剖析中考題 探究二次函數(shù)最值求法

摘要：在中考中時(shí)常會(huì)出現(xiàn)考查二次函數(shù)最值的問(wèn)題.對(duì)于這類(lèi)題目若學(xué)生沒(méi)有掌握其求解方法，則會(huì)感覺(jué)很難.鑒于二次函數(shù)最值在中考中的重要地位，本文中先說(shuō)明了求解二次函數(shù)最值問(wèn)題的基本技能，然后，結(jié)合中考題給出

了求二次函數(shù)最值的兩種基本方法（區(qū)間法和配方法）的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；最值；頂點(diǎn)式；配方

二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分非常重要的知識(shí)點(diǎn)，一方面與幾何問(wèn)題結(jié)合緊密，另一方面與實(shí)際問(wèn)題融合較深.在遇到與二次函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，尤其是求二次函數(shù)的最值，學(xué)生的心理往往非常復(fù)雜.究其原因，一方面是這樣的問(wèn)題具有一定的挑戰(zhàn)性，在解決后通常能給予學(xué)生足夠的成就感，另一方面是這樣的問(wèn)題有時(shí)確實(shí)太難.基于這樣一種學(xué)習(xí)狀態(tài)，同時(shí)結(jié)合當(dāng)前中考對(duì)二次函數(shù)最值問(wèn)題的考查比較頻繁，本文中嘗試進(jìn)行研究.

1 求二次函數(shù)最值的基本技能說(shuō)明

要想求出二次函數(shù)的最值，幾項(xiàng)基本技能不能少，下面對(duì)此進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明與分析：

首先，能快速且準(zhǔn)確地畫(huà)出函數(shù)圖象，能分析出圖象的性質(zhì)，這里主要指圖象的增減性.

二次函數(shù)圖象的畫(huà)法比較多，如列表法、三點(diǎn)一線法等.列表法是傳統(tǒng)方法，速度慢，但畫(huà)出的圖象比較精準(zhǔn)；三點(diǎn)一線法屬于簡(jiǎn)便畫(huà)法，速度快，但圖象精準(zhǔn)度不夠.

二次函數(shù)的增減性以對(duì)稱(chēng)軸將圖象一分為二進(jìn)行分析.如果函數(shù)圖象開(kāi)口向上，當(dāng)x不斷增大時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸的左邊函數(shù)值不斷減小，右邊則不斷增大.從不斷減小向不斷增大變化時(shí)，必然會(huì)出現(xiàn)最低點(diǎn)，該最低點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著函數(shù)的最小值.如果函數(shù)圖象開(kāi)口向下，當(dāng)x不斷增大時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸的左邊函數(shù)值不斷增大，右邊則不斷減小.從不斷增大向不斷減小變化時(shí)，必然會(huì)出現(xiàn)最高點(diǎn)，該最高點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著函數(shù)的最大值.

其次，能利用配方法將二次函數(shù)的一般形式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，能從頂點(diǎn)式中準(zhǔn)確判斷出頂點(diǎn)坐標(biāo)，能正確理解頂點(diǎn)坐標(biāo)的作用[1].

配方法是得到二次函數(shù)頂點(diǎn)式的重要方法，分為二次項(xiàng)系數(shù)為1和二次項(xiàng)系數(shù)不為1兩種情況.

在轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式后，可通過(guò)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，可通過(guò)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)得到二次函數(shù)的最值.

最后，會(huì)根據(jù)自變量的取值范圍求二次函數(shù)的最值.

自變量沒(méi)有取值范圍要求時(shí)，求二次函數(shù)的最值相對(duì)比較簡(jiǎn)單.但是，如果自變量有范圍要求，就相對(duì)比較復(fù)雜.

2 例析求二次函數(shù)最值的基本方法

二次函數(shù)最值的求法主要有兩種，分別是配方法和區(qū)間法.

所謂配方法，就是利用配方的方法將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)判斷函數(shù)圖象的開(kāi)口方向.如果a＞0，圖象開(kāi)口向上，則有最小值；如果a＜0，圖象開(kāi)口向下，則有最大值[2].

所謂區(qū)間法，就是先根據(jù)自變量的取值范圍畫(huà)出函數(shù)圖象，然后觀察圖象并找到圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)最大值，最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)最小值.

下面結(jié)合中考例題分別進(jìn)行介紹.

2.1 配方法

例1 （2022·泰安）拋物線y=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表1：

下列結(jié)論不正確的是（" ）.

A.拋物線的開(kāi)口向下

C.拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）

解：因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)（0，6），所以c=6.

