“分析、檢索、提取”三步走，優化幾何課堂教學

摘要：“雙減”政策下，減輕的是學生的負擔，不減教師教學質量，反而更需要提高課堂效率.基本圖形是構成復雜圖形的基礎，在一題多解中從多個角度探究問題，提煉基本圖形，引導學生將幾何知識融會貫通，形成發散思維，提高問題解決的敏銳度.本文中以一道中考題為例，從“分析知識、檢索知識、提取知識”三個環節進行教學，提取基本圖形，提升解題思維.

關鍵詞：基本圖形；構造；一題多解；“雙減”

1 試題呈現

2 分析、檢索、提取三步走，拓展發散思維

2.1 分析知識

本題題干簡潔，以菱形為載體，關聯中點、角平分線、平行線等常見的幾何要素，涉及菱形的性質、等腰三角形、相似三角形、三角函數、線段的關系等核心知識點.一方面考查學生的幾何直觀與讀圖、作圖的能力，另一方面也考查學生對于基本圖形的再整合以及運用幾何經驗解決綜合問題的能力.筆者首先以問題串的形式，和學生一起從多個角度分析幾何圖形，激活學生已有的知識體系.

問題1 菱形的基本性質有哪些？

問題2 碰到中點，我們有哪些解題策略？

問題3 角平分線與平行線結合，會有什么基本圖形？

問題4 三角函數是在什么三角形中定義的？如何表示余弦值？

問題5 求線段長度的方法有哪些？

教學說明：本題是以菱形為背景的一個幾何問題，因此首先給出問題1，讓學生回憶菱形涉及到的邊、角、對角線的相關知識，為整個問題的解決做一個鋪墊.題設中涉及到線段中點，因此設計了問題2，回顧中點的解題策略.碰到中點，一般選擇中線倍長、中位線、等腰三角形三線合一等基本圖形來解決問題，為輔助線的增添提供腳手架.問題3是根據題設中的角平分線加平行線的基本圖形而設計的，激發學生對基本圖形的回顧.問題4中對三角函數的處理，以及問題5中求線段長度的方法，都為整個中考題的解決提供了思路.

2.2 檢索知識

2.2.1 涉及中點的基本圖形

策略1：中線倍長.

如圖2，△ABC中，P為BC中點，通過倍長AP至點D，連接CD后就會出現△ABP≌△DCP.

策略2：等腰三角形三線合一.

如圖3，等腰三角形ABC中，D為底邊BC的中點，連接AD后得到AD⊥BC，AD平分∠BAC.

2.2.2 角平分線、平行基本圖形

策略1：角平分線.

碰到角平分線，首先想到的是角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.如圖4，BP平分∠ABC，過點P作PD⊥AB于點D，PE⊥BC于點E，可以得到PD=PE.

策略2：角平分線+平行線.

當角平分線與平行線結合時，一般策略就是得到等腰三角形.如圖5，△ABC中，D為AC中點，BD平分∠ABC，過點D作DE∥BC交AB于點E，則△BDE為等腰三角形.

策略3：平行得相似.

平行線所涉及到的知識點比較多，包括平行四邊形中的“平行”、中位線等，但是初三階段幾何問題中的平行少不了相似.如圖6，△ABC中，DE∥BC，得到“A字型”相似和“8字型”相似，即△ADE∽△ABC，根據相似三角形可以求線段長.

2.2.3 求線段長的方法

策略：在求線段長的問題中，我們一般會選擇全等、相似等基本方法.

2.2.4 三角函數解題策略

策略：三角函數是在直角三角形中定義的，因此出現三角函數時一定會出現直角三角形，余弦值即為鄰邊比斜邊.

教學說明：引導學生在分析問題時，根據題設的條件，將條件分割，在建構的知識體系中檢索每個條件對應的知識點.在幾何問題中，線段中點、角平分線、平行都是最基本的元素，見到中線要“倍長”，角平分線和平行線找等腰，角平分線構造全等，平行構造相似.這些知識都可以為學生解決問題生長解法.復雜圖形都是由基本元素所構成，需要學生根據平時的積累提取解決問題的基本圖形、基本知識、基本方法，從知識技能的“點”轉向知識技能的“面”.

2.3 提取知識

2.3.1 構造相似三角形求線段長

解法1：中線倍長、“A字型”相似.

解法2：角平分線+平行線、“A字型”相似、“8字型”相似.

解法3：角平分線+平行線、“A字型”相似.

教學說明：中考小壓軸題中求線段長的問題很多時候需要利用相似三角形求解，尤其在以平行四邊形為背景的問題中，條件涉及平行線、角平分線等.因此利用條件找出一些線段的數量關系，再構建“A字型”相似、“8字型”相似，就能順利求解出線段GF的長.

2.3.2 構造全等三角形求線段長

解法4：角平分線的性質、全等三角形.

