品動點問題求解中的分類討論思想

摘要：動點問題一直是中考的重點，也是難點，學生在這方面掌握得不夠理想.從中考命題情況來看，一個、兩個動點較為常見.但無論幾個動點，其分析方法都利用了分類討論思想.可見，分類討論思想是解決這類問題的“利器”.基于此，本文中從一道與等腰三角形有關的中考題出發，歷經解法探究、解決問題、方法總結等過程，逐步“品味”分類討論思想.

關鍵詞：動點；分類討論思想；等腰三角形；方法

動點和等腰三角形結合的存在性探究問題，一直是學生的薄弱點.其實，解決這種問題既要分析清楚動點的運動狀態，又要借助分類討論思想分析等腰三角形可能存在的幾種情況，然后各個擊破[1].下面就以2022年一道中考題為例，說明如何以分類討論思想解決動點中等腰三角形的存在性問題.

1 試題呈現

（2022·黔東南）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸交于點A，B（3，0），與y軸交于點C，連接AC．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DM垂直于x軸，垂足為M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

2 解法分析

這道中考真題的第（1）小題比較簡單，主要考查了“用待定系數法求二次函數解析式”.此時，只需根據對稱軸為直線x=1和點B的坐標（3，0），即可求出拋物線的解析式.

第（2）小題比較復雜，所以進行重點分析.由于點D在第一象限內拋物線上運動，且過點D作x軸的垂線，垂足為M，因此點M的運動與點D有關.由于點N在CB上運動，那么CN和AN的長度會發生變化，但AC的長度始終不發生改變.所以要“使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形”，抓住不變線段AC進行分析是關鍵.當“以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形”時，AC在該等腰三角形中是腰還是底呢？這就需要進行分類討論.

首先，如果AC是底，那么CN和AN是腰，所以CN=AN.這時候，等腰三角形該如何畫出來呢？考慮到AC是底，CN和AN是腰，且CN=AN，這與線段AC的垂直平分線的性質非常相似，即（線段AC）垂直平分線上的點（點N）到線段兩端的距離相等（CN=AN）.

所以，這種情況應作出線段AC的垂直平分線.如圖2，取AC中點F，并過點F作AC的垂線，與CB交于點E，連接AE，此時△ACE就是以AC為

底的等腰三角形.

其次，如果AC是腰，那么這樣的等腰三角形又該如何畫出來呢？

此時不妨細想，初中數學幾何部分除了線段垂直平分線，還有什么知識點可用來構造等腰三角形？不難想到還有菱形的一組鄰邊、矩形的對角線、直角三角形斜邊中線、圓的半徑等.但是，前三者在本題中構造難度比較大，且與本題題意不符.所以，不妨嘗試作輔助圓.于是，可如圖3、圖4分別以A，C為圓心，AC的長為半徑作輔助圓，與BC分別交于點G，H.如果將它們分別與點A連接，那么就構造出了△ACG和△ACH，且它們都是等腰三角形.其中，△ACG中AC=AG，△ACH中AC=CH.

3 解題過程

下面重點對第（2）問求解.

解：（1）拋物線的解析式為y=－x2+2x+3.（過程略）

（2）根據題意，有如下兩種情況：

（Ⅰ）當AC是底，如圖2，取AC中點F，并過點F作AC的垂線，與CB交于點E，連接AE.

由拋物線的解析式是y=－x2+2x+3，可知點A，C的坐標分別為

（-1，0），（0，3）.

易得直線AC的解析式為y=3x+3.

又B（3，0），則直線BC的解析式為y=－x+3.

（Ⅱ）當AC是腰，如圖3、圖4.分別以A，C為圓心，AC的長為半徑作圓，與BC交于點G，H.

①當AC=AG，如圖3.設D為（m，-m2+2m+3），G為（m，-m+3），則

AG2＝（m+1）2+（-m+3）2＝2m2-4m+10.

由AC=AG，得AC2＝AG2.

又AC2=10，所以10＝2m2-4m+10.

4 方法總結

從上述解題過程可以看出，分類討論思想得到了完美展現.

首先，根據等腰三角形“兩腰相等”的性質進行分類.由于△ACN中有三邊，所以就分成AE=CE，AC=AG，AC=CH三類.

然后，對每種情況進行討論，且討論時同級互斥，每種情況之間不越級、不影響，即把每種情況當成一個單獨的題目去解決[2].

教師在指導學生利用分類討論思想解決這類問題的過程中，還需注意以下兩個問題：

第一，以動態演示輔助靜態直觀，讓變化全過程盡顯.學生的空間想象能力有限，靜態畫圖雖直觀，能讓學生“知其然”，但圖形變化過程難以呈現，不利于學生“知其所以然”.為此，教師可用“幾何畫板”等軟件和實物操演呈現其動態變化過程，讓學生對等腰三角形的形成產生更深刻的認識.

第二，由淺入深，由易到難.等腰三角形的存在性問題多與函數等結合，其解決難度較大，分析過程也非常復雜.為讓學生理解更加透徹，教師在講解時需從最簡單的模型入手，暫不與函數等問題結合.待學生達到一定水平后，再講解與其他知識相結合的模型.

教師在指導學生利用分類討論思想解決這類問題的過程中，還需把握以下兩個方面：

第一，以動態演示輔助靜態直觀，讓變化全過程盡顯.學生的空間想象能力有限，靜態畫圖雖直觀，能讓學生“知其然”，但圖形變化過程難以呈現，不利于學生“知其所以然”.為此，教師可用“幾何畫板”等軟件和實物操演呈現其動態變化過程，讓學生對等腰三角形的形成過程產生更深刻的認識.

第二，由淺入深，由易到難.等腰三角形的存在性問題多與函數等結合，其解決難度較大，分析過程也非常復雜.為讓學生的理解更加透徹，教師在講解時需從最簡單的模型入手，暫不與函數等問題結合.待學生達到一定水平后，再講解與其他知識相結合的模型.

總之，從一道需利用分類討論思想解決的中考題的解題過程，可反映出學生的邏輯思維能力.因此，教師在日常教學中要對學生進行這方面的思維訓練，以致于讓他們不漏解、不錯解，形成縝密、成熟的思維能力.

參考文獻：

[1]方建文.對分類討論思想的思考——以“等腰三角形中的問題”為例[J].數學教學通訊，2016（11）：14-16.

[2]黃學芳.分類討論思想在幾何中的應用——以《等腰三角形中的分類討論》教學為例[J].湖北教育，2019（2）：71.

[3]姬文鵬.基于“對分課堂”與高階思維培育融合的教學實踐研究——以“分類討論思想在等腰三角形中的運用”為例[J].中學數學，2021（24）：3-4.