關于特征值法計算矩陣指數函數的研究

摘"要：首先，本文介紹矩陣指數函數的定義，進一步基于矩陣指數函數的定義分析n階對角型矩陣和m×m若爾當塊矩陣這兩種特殊的矩陣指數函數的表達式。其次，基于已學習的知識探究使用特征值法計算矩陣指數函數的步驟，通過講解和討論，學生理解使用特征值法計算矩陣指數函數的重要步驟，即構造將方陣轉換為對角型或若爾當標準型的非奇異變換矩陣的方法。最后，通過講解兩個不同的計算矩陣指數函數的例子，學生能夠加強對該方法的理解與掌握，提升教學效果。

關鍵詞：矩陣指數函數；特征值；對角型；若爾當標準型；教學效果

矩陣指數函數是連續時間線性時不變系統運動分析的基礎，在連續時間線性時不變系統運動分析和特征分析中具有重要的作用，也是線性系統理論課程學習過程中必須掌握的基礎知識。

1"矩陣指數函數的定義

教師先介紹矩陣指數函數的定義，使學生理解什么是矩陣指數函數，并能夠根據矩陣指數函數的定義分析其特征。

設A是n×n常數矩陣，則矩陣A的指數函數為：

eAt=I+At+12！A2t2+…=∑∞k=01k！Aktk

顯然，矩陣指數函數eAt和矩陣A一樣，也是n階方陣，并且該冪級數對所有時間變量t是絕對收斂的。

2"兩種特殊的矩陣指數函數

根據矩陣指數函數的定義，我們可以得到以下兩種特殊的矩陣指數函數的表達式。

（1）若矩陣A為n階對角型常數矩陣，即A=diag{a1，a2，…，an}，其中diag{}表示對角型矩陣。根據矩陣指數函數的定義，將n階對角型矩陣A帶入矩陣指數函數定義式中，可以得到n階對角型矩陣A的指數函數eAt=diag{ea1t，ea2t，…，eant}。

（2）若矩陣A為m×m若爾當塊常數矩陣，即：

A=a1…00

0a…00

00…a1

00…0a。

根據矩陣指數函數的定義，將m×m若爾當塊矩陣A帶入矩陣指數函數定義式中，可以得到m×m若爾當塊矩陣A的指數函數eAt具有如下表達式：

eAt=eatteatt22！eat…t（m-1）（m-1）！eat

0eatteat…t（m-2）（m-2）！eat

000…teat

000…eat。

通過矩陣指數函數的定義式，我們得到了n階對角型矩陣的指數函數eAt的表達式，也得到了m×m若爾當塊矩陣的指數函數eAt的表達式。因此，在計算矩陣的指數函數時，如果給定的矩陣是n階對角型矩陣或m×m若爾當塊矩陣，我們可以直接寫出對應的矩陣指數函數。此外，對于不具有n階對角型矩陣或m×m若爾當塊矩陣形式的矩陣，我們可以將給定的矩陣轉換為n階對角型矩陣或包含多個若爾當塊矩陣的若爾當標準型矩陣，然后計算出給定矩陣的指數函數的數值。

3"特征值法計算矩陣指數函數

我們學習了矩陣指數函數的定義、n階對角型矩陣的指數函數的表達式以及m×m若爾當塊矩陣的指數函數的表達式。接下來，我們將進一步探究使用特征值法計算矩陣指數函數的步驟。

（1）如果n×n常數矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn是兩兩互異的。此時，存在非奇異變換矩陣p使得A=Pdiag{λ1，λ2，…，λn}P-1。矩陣指數函數eAt可以通過計算等式eAt=Pdiag{eλ1t，eλ2t，…，eλnt}P-1得到。

（2）如果n×n常數矩陣A有m（mlt;n）個不同特征值（含重根），矩陣A可轉化為若爾當標準型矩陣，存在非奇異變換矩陣Q，使得A=QJQ-1。其中，J=diag{J1，J2，…，Jm}為若爾當標準型矩陣，J1，J2，…，Jm為若爾當塊矩陣，矩陣指數函數eAt可以通過計算等式eAt=QeJtQ-1得到。

