；探究活動(dòng)

推理能力是初中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，是用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界的主要手段，“一元二次方程”單元是初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要組成部分，是發(fā)展代數(shù)推理能力的重要載體.本課基于單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的理念，通過設(shè)計(jì)系列探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的一般方法探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，提升推理能力.下面是筆者對(duì)“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)踐反思.

1 教學(xué)分析

1.1 課時(shí)內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容的本質(zhì)與教學(xué)價(jià)值

本節(jié)課的內(nèi)容是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于探究方程性質(zhì)的新授課，是大單元結(jié)構(gòu)化思維的經(jīng)典代數(shù)推理案例.根與系數(shù)的關(guān)系是一元n次方程都具有的一般性質(zhì)，用簡潔的形式揭示了方程根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)能深化學(xué)生對(duì)一元二次方程的理解，提高學(xué)生運(yùn)用一元二次方程分析問題和解決問題的能力［1］.

（2）本課時(shí)與單元內(nèi)容之間的關(guān)系

一元二次方程是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最后一個(gè)方程類型，本單元延續(xù)了研究方程的一般思路“定義—解法—應(yīng)用”，重點(diǎn)解決方程的核心問題：求解和應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和模型觀念.同時(shí)，根據(jù)一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本單元可以嘗試研究方程的性質(zhì)，即根與系數(shù)的關(guān)系，從而完善方程研究的一般路徑，發(fā)展代數(shù)推理能力.

（3）教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探索及簡單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)并證明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

1.2 課時(shí)目標(biāo)

（1）了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，能進(jìn)行簡單應(yīng)用.

（2）在一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探究過程中，感受由特殊到一般地認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，體會(huì)代數(shù)推理的一般方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力和推理能力.

（3）通過韋達(dá)定理發(fā)展歷史的介紹，感受數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)理性精神.

1.3 學(xué)情分析

本課的授課對(duì)象是九年級(jí)學(xué)生，之前已有研究一元一次方程、二元一次方程組等的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)方程的求解和應(yīng)用問題有比較明確的研究方向和研究策略，但是缺少研究方程性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，代數(shù)推理能力還有待提高.九年級(jí)學(xué)生的合作交流能力較好，可以通過自主探究、小組討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生在交流合作中逐步形成解決問題的方法，從而突破難點(diǎn).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 創(chuàng)境設(shè)問

問題1 你能求出方程的根嗎？

追問：①你認(rèn)為這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根嗎？

②你能通過觀察直接猜出該方程的一個(gè)根嗎？

③如何求出方程的另一個(gè)根？你有什么方法？

④有沒有更優(yōu)化的方法求解呢？

說明：創(chuàng)設(shè)解一個(gè)具體的一元二次方程情境，復(fù)習(xí)一元二次方程根的判別及解法，由于系數(shù)比較復(fù)雜，學(xué)生在解方程的過程中遇到了困難，從而產(chǎn)生研究更優(yōu)化解法的需求，因此激發(fā)求知欲.同時(shí)，也體現(xiàn)了研究一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的必要性，即解決“為什么學(xué)”的問題.

2.2 互助探究

問題2 一元二次方程的兩個(gè)要素是系數(shù)和根，隨著系數(shù)的改變，根也在改變，那么在變化的過程中有沒有什么是不變的呢？也就是方程是否具有某種特殊性質(zhì)？

追問：①要研究一元二次方程的性質(zhì)，可以從哪些方面進(jìn)行研究？如何研究？

②我們先研究二次項(xiàng)系數(shù)為1的特殊情況，請(qǐng)你觀察表1，你能發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)之間的某種數(shù)量關(guān)系嗎？

③你能再寫出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，并驗(yàn)證是否符合上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

說明：設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，通過觀察四個(gè)具體的例子，學(xué)生能夠自主發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)之間的關(guān)系，了解研究代數(shù)性質(zhì)的一般方法，即從要素之間的關(guān)系、從特殊到一般進(jìn)行研究.同時(shí)，通過類比實(shí)數(shù)運(yùn)算想到研究兩根的和、積的運(yùn)算與系數(shù)之間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性以及研究方法的一致性.

