初中數學二次函數的教學設計與實踐研究

摘要：二次函數是初中數學課程體系的重要組成部分，梳理二次函數考試熱點題型和知識常考點，以及總結學生二次函數學習和解題出現的問題，成為當下教師的重點工作.本文以實際問題為出發點，構建適合學生學習的二次函數教學體系，以教學活動為主要形式，以學習任務或驅動問題為載體，通過引導學生主動參與學習活動，了解二次函數的概念、圖象、性質、實際應用等內容，以及二次函數常考類型題和常考知識點，促進學生正確運用二次函數知識解決類型題和常考題，提高學生解題效率，提升學生學習質量.

關鍵詞：初中數學；二次函數；綜合題；教學策略

二次函數的圖象和性質是二次函數模塊的核心知識點，也是中考熱門考點，也是模擬題常考題型，所以二次函數的圖象和性質是學生重點學習的對象.本文以二次函數的圖象和性質教學為起點，引入該部分常考題和類型題，根據學生的發展特點和學習能力，構建適合學生學習的數學課堂.通過激發學生的主觀能動性，使學生積極參與課堂學習，加強知識理解，運用知識解決數學類型題和常考題，提高學習效率，提升解決問題能力.［1］同時，通過課題研究找出學生出現問題的核心影響因素，提出相應的應對策略，使學生高效率學習二次函數知識，從容應對相關數學題，以實現解決學生學習難點的重要目標.

1“二次函數y=ax2的圖象與性質” 教學設計

1.1教材分析

本課重點是通過畫圖的方式探究二次函數中x與y的對應關系，發現二次函數y=ax2的性質.學生已經學過一次函數，運用畫圖的方式探究k的不同取值下，一次函數y=kx＋b的x與y的走勢關系.本課的教學思路是引導學生運用類比推理的方式，以一次函數圖象和性質探究和學習的方式，探究二次函數的圖象和性質，以此使學生了解二次函數的開口方向、開口大小、頂點和對稱軸等，從圖象窺探性質.本課強調從特殊到一般，即通過研究y=ax2的圖象和性質，引導學生研究一般二次函數y=ax2＋bx＋c（a ≠0）的圖象和性質，旨在打通學生學習思路，提高學生學習效率.

1.2學情分析

學生已經具備探究一次函數的圖象和性質的經驗，這為二次函數知識的學習提供了寶貴經驗.學生知道運用描點畫圖的方式探究和分析函數性質，初步具備數形結合意識.但是二次函數相較于一次函數，存在對稱軸問題，需要圍繞x的區間范圍，討論x與y的走勢關系，對初學二次函數的學生而言具有一定難度.學生對畫圖學習法具有較高的興趣，教師應采用適當的教學方式，引導學生理解和掌握二次函數的性質.

2復習導入

師：同學們，我們已經初步學會關于二次函數的概念和表達式，現在讓我們回顧一下.

預設：一般地，形如y=ax2＋bx＋c（a ≠0）的函數叫作二次函數.

師：探究二次函數的圖象和性質之前，我們回顧一下已經學習過哪些函數.

預設：正比例函數、反比例函數、一次函數等.

師：我們當時是如何探究這些函數的圖象和性質的呢？

預設：先給出一個函數，之后按照x的取值計算出y值，找出x和y的對應坐標點，并在直角坐標系內標出坐標點，有規則地連接坐標點，得出函數圖象，通過圖象分析x與y的走勢關系，從而得到函數的性質.

師：探究一次函數的圖象和性質時，我們是如何研究的呢？

預設：先研究正比例函數y=kx（k≠0）的圖象和性質，再運用類比推理的方式探究一次函數的圖象和性質.

師：今天我們同樣運用類比推理的方式，以簡單的二次函數y=ax2為例探究其圖象和性質，最后延伸探究一般二次函數y=ax2＋bx＋c（a ≠0）的圖象和性質.

【設計意圖】教師以一次函數探究經歷為起始點，以學生學習經歷和知識儲備為基礎，為學生探究性學習二次函數作鋪墊.教師引導學生采用類比推理的方式，從特殊到一般地探究二次函數的圖象和性質，讓學生明白學習方法的應用對數學知識學習和探究的重要性，從而提升學生學習能力，提高學生學習效率.

