一道拋物線背景最值題的解法與推廣

1.試題呈現

題目 已知A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y2=8x上兩個不同的動點，且滿足y1y2=-16，則x1+y1+2+x2+y2+2的最小值為.

2.解法探析

解法1：如圖1，設弦AB的中點為M（x0，y0），則x1+x2=2x0，y1+y2=2y0.過點A，B，M分別作直線x+y+2=0的垂線，垂足分別A′，B′，M′.

評注：試題的題設條件為拋物線及拋物線上A，B兩點縱坐標的積為定值，待求結論為含有絕對值代數式的和的最值.解法1基于以下幾點進行求解的：①將待求結論轉化為A，B兩點到直線x+y+2=0距離和；②MM′是梯形AA′B′B的中位線；③弦AB的中點為M的軌跡為曲線y2=4x-8；④從“形”的視角看最值的條件.

評注：與解法1相對比，解法2是從方程的視角研究直線與曲線相切求解最值的，體現了“形”與“數”無縫隙鏈接地運用.

評注：解法3運用代入、配方等代數式的變形手段及非負數性質等，從代數視角求解最值的，很好地詮釋了以“數”釋“形”的含義.

評注：解法4運用代入、聯立方程、配方等代數式的變形手段及二次函數最值等，數形結合求解最值.

3.試題變式

試題中的條件“y1y2=-16”實質上等價于直線AB過拋物線焦點，于是可將試題變式為：已知為過拋物線y2=8x焦點F的直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩個不同的點，則x1+y1+2+x2+y2+2的最小值為.

簡析：F（2，0），AB：x=my+2與y2=8x，得y2-8my-16=0，所以y1+y2=8m，y1y2=-16.下同解法3.

4.結論推廣

試題由拋物線“搭臺”，含雙絕對值的代數式“唱戲”，是一道 “數形結合”的好試題.將試題推廣為一般情形，可得到下面的結論.