需要注意的是，只有在n×n常數矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn是兩兩互異的情況下，才能夠找到非奇異變換矩陣P，使得常數矩陣A表示為非奇異變換矩陣P、以n個特征值λ1，λ2，…，λn為對角線元素的對角型矩陣與非奇異變換矩陣P的逆的乘積。根據矩陣指數函數的定義，將表示為非奇異變換矩陣P、以特征值λ1，λ2，…，λn為對角線元素的對角型矩陣與非奇異變換矩陣p的逆的乘積表達式的矩陣A帶入矩陣指數函數定義式中，可以得到矩陣A的指數函數為Pdiag{eλ1t，eλ2t，…，eλnt}P-1，也就是eAt=Pdiag{eλ1t，eλ2t，…，eλnt}P-1。此外，在n×n常數矩陣A的特征值不是兩兩互異的情況下，可以找到非奇異變換矩陣Q，使得常數矩陣A表示為非奇異變換矩陣Q、若爾當標準型矩陣J與非奇異變換矩陣Q的逆的乘積。根據矩陣指數函數的定義，將表示為非奇異變換矩陣Q、若爾當標準型矩陣J與非奇異變換矩陣Q的逆的乘積表達式的矩陣A帶入矩陣指數函數定義式中，可以得到矩陣A的指數函數為QeJtQ-1。若爾當標準型矩陣J由多個若爾當塊矩陣構成，所以可以根據m×m若爾當塊矩陣的指數函數的表達式很容易地得到eJt。

通過探究理解使用特征值法計算矩陣指數函數的步驟，我們知道在求解矩陣指數函數時，其中重要的步驟是構造能夠將方陣轉換為對角型或若爾當標準型的非奇異變換矩陣P或Q。為了簡便，我們學習一種使用特征向量構造非奇異變換矩陣P或Q的方法。

（1）若n×n常數矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn兩兩互異，假設v1，v2，…，vn分別為矩陣A的屬于特征值λ1，λ2，…，λn的特征向量。令由屬于各個特征值的特征向量為列所構成的矩陣為P，即P=［v1"v2"…"vn］，則矩陣A可轉換為如下對角型矩陣：

P-1AP=λ10…0

0λ2…0

00…λn。

（2）若n×n常數矩陣A有l個不同的特征值λi，i=1，2，…l，l≤n，λi的代數重數和幾何重數分別為αi、βi，其中βi≤αi且α1+α2+…+αl=n。令由屬于各個特征值的廣義特征向量為列所構成的矩陣為Q，則矩陣A可轉換為如下若爾當標準型矩陣：

Q-1AQ=J10…0

0J2…0

00…Jn。

其中Ji為相應于特征值λi的若爾當塊，Ji可表示為由βi個若爾當塊所組成的對角分塊矩陣，即：

（Ji）αi×αi=Ji10…0

0Ji2…0

00…Jiβi（i=1，2，…，l），

（Jik）rik×rik=λi1…00

0λi…00

00…λi1

00…0λi（k=1，2，…，βi，ri1+ri2+…+riβi=αi）。

上述給出了使用特征向量構造將n×n常數矩陣A轉換為對角型矩陣的非奇異變換矩陣P的方法，也給出了使用特征向量構造將n×n常數矩陣A轉換為若爾當標準型矩陣的非奇異變換矩陣Q的方法。對于初學者來說，需要注意熟練掌握計算n×n常數矩陣A的特征值的方法，在計算特征值的時候，要注意判斷矩陣A的特征值是否是兩兩互異的。在矩陣A的特征值是兩兩互異的情況下，令屬于各個特征值的特征向量為列能夠構造出使n×n常數矩陣A轉換為對角型矩陣的非奇異變換矩陣P。在矩陣A的特征值不是兩兩互異而是有重特征值的情況下，令屬于各個特征值的廣義特征向量為列能夠構造出使n×n常數矩陣A轉換為若爾當標準型矩陣的非奇異變換矩陣Q。在構造好能夠使n×n常數矩陣A轉換為對角型矩陣或者若爾當標準型矩陣的非奇異變換矩陣之后，通過左乘非奇異變換矩陣，右乘非奇異變換矩陣的逆，可以得到n×n常數矩陣A表示為非奇異變換矩陣、對角型矩陣或者若爾當標準型矩陣、非奇異變換矩陣的逆的乘積的等式。進一步可以根據特征值法計算矩陣指數函數的步驟、n階對角型矩陣的指數函數的表達式，以及m×m若爾當塊矩陣的指數函數的表達式，計算出所要求解的矩陣指數函數的數值。

