數學教育最重要的一些理念

【摘 要】 這是數學教育最重要的一些理念：（1）“問題解決”及其超越；（2）“為學生的思維發展而教”；（3）多元的視角與“雙主體”的教學思想；（4）數學教學的關鍵；（5）“突出基本問題，堅持辯證立場”；（6）“立足專業成長”.相關論述就集中于這些方面認識的最新發展.【關鍵詞】 數學教育;重要理念;現代發展

將一些理念稱為“老話”，是因為它們對于數學教育具有特別的重要性，從而我們也就應時時放在心上；強調“新談”，則是因為我們又應不斷深化自己在這些方面的認識，從而就能夠創造出符合時代要求的數學教育.

1 “問題解決”及其超越

這是人們由來已久的一項共識：為了學好數學，一定要認真地做題，也即應當十分重視“（數學）問題解決”.相對于這種一般性的認識，波利亞的相關研究則可被看成代表了認識的重要發展，對此并可從兩個方面做出具體說明：

（1）我們應當如何從事“問題解決”的研究？對此我們并可歸結為“數學啟發法的現代復興”.后者即是指，盡管不存在所謂的“萬能方法”，用之即可有效地解決所有與數學發現有關的問題，我們還不至于只能從心理學角度去從事相關研究，也即停留于純粹的描述性工作，因為，除去所說的兩極對立，我們還可圍繞“啟發法”做出積極的研究.

由于所謂的“怎樣解題表”^[1]即可被看成波利亞所說的“數學啟發法”的核心所在，因此，我們也就應當對此予以特別的重視.

（2）波利亞并明確提出了這樣一個思想，即是我們應將努力提升學生解決問題的能力看成數學教育的主要目標，盡管從歷史的角度看，這一思想又只是在幾十年以后才獲得了人們的普遍重視，并事實上成為了20世紀80年代在世界范圍內廣泛開展的“問題解決”這一數學教育改革運動的主要指導思想.

這也正是人們在論及后一發展時常常采用“對于波利亞的重新發現”這樣一個說法的主要原因.

其次，盡管我們應當充分肯定波利亞對于數學教育現代發展的重要貢獻，但同時也應清楚地看到這樣一點：這一方面的認識在很多方面都已超出波利亞達到了更高的水平.對此即可概述如下：

第一，作為“數學解題活動”的具體研究，人們現已清楚地認識到了這樣一點：除去必要的知識貯備與對于“數學啟發法”的一定了解，解題活動的成敗還涉及到另外一些重要的因素，特別是所謂的“元認知”和“觀念”，這也就為我們更好地理解解題活動提供了一個新的理論框架.（這方面的主要研究成果可見文[2]或[3]）

這也是促成上述發展最重要的一個原因，即是隨著“問題解決”這一改革運動在世界范圍內的開展，波利亞的相關思想在很大規模上得到了實踐，但其結果卻不理想，特別是，盡管學生已掌握了必要的知識和技能，對于相應的解題策略也有了一定了解，但卻仍然不能順利地解決問題，從而就促使人們超出這一范圍進行了更深入的研究，即是努力地去發現已往研究所可能忽視的一些因素或方面，這并最終導致了“對于波利亞的超越”.另外，從宏觀的角度看，這又應說與人工智能研究的興起與20世紀80年代前后在西方學術界中出現的“社會—文化熱”有直接的聯系.具體地說，“元認知”這一概念就正在從前一領域中直接移植過來的，后者則直接促使人們將研究的視角轉向了觀念和信念等看不見的成分.

第二，這也可被看成“問題解決”這一改革運動給予我們的又一重要啟示，即是除去“問題解決”，我們也應清楚地認識“問題提出”的重要性，包括兩者之間的辯證關系.還應提及的是，對于“問題提出”的強調也與以下的認識具有直接的聯系，即是我們應將提出問題的能力看成創新能力十分重要的一個組成成分，這更已逐步成為了人們的一項共識，即是學校教育應當努力提升學生的創造能力.

第三，即使將“提出問題”也考慮在內，即是統一地去論及“問題的提出與解決”，這也不應被看成“數學活動”的唯一形式，因為，這顯然也應被看成后者的又一基本形式，即是“概念的生成、分析與組織”.

就這方面認識的進一步發展而言，我們還應特別提及“問題解決”這一改革運動的指導思想，即是我們不僅應將努力提升學生解決問題的能力看成數學教育的主要目標，而且也應將“問題解決”看成數學教學的主要形式，這也就是指，我們就應按照這樣的思路對待全部數學教學工作，包括對教材編寫做出徹底的改造.