把點(diǎn)（-2，0），（-1，4）分別代入y=ax2+bx+6中，得到方程組

解之，得

所以，拋物線的解析式為y=-x2+x+6.據(jù)此可判斷拋物線的開(kāi)口向下，故選項(xiàng)A正確.

然后，利用配方法將拋物線的解析式由一般式化為頂點(diǎn)式

由題意可知，拋物線和x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，0），根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該是（3，0）.

故選答案：C.

該題考查二次函數(shù)的知識(shí)面比較廣，與本文研究的內(nèi)容具有較高的契合度.從解決問(wèn)題的過(guò)程來(lái)看，利用配方法將拋物線的解析式由一般式化為頂點(diǎn)式發(fā)揮了重要作用.不過(guò)，在利用配方法時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

首先，觀察二次項(xiàng)系數(shù)是否為1.若為1，直接利用配方法；若不為1，需將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.

其次，在配方時(shí)，常數(shù)項(xiàng)始終不做任何處理.

最后，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，就要相應(yīng)減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，目的是為了不改變?cè)瓉?lái)的表達(dá)式.

2.2 區(qū)間法

例2 （2022·紹興）已知函數(shù)y=-x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-3），（-6，-3）.

（1）求b，c的值

（2）當(dāng)-4≤x≤0時(shí)，求y的最大值.

解：（1）將（0，-3），（-6，-3）代入函數(shù)y=-x2+bx+c，可得b=-6，c=-3.

（2）由（1）可知y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，由于-4≤x≤0，因此二次函數(shù)的圖象大致如圖1所示.

觀察該圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)-4≤x≤0時(shí)，函數(shù)圖象的開(kāi)口方向是向下，

且當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為6.

在用區(qū)間法求二次函數(shù)的最值時(shí)，首先應(yīng)根據(jù)自變量的取值范圍畫(huà)出符合題意的函數(shù)圖象，然后在該取值范圍內(nèi)討論函數(shù)的最值.這里需注意兩個(gè)問(wèn)題：

首先，用區(qū)間法求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通常圖象并不完整，且圖象的兩端有一定要求.如果不等號(hào)為“＞”或“＜”，則圖象在該處應(yīng)該為空心圓圈；如果不等號(hào)是“≥”或“≤”，則圖象在該處應(yīng)該為實(shí)心圓點(diǎn)，如圖1所示.

其次，在根據(jù)區(qū)間范圍求最值時(shí)，不能盲目地將區(qū)間兩端的x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作為最值，一定要觀察圖象的開(kāi)口方向，結(jié)合圖象的增減性討論函數(shù)的最值.如圖1，不能認(rèn)為在x=-4時(shí)函數(shù)有最大值.

3 總結(jié)與反思

求二次函數(shù)最值是常考內(nèi)容，也是初中數(shù)學(xué)難點(diǎn)之一.因此，作為教師應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中注意以下幾個(gè)方面：

（1）夯實(shí)基礎(chǔ).這里的基礎(chǔ)既包括基礎(chǔ)知識(shí)，又包括基本技能.上文中提到的幾種基本技能，是解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要使用的，務(wù)必落到實(shí)處.

（2）激勵(lì)學(xué)生，樹(shù)立信心.學(xué)生遇到這樣的問(wèn)題時(shí)，普遍有畏難心理[3].教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，并在學(xué)生成功解決時(shí)及時(shí)給予表?yè)P(yáng).如此一來(lái)，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)才會(huì)不斷地有信心.這樣不僅對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)與發(fā)展有利，對(duì)教師自身的課堂教學(xué)也有利.

總而言之，雖然求二次函數(shù)的最值較難，但是要引導(dǎo)學(xué)生不斷嘗試本文中提到的兩種方法，并且及時(shí)總結(jié)與反思.只有這樣，才能彌補(bǔ)學(xué)生更多的學(xué)習(xí)漏洞，從而讓他們的學(xué)習(xí)過(guò)程更加順利.

參考文獻(xiàn)：

［1］李桂艷.剖析武漢中考題，揭秘二次函數(shù)最值求法[J].數(shù)理天地：初中版，2022（8）：4-6.

[2]馬學(xué)斌，石明俠.2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題高頻熱點(diǎn)問(wèn)題賞析（5）線段和的最大值問(wèn)題——二次函數(shù)的最大值[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：初中版，2021（Z1）：62-64.

[3]焦志敏，馬一峰.“數(shù)”與“形”視角下的最值模型研究——以2021年南京市中考?jí)狠S題為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：初中版，2022（12）：39-41.