4"特征值法計算矩陣指數函數的例子

我們已經分析理解了使用特征值法計算矩陣指數函數的步驟，并掌握了兩種特殊的矩陣指數函數的表達式，也學習了方陣轉換為對角型或若爾當標準型的方法。下面我們將通過講解兩個計算矩陣指數函數的例子，加強學生對使用特征值法計算矩陣指數函數的步驟的理解與掌握。

例1"已知矩陣A=01

-23，試求矩陣A的指數函數eAt。

解：第一步，計算矩陣A的特征值。根據矩陣A的特征方程λI-A=λ-1

2λ-3=λ（λ-3）+2=（λ-1）（λ-2）=0，可得矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2。

第二步，計算非奇異變換矩陣P。首先，計算特征值λ1對應的特征向量v1，求解方程（λ1I-A）v1=0，可得v1=1

1。然后，計算特征值λ2對應的特征向量v2，求解方程（λ2I-A）v2=0，可得v2=1

2。由此可以構造使矩陣A轉換為以特征值λ1、λ2為對角線元素的對角型矩陣的非奇異變換矩陣P=11

12，計算可得P-1=2-1

-11，P-1AP=10

02。因此，矩陣A可表示為A=P10

02P-1。

第三步，計算矩陣A的指數函數eAt。

eAt=Peλ1t0

0eλ2tP-1=11

12et0

0e2t2-1

-11=2et-e2t-et+e2t

2et-2e2t-et+2e2t。

例2"已知矩陣A=010

001

2-54，試求矩陣A的指數函數eAt。

解：第一步，計算矩陣A的特征值。根據矩陣A的特征方程λI-A=λ-10

0λ-1

-25λ-4=（λ-1）2（λ-2）=0，可得矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=2。

第二步，計算非奇異變換矩陣Q。首先，計算特征值λ1對應的特征向量v1，求解方程（λ1I-A）v1=0，可得v1=1

1

1。然后，計算屬于λ1=λ2=1的廣義特征向量v2，求解方程（A-λ1I）v2=v1，可得v2=0

1

2。其后，計算特征值λ3對應的特征向量v3，求解方程（λ3I-A）v3=0，可得v3=1

2

4。由此可以構造使矩陣A轉換為若爾當標準型矩陣J的非奇異變換矩陣Q=101

112

124，計算可得Q-1=02-1

-23-1

1-21，Q-1AQ=J=110

010

002。因此，矩陣A可表示為A=QJQ-1。

第三步，計算矩陣A的指數函數eAt。

eAt=QeJtQ-1

=101

112

124ettet0

0et0

00e2t02-1

-23-1

1-21

=-2tet+e2t3tet+2et-2e2t-tet-et+e2t

-2tet-2et+2e2t3tet+5et-4e2t-tet-2et+2e2t

-2tet-4et+4e2t3tet+8et-8e2t-tet-3et+4e2t。

5"結論

連續時間線性時不變系統在現實中普遍存在，其基本結論和分析方法是運動分析的基礎，因此連續時間線性時不變系統的運動分析是線性系統理論課程學習中的一個重點。求解系統矩陣指數函數是連續時間線性時不變系統運動分析的基礎，也是一個難點。當已知系統矩陣A時，求解其指數函數可以選擇特征值法，這種方法步驟簡單，學生容易理解且易于使用。在使用特征值法計算矩陣指數函數時，首先計算矩陣A的特征值；其次根據特征值是兩兩互異還是含有重特征值這兩種情形，進一步計算使矩陣A轉換為對角型或若爾當標準型的非奇異變換矩陣；最后根據已學習的兩種特殊的矩陣指數函數的表達式計算矩陣A的指數函數。在教學過程中，教師要引導學生使用特征值法求解矩陣指數函數，使學生能夠熟練使用該方法。

參考文獻：

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［4］張俊祖，姜根明，馮復科.矩陣指數函數的一種計算［J］.長安大學學報（自然科學版），2006，26（01）：108110.

項目基金：安徽工程大學教研項目（2024szyzk62，2022jyxm88，2022szyzk14）

作者簡介：劉鈺妃（1995—"），女，漢族，河南登封人，博士，講師，研究方向：復雜系統建模。