問題3 請(qǐng)你用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述剛才得到的猜想，并證明.

追問：你認(rèn)為這個(gè)關(guān)系和求根公式比起來有什么優(yōu)勢？

師生活動(dòng)：學(xué)生得到猜想，即若關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根為x1，x2，則有x1+x2=－p，x1x2=q.

證法二：根據(jù)條件構(gòu)造方程（x－x1）（x－x2）=0，展開得x2－（x1+x2）x+x1x2=0，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可證明.

教師總結(jié)：請(qǐng)大家對(duì)比這兩種證明方法，你能說出每種方法是如何想到的嗎？我們可以從方程的兩個(gè)根x1，x2進(jìn)行分析，如果把根當(dāng)作未知的，就可以用求根公式求出未知的根，即方法一；如果把根當(dāng)作已知的，就可以根據(jù)兩根重新構(gòu)造一個(gè)與原方程同解的一元二次方程，即方法二.因此，對(duì)代數(shù)對(duì)象屬性的分析是發(fā)現(xiàn)解題思路的一種常見方法.

說明：讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問題中發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想，并用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行歸納、用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行推理論證的過程，體會(huì)代數(shù)推理的一般思路，解決“怎么學(xué)”的問題，培養(yǎng)抽象能力和推理能力.引導(dǎo)學(xué)生思考兩種證明方法的思維來源，讓學(xué)生更深刻地感受到知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)代數(shù)推理能力.同時(shí)，通過追問促使學(xué)生感受這個(gè)關(guān)系的簡潔性和直接性，進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容的必要性.

問題4 把上面的猜想和證明方法推廣到任意的一元二次方程，即對(duì)于方程ax2+bx+c=0，方程的根x1，x2與系數(shù)a，b，c之間有什么關(guān)系呢？請(qǐng)用數(shù)學(xué)的語言表述你的猜想，并證明.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般來研究問題.

證法二：利用求根公式計(jì)算求解.

追問：觀察求根公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，你能進(jìn)一步理解為什么我們要研究兩根之和、兩根之積嗎？

教師總結(jié)：請(qǐng)大家對(duì)比上面兩種證明方法，你能說出每種方法是如何想到的嗎？方法一是利用轉(zhuǎn)化思想，觀察一般形式與特殊形式方程結(jié)構(gòu)上的異同，通過變形把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題；方法二是利用類比的方法，類比之前特殊形式方程的證明方法，利用求根公式把根表示出來再進(jìn)行計(jì)算.因此，當(dāng)我們遇到新問題時(shí)，通常可以考慮利用類比和轉(zhuǎn)化的方法，用已有的經(jīng)驗(yàn)和方法解決新的問題.

說明：讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，進(jìn)一步培養(yǎng)抽象能力、運(yùn)算能力和推理能力，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，感受通過一般形式推導(dǎo)出通用的結(jié)論的重要意義.通過觀察求根公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)一步感受研究兩根之和、兩根之積的合理性與必要性.

2.3 知識(shí)建構(gòu)

問題5 這個(gè)定理叫做韋達(dá)定理，你認(rèn)為使用韋達(dá)定理應(yīng)注意哪些事項(xiàng)？

追問：①觀察定理中兩個(gè)式子的特點(diǎn)，有哪些異同？

②定理成立的前提是什么？為什么？

說明：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理進(jìn)行辨析，加強(qiáng)對(duì)定理的記憶和理解，強(qiáng)調(diào)定理成立的前提條件是Δ≥0，培養(yǎng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃?同時(shí)補(bǔ)充說明隨著研究范圍的擴(kuò)大，定理適用于所有的一元二次方程，為后續(xù)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

2.4 知識(shí)應(yīng)用

例1 若x1，x2是一元二次方程2x2+12=10x的兩個(gè)根，則x1+x2=[CD#3]，x1x2=[CD#3].

