解析幾何中一類定值定點問題的探究性教學

筆者近期上了一節高三二輪復習解析幾何專題觀摩課．該課從教材中一道習題出發，通過多角度探究與變式，找到從教材習題通向高考試題的演變之路，總結了解析幾何中一類定值定點問題的思考路徑與解題規律，受到聽課教師好評．本文是這堂課探究學習過程和教學反思的主要內容．

1.立足課本，發散延伸

母題（選擇性必修第一冊P138習題第6題）

直線y=x－2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB．反之，若OA⊥OB，也能證得直線l經過定點．

結論1 A為拋物線頂點，AB，AC是拋物線的兩條弦，其所在直線斜率設為k1，k2．若k1k2=t， t為定值，則直線BC經過定點，反之也成立．

思考：過拋物線y2=4x上定點A（1，2）作兩條弦滿足kAB+kAC=－1，BC是否過定點？反之是否成立？

通過設點的坐標表示即用拋物線“割線方程”證明，通過觀察幾何畫板的動畫（如圖1）可得出結論： 經過定點（5，－6）.

結論2 過圓錐曲線上某一定點A作兩條弦AB，AC，滿足kAB+kAC=t，t為定值，則直線BC過定點．反之也成立．

2.課本出發，通向高考

評注：上述解法主要是用P，Q兩點的坐標表示M，N，然后聯立橢圓方程與PQ的方程，用韋達定理．分離參數是突破化簡瓶頸的關鍵．

kAN=3，則MN中點坐標為（0，3）.

3.引申思考，觸類旁通

思考2 如圖2、3，圓錐曲線內接ΔABC變更為四邊形PQBC，若對角線的交點A是定點，BC經過定點G，則kBC，kPQ是否也有某種定值關系？

例2反映出定點與定值成對出現，定點問題本質上是定值問題．將本題的拋物線“外殼”換成橢圓或雙曲線，結論是否成立？

例3 F是橢圓的左焦點，A、B是橢圓上關于原點O對稱的兩點，AF交橢圓于另一點D，BF交橢圓于另一點E．證明：（1）直線DE與直線AB的斜率之比為定值；（2）直線DE經過定點．

思路作答，簡化作答過程，降低運算量．

4.教學反思，總結提煉

本節課以定值定點問題為主線梳理了解析幾何大題的常見解題方法，同其中也滲透了常用的數學思想方法．特別是突出了解析幾何解題教學中的一些思考.

（1）解析幾何解題復習要關注設什么，怎么算

解析幾何是考查學生數學運算素養的重要載體，二輪復習時學生已經具備一定的解析幾何處理問題的基本技能，如何優化計算是這個時期關鍵且急需解決的問題．拋物線的割線方程、平移齊次化、二次曲線系等都是巧妙消元的基本方法，體現了追求簡單美和方程思想；經常用到的分離常數、構造同構式、齊次化等都是恒等變形的基本技巧，體現了等價轉化的思想．其中的恒等變形是中學數學須著重培養的能力之一，是培養運算素養和實現“多想少算”的基本策略．

（2）教師在解析幾何解題復習中應注意數學探究素養的提升

數學學習過程應始終貫穿著“思”“做”“研”結合的教學理念．解決問題的收獲不僅僅是單純的做題練習，更為重要的是解題后的反思、總結以及比較深入地研究和探討．著名數學家波利亞曾說過：“沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做；在經過充分研究和洞察后，我們可以將任何解題方法加以改進；而且無論如何，我們總可以深化對答案的理解．”這就要求我們一線教師在復習加強培養自身的專業素養——數學與教學的雙重研究能力．

參考文獻

［1］ 曾曉麗.極點極線視域下圓錐曲線試題的應用探索［J］.中學數學研究，2021（12）：42-43.

［2］ 李賢江，黃信.2022年高考全國甲卷圓錐曲線試題探究與變式［J］.中學數學研究，2023（2）：44-46.