更一般地說，這事實上也直接涉及到了這樣一個問題.即是我們應當如何處理具體數學知識（包括基本技能.下同）的學習與努力提升學生解決問題能力（更一般地說，就是思維能力的發展）這兩者之間的關系^[4]？

就后一方面的具體認識而言，除去“問題的提出與解決”不能被看成數學活動的唯一形式這樣一點以外，我們還應特別提及中國學者的一個重要貢獻：正如20世紀80年代在國內興起的“數學方法論”的研究與教學實踐所已清楚地表明的，我們事實上不應將具體數學知識的學習與數學思維的學習這兩者絕對地對立起來，而應努力做好用思維方法的分析帶動具體知識內容的教學，從而將數學課真正地“教活、教懂、教深”，也即能夠通過這一途徑向學生展現“活生生”的研究過程，而不是死的數學知識，并能幫助他們很好理解相關的內容，而不是囫圇呑棗、死記硬背，還可超越具體的知識內容領會內在的思維方法，也即使得相應的思維過程和思想方法對學生而言真正成為“可以理解的、可以學到手和加以推廣應用的”^[5].

顯然，從上述的角度進行分析，我們也就應當將“解題教學”（包括“提問教學”）看成整體性數學教育工作的重要一環.例如，就只有圍繞整體性教育目標進行分析，我們才能清楚地認識以下思想的重要性：“解題教學”必須超越“就題論題”，上升到“就題論法”和“就題論道”，還包括這樣一個主張的局限性，即是對于解題活動的“程序化”和“機械化”的不恰當提倡.

2 “為學生思維發展而教”

這是數學教育領域中十分有影響的一個觀點，即是認為數學教學主要涉及到了“數學”“教師”與“學生”這樣三個方面，從而我們就應將所謂的“三論”（“數學課程論”“數學教學論”“數學學習論”）看成“數學教育學”的主要成分（這方面較有影響的一部著作可見文[6]）.這一觀點有一定道理；但在筆者看來，無論是這方面的理論研究或是實際工作，又都應當特別重視數學教育目標的分析，因為，這即應被看成三方面工作的共同基礎，特別是，我們即應以此為依據對各個相關主張的正確性做出具體判斷.

進而，后一方面的認識當然也有一個不斷發展、逐步深化的過程.具體地說，這即可被看成新一輪數學課程改革的一個重要貢獻，即是明確提出了所謂的“三維目標”，也即我們應當超出具體知識和技能的學習、并從更高的層面去認識數學教育目標，特別是，所謂的“思維與方法”和“情感、態度與價值觀”，盡管就課改開始階段人們在后一方面的普遍性認識而言，應當說仍然比較膚淺.對此例如由以下的實例就可清楚地看出，盡管其所直接涉及的只是“情感、態度與價值觀”.

[例]“給母親買花”和學生情感、態度與價值觀的培養.

“講到促進學生的情感、態度和價值觀的發展，很多老師認為是很空泛的.有這樣一個例子，講的是去花店買花的問題：我要給媽媽買一束花，該怎么買？從表面上看，這里是教學加減運算的問題，這是一種知識和技能.但這里面還隱含著另一層含義：給媽媽買一束花，送她作生日禮物，通過學生的討論交流，引發了對母親的一種敬愛的感情，這就是課程標準所倡導的情感、態度和價值觀.”

當然，這不是指我們不應利用數學課培養對母親的感情；恰恰相反，我們在教學中應當針對現實情況在各方面給學生必要的教育，包括努力培養各種積極的情感、態度與價值觀，但這顯然不應成為數學課的主要追求，乃至因此而導致對于主要目標的偏離.

（在筆者看來，我們或許也可從同一角度對于近期出現的這樣一個主張做出自己的分析，即是對于“國數課”的積極提倡.）

再者，就當前而言，我們又應明確肯定這樣一個思想的重要性，即是所謂的“素養導向”，這也就是指，我們應將努力提升學生的核心素養看成全部教育工作的主要目標；由于數學教育顯然應被看成整體性教育事業的一個組成成分，因此，這也就為我們正確地界定數學教育目標提供了直接指導，也即是我們應當跳出自身的專業、并從更廣泛的角度從事分析思考.

當然，這也應被看成一種膚淺的認識，即是認為我們即可將“大教育”的相關論述直接搬用到數學教育領域之中，即如直接對照“核心素養”的“3個方面、6大要素、18個基本要點”對數學課的“好壞”（“先進落后”）做出具體判斷，卻未能認識到我們應當針對數學教育的特殊性對此做出更深入的分析，也即應當認真地思考什么是數學教育對于提升學生核心素養可以、而且應當發揮的主要作用.更簡單地說，即是應當很好處理“出”與“入”之間的關系.