變式 若已知一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是2和3，你能構(gòu)造滿足條件的方程嗎？

說明：通過韋達(dá)定理正反兩方面的應(yīng)用，促使學(xué)生進(jìn)一步理解根與系數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)根據(jù)構(gòu)造出的方程不一定相同，感受雖然方程不同，但是根與系數(shù)之間的關(guān)系是不變的，進(jìn)一步體會(huì)性質(zhì)是研究變化中的不變性.

說明：利用韋達(dá)定理解決引例中的問題，感受韋達(dá)定理在表述根與系數(shù)之間關(guān)系的直接性，以及在求解過程的優(yōu)越性，體會(huì)韋達(dá)定理與求根公式一起更加完整地反映了根與系數(shù)的關(guān)系，建立知識(shí)的系統(tǒng)性.

例2 已知方程4x2－8x+1=0的兩個(gè)根為x1，x2，不解方程，求代數(shù)式x1－x2的值.

說明：在研究完兩根的和與積運(yùn)算之后，設(shè)計(jì)了求兩根之差的問題，感受前后一致、邏輯連貫的研究過程，同時(shí)滲透轉(zhuǎn)化的思想和整體代入求解的解題方法，有利于初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接.

課堂練習(xí) 下列一元二次方程中，滿足“兩根均為負(fù)數(shù)”的是.（填序號(hào)）

①7x2+11x－5=0； ②6x2－13x－5=0；

③5x2+9x+5=0；④3x2+21x+5=0.

說明：通過課堂練習(xí)檢驗(yàn)學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，本題的四個(gè)方程的根均不易直接看出，可以通過兩根之和、兩根之積的正負(fù)來判斷，從而深化對(duì)韋達(dá)定理的理解，進(jìn)一步體會(huì)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系.同時(shí)設(shè)置了選項(xiàng)③，此方程的Δlt;0，不能使用韋達(dá)定理，從而讓學(xué)生對(duì)韋達(dá)定理的應(yīng)用產(chǎn)生更全面的理解.

2.5 梳理總結(jié)

教師與學(xué)生一起梳理本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容：

（1）從研究內(nèi)容上看，本節(jié)課學(xué)習(xí)了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，其實(shí)之前學(xué)過的一元一次方程，甚至推廣到一元n次方程，都有類似的性質(zhì).這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在研究內(nèi)容上的整體性.

（2）從研究思路上看，按照方程根的判別、方程的解法及方程的性質(zhì)的順序是研究所有方程的一般思路，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究路徑的一般性.

（3）從研究方法上看，首先從具體的例子中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)的語言歸納和表達(dá)規(guī)律，最后再通過嚴(yán)格的計(jì)算和推理進(jìn)行證明，這也是用代數(shù)思維研究問題的基本方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究方法的一致性.

說明：通過小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和方法等方面梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步總結(jié)每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)都要思考“為什么學(xué)”“怎么學(xué)”和“學(xué)了有什么用”這幾個(gè)問題，總結(jié)用代數(shù)方法研究問題的一般方法，即發(fā)現(xiàn)、歸納、證明，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

問題6 你了解數(shù)學(xué)家韋達(dá)嗎？你知道在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，韋達(dá)定理的發(fā)現(xiàn)都經(jīng)歷了哪些曲折的過程嗎？請(qǐng)你在課后利用網(wǎng)絡(luò)資源查閱相關(guān)材料，并與同學(xué)們分享韋達(dá)定理的故事.

推薦文章：《關(guān)于韋達(dá)定理的歷史注記》.作者：汪淳（上海市延安初級(jí)中學(xué)八年2班）.