3新課教授

師：同學們，還記得一次函數的圖象形狀嗎？

預設：當k＞0時，是一條自左向右呈上升走勢的直線；當k＜0時，是一條自左向右呈下降走勢的直線.

師：同學們，請問二次函數的圖象和一次函數的圖象存在聯系嗎？今天讓我們一起認識簡單的二次函數.

問題1運用一次函數畫圖象的方法，精準畫出二次函數y=x2的圖象.

預設：學生運用光滑的曲線連接坐標點，從而畫出二次函數y=x2的圖象.

（1）列表：給出x取值范圍和二次函數表達式，計算出對應的y值.

（2）描點：列出（x，y）坐標點，在直角坐標系中描畫坐標點.

（3）連線：運用光滑的曲線連接坐標點.

問題2填寫下面的表格（見表1），觀察x與y值對應關系.

問題3完成的表格中x與y存在哪些特點？

預設：以x=0為臨界值，當x的取值互為相反數時，y值相等.

問題4為詳細和直觀地反映出函數y與x的對應關系，x的取值范圍為全體實數.但是我們在實際討論二次函數y=x2的x與y的關系時，x的取值范圍不可能取到全體實數.那我們列表畫圖時，采用哪些辦法才能做到合理解釋出y=x2的x與y的關系呢？

預設：根據討論結果，x取相反值，驗證y值是否相等.

師：x取值要注意什么呢？

預設：以原點為臨界值，x對應取值.

【設計意圖】描點法作圖是探究二次函數y=x2的重要過程，教師憑借驅動問題引導學生圍繞x取值，探究二次函數的圖象作法，幫助學生對二次函數中x與y的對應關系有深入的了解，有益于學生在后續學習中通過圖象分析二次函數的性質.

師：根據表格畫圖.

預設：學生根據表格畫圖（如圖1），教師分別對每名學生的作圖進行校對檢查.

師：運用光滑的曲線連接每個坐標點，觀察圖象的形狀和特點，你能發現什么？

預設：學生畫圖，教師檢查.針對學生出現的特殊問題，教師提示對應的解決方法，保證學生能夠畫出二次函數的圖象，同時將部分學生畫出的圖象運用多媒體播放，與學生共同探究圖象的形狀和特點.

師：我們在實際畫二次函數的圖象時，x的取值范圍不能取到全體實數，所以我們畫出的圖象是近似于二次函數的圖象.為了解真實的二次函數y=x2的圖象形狀和表現出來的特點，我們觀看幾何畫板畫圖的過程.

預設：教師運用數字化教學資源展示幾何畫板繪制二次函數y=x2圖象的過程，讓學生觀察真實圖象的形狀（如圖2）.

問題5通過觀察幾何畫板的二次函數圖象，實際生活中存在類似二次函數的圖形或建筑嗎？

預設：噴泉、橋等形狀邊界線，投籃、扔鉛球中球的運動路線等.

師：數學起源于生活和應用于生活，PPT上的圖形是我們日常生活中常見的物體.通過二次函數的圖象與PPT上的圖形對比，不難發現數學與實際生活息息相關.［2］運用數學的視角觀察生活，我們會發現無限的樂趣.

預設：通過發揮教師的主導性，引導學生進行有意義的思考并得出結論.

師：二次函數y=x2的圖象是一條光滑的曲線，在數學語言中類似于這樣的曲線，稱之為拋物線.拋物線的開口方向與二次項系數a正負取值有關，當a為正數時，開口向上；當a為負數時，開口向下；當a為0時，二次函數無意義，不存在圖象.當拋物線的開口方向不同時，x與y的對應走勢關系也發生變化，數學中稱之為上升或下降.一般地，二次函數y=ax2＋bx＋c的圖象叫作拋物線.

從幾何圖形的角度分析，二次函數的圖象存在對稱性，即存在對稱軸.對稱軸的位置決定二次函數的位置.對稱軸對應的x值所在的坐標點，稱之為頂點，頂點對應的值稱為最大值或最小值.

