探析模型支架在初三數學復習中的運用

在“雙減”背景下，“低負擔、高效率”的初三數學復習是我們追求高質量教育的實踐.隨著新課程改革的不斷深入，以學生為主體、學習為中心的教學生態已基本形成，那么，在復習課中如何提升教育質量呢？重視學科思維的培養是核心.在復習課中，學生用數學學科的思維站在更高的視角，梳理知識框架，建立知識間的聯系，形成系統的認知經驗，提升問題解決能力，發展數學核心素養.幾何綜合問題是初三數學復習的重要內容，幾何模型支架是幾何綜合問題復習中數學思維的重要載體，也是提升復習效率的關鍵.

中考試題中的幾何綜合問題多數是以三角形、四邊形為載體的，主要涉及特殊的三角形、全等三角形、相似三角形和特殊的四邊形.就要求學生理解和掌握全等三角形、相似三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定，同時還要掌握方程思想、分類討論等數學思想方法和勾股定理及其逆定理等知識，深度挖掘相關圖形之間的聯系，利用所給圖形及圖形之間形狀、大小、位置關系，進行觀察、實驗、比較、聯想、類比、分析、綜合，探索和解決一些綜合型、開放型、創新型問題，提高解決問題的能力.而要實現自主探究、自主建構、自主提升，幾何模型支架的運用能有效幫助學生快速促進學習方法的養成.本文中用三個常見的幾何綜合模型支架進行說明.

1 支架1：8字全等模型

證明線段相等，或者證明線段之間的數量關系或某種等量關系，解決問題的基本方法一般有如下三種：一是利用全等三角形或相似三角形的性質進行證明；二是轉化為等腰三角形，利用其性質進行證明；三是利用勾股定理計算其中的數量進行證明.在解決問題的過程中常常需要添加輔助線.如涉及線段中點的問題，可以通過作垂直構造8字全等來求解；涉及中線問題，常采用倍長中線構造8字全等三角形來轉換條件求解.

例1 如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點D在邊BC上（不與點B，C重合），連接AD，以點A為中心，將線段AD逆時針旋轉180°-α得到線段AE，連接BE.

（1）∠BAC+∠DAE=.

（2）取CD的中點F，連接AF，用等式表示線段AF與BE的數量關系，并證明.

解：（1）∠BAC+∠DAE=α+180°-α=180°.

（2）BE=2AF.

證法一：如圖2，延長AF至點G，使FG=AF，連接CG.

又DF=CF，∠AFD=∠GFC，

∴△AFD≌△GFC.

∴AD=GC，∠ADC=∠GCF.

設∠BAD=β.

∵AB=AC，∠BAC=α，

∴∠ACG=∠ACB+∠GCF=180°-α+β.

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=180°-α+β.

∴∠BAE=∠ACG.

又AB=AC，AE=AD=GC，

∴△BAE≌△ACG.

∴BE=AG=2AF.

證法二：如圖3，延長DA至點M，使AM=DA，連接MC.

又DF=CF，

∴CM=2AF.

∵∠BAC=α，∠DAE=180°-α，

∴∠MAE=α=∠BAC.

∴∠BAE=∠CAM.

∵AB=AC，AE=AD=AM，

∴△ABE≌△ACM.

∴BE=CM=2AF.

證法三：如圖4，延長CA至點N，使得AN=AC，連接DN.

又DF=CF，

∴DN=2AF.

∵∠BAC=α，

∠DAE=180°-α，

∴∠NAB=180°-α=∠DAE.

∴∠BAE=∠NAD.

又AB=AC=AN，

AE=AD，

∴△ABE≌△AND.

∴BE=ND=2AF.

2 支架2：三線合一模型

等腰三角形是初中幾何中重要的學習載體，其“三線合一”的性質是重要的轉化工具.與直角三角形、含有特殊角的三角形等相結合編制的題目是綜合題中的常見題型.一般地，可以利用“角平分線到角兩邊的距離相等”“直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半”“等邊三角形”“等腰梯形”等知識進行轉化，通過添加恰當的輔助線構造三線合一模型解決問題.

例2 如圖5，已知OB=BA，∠OBA=150°，線段BA繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC.連接BC，OA，OC，過點O作OD⊥AC于點D.

（1）依題意補全圖形；

（2）求∠DOC的度數.

解：（1）略.

（2）法1：如圖6，過點A作AE垂直OB的延長線于點E，

∴∠AEB=90°.

∵∠ABO=150°，

∴∠ABE=30°，

∠BAE=60°.

又BA=BO，

∴∠BAO=∠BOA=15°.

∴∠OAE=75°.

∵∠BAC=90°，

∴∠DAO=∠BAC-∠BAO=75°.

∴∠OAE=∠DAO.

∵OD⊥AC于點D，

∴∠AEO=∠ADO=90°.