說明：通過課后閱讀問題的布置，把本節(jié)課的學(xué)習(xí)從線下延伸到線上，教會(huì)學(xué)生充分利用各種資源自主學(xué)習(xí).同時(shí)通過了解韋達(dá)定理的相關(guān)數(shù)學(xué)史，學(xué)生可以感受數(shù)學(xué)家們前仆后繼追求真理的科學(xué)精神，感受數(shù)學(xué)文化.

3 教學(xué)反思

3.1 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突

情境設(shè)計(jì)與問題提出對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)具有良好的促進(jìn)作用［2］.創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫场⑻岢龊线m的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣等有著積極的教育意義.

本課創(chuàng)設(shè)解一個(gè)具體的一元二次方程情境，融一元二次方程概念、解法、性質(zhì)于一體，既復(fù)習(xí)了一元二次方程根的判別及解法，又由于系數(shù)比較復(fù)雜，學(xué)生在解方程的過程中遇到了困難，從而產(chǎn)生研究更優(yōu)化解法的需求，合理提出問題，有效引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，同時(shí)也體現(xiàn)了研究根與系數(shù)關(guān)系的必要性.

3.2 設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，發(fā)展推理能力

推理是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征，是理解數(shù)學(xué)的重要途徑［3］.在教學(xué)過程中，教師需要圍繞學(xué)習(xí)主題設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)奶骄炕顒?dòng)，根據(jù)教材特點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過自我探究與合作交流相結(jié)合的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，體驗(yàn)探究的全過程，獲取知識(shí)，提升能力.

本課以問題為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)方案，以系列探究問題呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)了探究一元二次方程的性質(zhì)和從特殊到一般研究根與系數(shù)關(guān)系等活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中自主發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)之間的關(guān)系，了解研究代數(shù)性質(zhì)的一般方法，即按照“發(fā)現(xiàn)—?dú)w納—證明”的路徑，從要素之間的關(guān)系、從特殊到一般地進(jìn)行研究，逐步發(fā)展推理能力.

3.3 形成一般觀念，關(guān)注初高銜接

數(shù)學(xué)是在抽象的結(jié)構(gòu)上建立的有序邏輯結(jié)構(gòu)體系，教會(huì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“用相似的方法做不同的事情”，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般觀念，可以幫助學(xué)生整體把握知識(shí)，減輕記憶負(fù)擔(dān)，從而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

本課通過設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，探究怎樣去解決問題，以及如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.重視模式化、結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生形成研究代數(shù)問題的一般觀念.教學(xué)過程突出以學(xué)生為主體進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從特殊到一般，猜想結(jié)論，論證結(jié)論，在高度參與中有效提升對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度理解.

同時(shí)，本課還特別關(guān)注初高中知識(shí)和方法的銜接，通過韋達(dá)定理成立前提條件的說明，以及根與系數(shù)關(guān)系的推廣等環(huán)節(jié)，滲透設(shè)而不求等思想方法，為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

3.4 重視數(shù)學(xué)文化，落實(shí)學(xué)科育人

立德樹人是教育的終極目標(biāo)，教學(xué)中教師要挖掘教學(xué)過程中的各種素材，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)科育人價(jià)值.

韋達(dá)定理的發(fā)展過程本身就蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)史，本課中教師帶領(lǐng)學(xué)生“重走”了韋達(dá)定理的發(fā)現(xiàn)與認(rèn)證之路，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣觀察世界、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，感受數(shù)學(xué)家們前仆后繼追求真理的科學(xué)精神，滲透數(shù)學(xué)文化與學(xué)科德育.同時(shí)在教學(xué)過程中，通過學(xué)生的自主探究和討論交流，也培養(yǎng)了學(xué)生有條理地思考問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、勇于創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］張林.教科學(xué)探究方法 悟數(shù)學(xué)思想本質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（23）：65-68.

［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］鮑建生，章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之五：推理能力[J].中國數(shù)學(xué)教育，2022（19）：3-11.