如圖10，過點F作FM⊥AD交AD于點M，作FN⊥AE交AE于點N.因為AF平分∠DAE，FM⊥AD，FN⊥AE，所以FM=FN.易證△AFN≌△AFM，所以AM=AN.由解法3，得DF=GF，

教學說明：角平分線是幾何問題中的“常客”，通過角平分線可以發散出很多基本圖形，這里聯想到角平分線的性質，作兩條垂線，通過全等三角形，找到相等的線段AM=AN，建立等量關系，從而求解出GF的長.

2.3.3 構造平行四邊形求線段長

解法5：菱形、相似三角形.

解法6：平行四邊形、相似三角形.

如圖12，過點G作GH∥AB交BC于點H，由解法1得△ABE為等腰三角形，所以△GHE也為等腰三角形.因為GH∥CD，GF∥CH，所以四邊形GHCF為平行四邊行，則GH=CF=GE，GF=

教學說明：以菱形為背景的問題中，出現GF∥BC，聯想到構造平行四邊形，將線段進行轉換，再根據相似三角形求解出線段長，給問題的解決提供了不一樣的思路.

3 教學啟示

3.1 追本溯源，重視通性通法

本題立足基礎但又簡約不凡，既回歸本質，又聚焦通性.解題方法中關聯了幾何中的菱形、相似三角形、三角函數、中點、角平分線、平行線等知識，題目的設置上雖然難度不大，但是解法多樣，思維之間存在一定的關聯性.而中考壓軸題，往往都是由兩個或兩個以上基本圖形組合而成，綜合性比較強.學生沒有解題思路的關鍵是缺少從復雜圖形中抽離出基本圖形的能力，沒有建立完整的知識體系.比如在本題中，當碰到角平分線、中點時通常有哪些基本圖形？求線段長度一般有哪些策略？因此，教師需要引導學生從已知條件中挖掘關鍵條件，找到問題核心，回歸到幾何問題解決的基本圖形、基本方法、基本解題策略.只有這樣潛移默化地不斷滲透，學生才能慢慢形成基本圖形分析法，在面對復雜幾何問題時，能主動尋找或構造基本圖形，找到解決問題的通性通法，從而提高解決問題的能力[1].

3.2 一題多解，發散學生思維

思維是數學的體操，解題教學在本質上就是思維的教學.中考壓軸題，較多都傾向于對數學思想方法的考查，需要學生通過觀察、分析，挖掘數學本質，突破塊狀思維，才能彰顯出解題思路、方法的基本概貌.鄭毓信教授指出：“數學不應被等同于數學知識的匯集，而應主要地被看成人類的一種創造性活動.”因此，在課堂教學中需要培養學生的思維能力.發散性思維就是數學學習的一種很好的思維模式，不僅是對數學概念、法則的拓廣，也有對解題方法的發散和應用.一題多解、一題多變的教學方式可以比較好地培養學生的發散思維，探索幾何問題中的一些內在規律和本質.本題中根據基本圖形有針對性地添加輔助線，通過構造相似三角形、全等三角形、平行四邊形幾種情況來求解線段長，達到解一題、會一類、通一片的教學效果.教師在教學中要引導學生挖掘問題解決過程中蘊含的數學思想方法，促使學生知其然且知其所以然，從而促進學生發散思維，內化知識體系，深化思維品質，發展核心素養.

3.3 回歸課堂，積累活動經驗

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.”數學問題的解決，不是刻意地追求解法的多少，而是需要引導學生根據已有的知識、經驗、思維進行思考、探索，走進學生自己的最近發展區，實現最近聯想的自然性.解題教學要把課堂還給學生，要以學生為中心，不能越俎代庖地把“好解法”都一股腦兒“傳授”給學生，不能剝奪了學生自主思維的機會.在教學中通過“分析知識、檢索知識、提取知識”幾個環節，促使學生成為課堂的“主人”.通過問題串的形式激勵學生進行思考，分析知識；通過檢索知識的形式，引導學生聯想條件、回顧已有的知識體系；通過提取知識的方式，引領學生嘗試構圖，體會如何從知識模塊中提取解決問題的基本圖形、基本方法.學生在解題活動中，根據已有的知識體系，經歷將圖形進行分解、重組、構圖、計算等過程，發現知識間的組合和串聯，尋找思維路徑，強化模型意識，感悟思想方法，積累活動經驗.教師只需要體會學生的解法并給出及時的評價，展現其思考過程.在學生碰到困難時，做到適時分步介入，恰當點撥，合理引導，悄然啟發.學之道在于悟，教之道在于度，只有回歸學生視角，讓他們經歷思辨，生成自我的理解和感悟，才能積累活動經驗，使其能力得到提升[2].

參考文獻：

[1]張俊.反思題目通法 突出變換引領——一道中考試題的深層次思考[J].初中數學教與學，2022（3）：38-40.

[2]郭源源.“似”曾相識 依“理”構圖[J].中學數學教學參考，2022（23）：60-62.