探究推廣一道橢圓定點問題

圓錐曲線試題中，隨著點或線的運動，整個題目體系中有關的點、線、斜率、距離、面積等跟著變化起來，運動中的幾何特征與數值的不變性是教學研究與考試命題的重要素材［1］.基于此，結合［2］的思考方法，本文對2023年9月重慶一中高三月考解析幾何的定點問題進行探究，先對其一般情況下背景進行研究也有定點存在，后對其定點性質特征類比推廣到雙曲線與拋物線中.

1.題目

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）點T在直線l：x=2上運動，以T為圓心，TO為半徑的圓與直線l交于M，N兩點，直線AM交橢圓E于另一點P，直線AN交橢圓E于另一點Q.P、Q都不與頂點A重合.證明：直線PQ恒過定點.

2.背景探究

結論1中的直線l：x=a改為更一般的直線l：x=s后，進行推廣探究，有以下結論.

3.類比推廣

基于橢圓與雙曲線知識體系的一致性，把橢圓置換為雙曲線后有以下結論.

在拋物線中，以O代替橢圓中的A，尋找P、Q有如下結論.

結論5已知拋物線E：y2=2px（pgt;0），O為坐標原點，動點T在直線l：x=t上，以T為圓心，TO為半徑的圓與直線l交于M，N兩點，直線OM交E于點P，直線ON交E于點Q.P、Q都不與O重合，則直線PQ過定點（2p，0）.

結論5中直線l過坐標軸上除原點外任意點，直線PQ都定點（2p，0）.

若換一種方式尋找P、Q也有以下結論.

參考文獻

［1］晏炳剛，劉燕.圓錐曲線中一類斜率乘積為定值、動點軌跡為圓的優美性質［J］.中學數學研究（華南師大），2024（05）：34-36.

［2］ 姜敏華.一道雙曲線定點問題的深度思考［J］.中學數學研究（江西師大），2022（10）：41-44.