如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中巧用化歸思想

摘要：文章首先指出了化歸思想應(yīng)遵循的三個(gè)原則，即由淺入深、循序漸進(jìn)，重視過(guò)程、注重方法，結(jié)合實(shí)際、靈活運(yùn)用；然后通過(guò)具體的教學(xué)實(shí)例分析了化歸思想的多種應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：化歸思想；解題效率；探究精神；教學(xué)原則；教學(xué)實(shí)例

化歸思想，作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一種重要思維方法，其本質(zhì)是通過(guò)轉(zhuǎn)化和簡(jiǎn)化問(wèn)題，將新問(wèn)題轉(zhuǎn)換為已知問(wèn)題或者較為熟悉的問(wèn)題，從而尋找解決問(wèn)題的突破口.在初中數(shù)學(xué)教育中，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想尤為重要，它不僅能夠幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，還能夠提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和效率.例如，在解決一些復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)，通過(guò)化歸思想，可以將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，將難以直接求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的問(wèn)題.在代數(shù)問(wèn)題上，通過(guò)變量替換、因式分解等方法，可以將復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程.

缺乏化歸思想的學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往會(huì)感到無(wú)從下手.他們可能會(huì)陷入對(duì)問(wèn)題表面形式的固定思維中，無(wú)法深入本質(zhì)，從而錯(cuò)失解題的關(guān)鍵.例如，面對(duì)一道復(fù)雜的幾何證明題，如果學(xué)生不能意識(shí)到通過(guò)添加輔助線將復(fù)雜圖形化簡(jiǎn)為基本圖形，那么他們可能就會(huì)陷入原有圖形的復(fù)雜關(guān)系中，無(wú)法找到解題的切入點(diǎn).

1 化歸思想的應(yīng)用原則

化歸思想的運(yùn)用并非無(wú)跡可循，它遵循以下三個(gè)原則.

1.1 由淺入深，循序漸進(jìn)

化歸思想的應(yīng)用需要遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的原則.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和已掌握的知識(shí)基礎(chǔ)，有選擇性地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題.初期，可以從簡(jiǎn)單、直觀的問(wèn)題開(kāi)始，讓學(xué)生感受化歸思想的魅力和實(shí)用性；隨著學(xué)生能力的提高，逐步增加問(wèn)題的復(fù)雜性，引導(dǎo)學(xué)生探索更深層次的化歸路徑.這一過(guò)程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的探索興趣和解決問(wèn)題的信心.循序漸進(jìn)地運(yùn)用化歸思想，能夠幫助學(xué)生逐步建立起完整的知識(shí)體系，從而更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

1.2 重視過(guò)程，注重方法

化歸思想的運(yùn)用不僅僅是為了得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，更重要的是通過(guò)化歸的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和解決問(wèn)題的方法.因此，在運(yùn)用化歸思想時(shí)，應(yīng)當(dāng)重視解題過(guò)程，注重方法的培養(yǎng).教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不僅要關(guān)注結(jié)果正確與否，更要關(guān)注解題的思路和方法是否合理、是否有創(chuàng)新.通過(guò)反思化歸的過(guò)程，學(xué)生可以深入理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，提高解題技巧.同時(shí)，教師還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生勇于嘗試多種化歸路徑，通過(guò)比較不同解題方法的優(yōu)劣，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新能力.如同英國(guó)數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德·諾思·懷特海所說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的真正藝術(shù)不在于解答，而在于如何建立問(wèn)題和找到解決問(wèn)題的途徑.”

1.3 結(jié)合實(shí)際，靈活運(yùn)用

化歸思想的運(yùn)用應(yīng)緊密結(jié)合實(shí)際，靈活多變.初中數(shù)學(xué)問(wèn)題往往涉及生活實(shí)際情境，教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將化歸思想與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，運(yùn)用到解決生活中的實(shí)際問(wèn)題中.通過(guò)將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的生活實(shí)例相結(jié)合，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能幫助學(xué)生深刻理解化歸思想的實(shí)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生將理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的能力.此外，教師還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)，能夠靈活運(yùn)用化歸思想，根據(jù)問(wèn)題的具體情況選擇合適的化歸路徑，以達(dá)到解決問(wèn)題的最佳效果.

2 化歸思想的教學(xué)應(yīng)用實(shí)例分析

2.1 化未知為已知

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將問(wèn)題中的未知元素轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)或已知條件，稱為“化未知為已知”.

的直線與曲線l相交于點(diǎn)M，N，試求△OMN的面積.

分析：反比例函數(shù)曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°后的圖象無(wú)從下手，我們可將反比例函數(shù)曲線、直線AB繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°還原，化未知為已知即可求得點(diǎn)M，N的坐標(biāo).

建立如圖2所示的新的坐標(biāo)系，令OB所在直線為x′軸，OA所在直線為y′軸.

在新的坐標(biāo)系中，A（0，8），B（4，0），所以直線AB的解析式為y′=－2x′+8.

2.2 化空間為平面

在處理空間幾何問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)遇到較為復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)，此時(shí)可以通過(guò)投影、剖面等方法，將三維空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維平面問(wèn)題，稱為“化空間為平面”.

例2 如圖3所示，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18 m，寬為9 m，網(wǎng)高為2.24 m.隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9 m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88 m，即BA=2.88 m.這時(shí)水平距離OB=7 m.以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)，是否出界，說(shuō)明理由.

解：將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面坐標(biāo)系中的問(wèn)題.

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x－7）2+2.88.

當(dāng)x=9時(shí)，y=2.8gt;2.24；當(dāng)x=18時(shí)，y=0.46gt;0，故此次發(fā)球過(guò)網(wǎng)，但出界了.

（2）如圖5所示，過(guò)點(diǎn)P作底線的平行線PQ，過(guò)點(diǎn)O作邊線的平行線OQ，兩線交于點(diǎn)Q，連接OP.

在Rt△OPQ中，OQ=17.

因?yàn)?－8.4－0.5=0.1，所以發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距離右邊線0.1 m處.

2.3 化特殊為一般

在遇到特殊問(wèn)題時(shí)，嘗試將其泛化為一般性的問(wèn)題，從而找到更普遍、更系統(tǒng)的解決方法，稱為“化特殊為一般”.

例3 如圖6所示，兩個(gè)半圓中大半圓的弦CD與小半圓相切，且AB∥CD，其中，CD=6 cm，試求圖中陰影部分的面積.

分析：對(duì)于該圖中陰影部分的面積，聯(lián)想到化歸思想，將陰影面積轉(zhuǎn)換成大半圓與小半圓的面積差來(lái)求解.從圖6中不難看出兩圓半徑與弦CD的關(guān)系，由垂徑定理及勾股定理可知，F(xiàn)C2－EF2=CE2=9.

化歸思想作為一種高效的數(shù)學(xué)思維方法，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用不僅能夠幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高解題效率，還能夠在解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、創(chuàng)新思維和探究精神.通過(guò)實(shí)際教學(xué)實(shí)例的分析，我們可以看到，無(wú)論是在幾何問(wèn)題的解決還是代數(shù)表達(dá)式的簡(jiǎn)化中，化歸思想都能夠發(fā)揮其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視化歸思想的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生掌握和運(yùn)用這一思想.化歸思想的妙用在于它能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化，讓學(xué)生在簡(jiǎn)化的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美.