又AO為公共邊，

∴△AOE≌△AOD.

∴AE=AD.

在Rt△ABE中，∠ABE=30°，

又AB=AC，

∴AD=CD.

又∠ADO=∠CDO=90°，OD邊公共，

∴△ADO≌△CDO.

∴∠DCO=∠DAO=75°.

∴∠DOC=15°.

法2：如圖7，過點B作BE⊥OD于點E.

又OD⊥AC，AB⊥AC.

∴四邊形ABED為矩形.

∴BE=AD.

∵OB=BA，∠OBA=150°，

∴∠BOA=∠BAO=15°.

∴∠AOD=15°.

∴∠BOE=30°.

∴AD=DC.

又∠ADO=∠CDO=90°，OD邊公共，

∴△ADO≌△CDO.

∴∠DOC=15°.

法3：如圖8，過點A作AE∥BO，交OD于點E.

∵OB=BA，∠OBA=150°，

∴∠BOA=∠BAO=15°.

∵OD⊥AC，線段BA繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC，

∴BA∥OD，OB=BA=AC.

∴四邊形AEOB是菱形，

∴∠BOA=∠BAO=∠AOD=15°.

∴∠BOE=∠AED=30°.

∴點D是△AOC底邊AC的中點.

因此，由等腰三角形“三線合一”的性質，可得

∠DOC=∠AOD=15°.

法4：如圖9，過點B作BE∥AC，與CA的垂線CE交于點E.

∵線段BA繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC，

∴BA⊥AC，BA=AC.

∵BE∥AC，

∴∠ABE=90°.

又AC⊥CE，

∴四邊形ABEC是正方形.

∴BE=AC=AB=BO.

∵∠OBA=150°，

∴∠OBE=60°.

∴三角形EOB是等邊三角形.

∴EO=EB=EC.

∴∠OEC=150°，

∠EOC=∠ECO=15°.

∵OD⊥AC，∠ACE=90°，

∴OD∥EC.

∴∠DOC=∠ECO=15°.

3 支架3：手拉手模型

手拉手模型主要是利用全等三角形、相似三角形解決問題.常見的有共頂點的等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正方形等.一般地，出現等線段、共端點條件時，通常通過輔助線利用旋轉構造全等三角形、相似三角形或正方形解決問題.

例3 已知正方形ABCD，將線段BA繞點B旋轉α（0°＜α＜90°），得到線段BE，連接EA，EC.

（1）如圖10-1，當點E在正方形ABCD的內部時，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=°，四邊形ABCE的面積為

（2）當點E在正方形ABCD的外部時.

①在圖10-2中依題意補全圖形，并求∠AEC的度數；

②作∠EBC的平分線BF交EC于點G，交EA的延長線于點F，連接CF，用等式表示線段AE，FB，FC之間的數量關系，并證明.

（2）①補全圖形，如圖11.

∵正方形ABCD的邊BA繞點B旋轉α得到線段BE，

∴BE=BA=BC，

∠ABE=α.

∴∠AEC=∠BEA－∠BEC=45°.

②2FB=2FC－AE.

法1：如圖12，過點B作BH∥EC交FC的延長線于點H.

∵BE=BC，

BF平分∠EBC，

∴BF垂直平分EC.

∴FE=FC，

∠FGC=90°.

∴∠FEC=∠FCE=45°.

∴∠GFC=45°.

∵BH∥EC，

∴∠FBH=∠FGC=90°，∠H=∠FCG=45°.

∵∠ABF=90°－∠FBC，∠CBH=90°－∠FBC，

∴∠ABF=∠CBH.

又AB=CB，

∴△ABF≌△CBH.

∴AF=CH

∵FH=FC＋CH=FC＋AF=FC＋FE－AE=2FC－AE，

法2：如圖13，在CF的延長線上截取FH=FA，連接AH，AC.

∵BC=AB，BE=AB，

BF平分∠EBC，

∴△EBF≌△CBF.

∴∠BEF=∠BCF.

∵∠EBC=90°+α，

∴∠EFC=90°.

在初三數學復習的過程中，還有一些常見的幾何模型，如一線三角模型、角平分線模型、和差截補模型等，通過這些模型學生能實現三個層級的進階學習.一是實現零散知識的整合，引導學生形成對知識、方法的系統認識；二是實現問題向模型轉化，引導學生學會通過添加輔助線或旋轉等手段將問題轉化到熟悉的模型，達到快速解決問題的目的；三是實現利用模型解決未知的綜合問題，提升學生解決問題的能力.上述三個案例顯示，以常見的幾何模型作為學習支架，能啟發學生基于三角形全等、三角形相似及特殊四邊形的性質和判定，有創新地解決幾何綜合問題，充分體現“做中學”“用中學”“創中學”的育人新理念.