通過觀察二次函數y=x2圖象我們可以發現，當x＜0時，圖象的走勢為下降；當x＞0時，圖象的走勢為上升.這種圖象性質讓我們明確二次函數的開口方向和對稱軸的位置.

【設計意圖】以驅動問題為動因，引導學生通過列表畫圖的方式探究二次函數圖象的形狀和特點.借助數字化教學資源觀察幾何畫板上的二次函數圖象的繪制過程和形狀，可以加深學生對二次函數圖象的認識.組織學生結合實際生活中存在的實物與二次函數的圖象進行對比，讓學生認識到數學知識與實際生活存在密切的聯系，促進學生形成運用數學知識解決實際問題的意識.［3］通過本環節的學習，學生能夠掌握二次函數圖象的繪制方法，培養思考能力和動手能力，以及梳理和總結能力，并且通過圖象的繪畫和觀察，感知數學美.

問題7在直角坐標系中同時繪畫函數y=12x2，y=2x2的圖象，你能發現這兩個函數的圖象存在哪些關系呢？

預設：學生根據課堂學習經歷描點作圖的過程，并與同學交流繪畫過程和方法.

【設計意圖】組織學生同時繪畫兩個二次函數的圖象，旨在使學生通過實際作圖，感知a的不同取值下的二次函數的圖象變化與存在的特征，并且通過兩個函數圖象的對比，整體感知二次函數圖象存在的一般性質.通過合作學習，可以引導學生闡述自己的觀點和意見，促進學生進一步了解二次函數，并培養學生的合作意識和協作能力，有助于學生綜合發展.

問題8觀察二次函數y=12x2，y=x2，y=2x2的圖象存在的特征.

預設：學生通過觀察三個二次函數的圖象，發現開口大小與a值的大小有關，a越小，開口越大；a越大，開口越小.

問題9當a gt;0時，所有二次函數y=ax2的圖象呈現的特征是否存在一般性呢？觀看圖象，做出結論.

預設：存在一般性.

問題10當alt;0時，二次函數y=ax2的圖象存在哪些特征呢？與同桌合作，同時畫出二次函數y=-12x2，y=-x2，y=-2x2的圖象，進行探究.

預設：學生根據學習經驗進行作表畫圖，借助表3進行總結.

得出結論：通過對比分析三個二次函數的圖象，以及結合上述學習過程，發現alt;0時，圖象開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，函數存在最大值.a＞0時，頂點和對稱軸與a＜0時相同，其他的函數特征相反.

【設計意圖】教師借助數字化教學資源，引導學生通過觀察a不同取值下的二次函數的圖象，發現和探究二次函數存在的性質，促進學生理解和掌握二次函數圖象存在的特征.同時，通過組織學生進行小組合作學習，引導學生在討論中探究二次函數存在的特殊性質，可以加深學生的學習印象，使學生牢記不同二次函數存在特征的一般性，即從a＞0和a＜0兩個角度對二次函數圖象的特征進行探究.

4結語

教師借助數字化教學資源引導學生探究二次函數的圖象和性質，有助于學生精準把握圖象存在的特征，深刻理解和掌握二次函數的圖象和性質.本課教學中組織學生運用類比推理的學習思維進行二次函數的圖象和性質探究，有助于學生強化學習技能和拓寬學生學習方法，使學生在本課學習中正確和有規律地探究二次函數的圖象和性質，培養學生養成良好的學習習慣，對學生學習能力提升起到重要的作用.組織學生同時畫出不同二次函數的圖象并進行特征探究，有助于學生審題能力提升，促進學生正確地分析二次函數的相關數學題，提升學生數學知識應用能力和解決問題能力.

參考文獻

［1］牟榮.初中數學課堂有效“追問”的設計與實施——以“二次函數”復習課教學片段為例［J］.數理天地（初中版），2024（19）：94-95.

［2］張嫌，李思頡，楊花，等.初中數學單元結構化教學設計的研究與思考——以“二次函數與幾何綜合”為例［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2024（16）：24-28.

［3］曹旭平.核心素養下初中數學教學實踐探索——以“二次函數的圖象與性質”教學為例［J］.理科愛好者，2024（3）：64-66.