參照波利亞的以下論述讀者即可對什么是這方面工作應當采取的基本立場有更好的理解，特別是，我們即應將促進學生的思維發展，尤其是努力提升他們的思維品質看成數學教育的主要目標：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學生——未來用數學和不用數學的人，那么他在教解題時應當教三分之一的數學和三分之二的常識.對學生灌注有益的思維習慣和常識也許不是一件太容易的事，一個數學教師假如他在這方面取得了成績，那么他就真正為他的學生們（無論他們以后是做什么工作的）做了好事.能為那些70%的在以后生活中不用科技數學的學生做好事當然是一件最有意義的事情.”（見文[7]）

特別地，依據上述分析我們顯然也可引出這樣一個結論，即是不應將所謂的“三會”（“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”）看成數學教育的主要目標，因為，這主要體現了數學的視角，卻未能實現必要的超越.

對照比較讀者即可對上面的論述有更好的理解：

（1）如果說“幫助學生逐步地學會數學地思維”（這并可被看成“三會”的核心所在）集中體現了數學的視角，那么，我們在當前就應更加提倡這樣一個主張，即是應當幫助學生“通過數學學會思維”.

（2）如果說語文教育的主要任務是用詩意的語言感染學生，從而培養學生的愛心，并能很好地學會表述和交流，那么，數學教育的主要任務就是用深刻的思想啟迪學生，從而使學生變得更加聰明，更加樂于思考，善于思考.

另外，依據上述分析我們也可很好地理解當前為什么又應積極地提倡“數學深度教學”，因為，這即可被看成為數學教育如何能夠很好落實“素養導向”指明了具體的途徑：我們應當超越具體知識和技能深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略深入到一般性的思維策略與思維品質的提升，我們還應幫助學生由主要是在教師（或書本）指導下進行學習逐步轉變為主動學習，包括善于通過同學間的合作與互動進行學習，從而真正成為學習的主人.（詳可見文[8]）

還應提及的是，文化的視角也為我們更深入地認識數學學習的價值提供了重要啟示：這直接關系到了數學教育工作者如何能夠更好地承擔起自己的社會責任，特別是，我們即應通過自己的教學使學生由理性思維逐步走向理性精神，成為真正的理性人，包括通過這一途徑努力提升中國社會的整體水準.應當強調的是，從這一角度我們也可清楚地認識片面強調數學應用價值的局限性.（詳可見文[9]）

最后，依據上述分析我們還可引出這樣一個結論：這正是我們在當前面臨的一個重要任務，即是應當努力做好“數學教育學的當代重建”，這也就是數學教育實現專業化最重要的一步.

3 多元的視角與“雙主體”的教學思想

什么是數學學習與教學活動的基本性質？為了回答這一問題，應當首先強調這樣一點：相對于刻意地去尋找某種絕對性的解答，即如所謂數學學習或教學活動的本質，我們應當更加重視視野的擴展，也即應當采取多元的視角，從而獲得更加全面和深刻的認識.

這事實上也可被看成國際數學教育領域在20世紀最后20、30年的主要發展趨勢，即是引入了更多的研究視角.當然，作為必要的平衡，我們也應十分重視必要的聚焦，從而更好地實現認識的發展與深化.例如，在筆者看來，我們就應從這一角度去理解國際數學委員會時任秘書長尼斯在論及數學教育研究未來發展時所提出的以下建議：在過去30年中，數學教育研究的發展主要表現為領域的擴張，也即致力于不遺漏掉任何對于數學的教和學可能具有重要影響的因素；但今天我們則應更加注意適當的聚焦，也即對于“復雜性的合理歸約”^[10].

在筆者看來，以下就是關于數學學習活動最重要的一些認識：

（1）按照認知的視角、特別是建構主義的觀點：數學學習主要應當被看成一個意義賦予的活動，也即如何能夠依據主體已有的知識和經驗使得新的學習內容對主體而言真正成為有意義的；進而，從發展的角度看，這主要地又應被看成一個不斷優化的過程，也即主要表明為縱向的發展，而不是橫向的擴展，也即知識與技能的簡單積累.

（2）從文化的視角看，數學學習主要又應被看成一個文化繼承的過程，這并就為所說的“優化”指明了主要方向.在此我們還應清楚地認識到這樣一點：學生數學水平的提升主要依賴后天的系統學習，更離不開教師的直接指導.應當強調的是，從后一角度我們顯然也可清楚地看出關于“以學為主”的各種主張的局限性.

（3）按照社會學的視角，數學學習與一般學習一樣，都意味著“身份的界定與改變”.但這又應被看成一種過于簡單化的觀點，即是認為我們應當積極地提倡“教師與學生在學習過程中的平等地位”，因為，這即可被看成“知識就是權力”這一普遍性真理在這方面的直接應用^[11].

應當再次強調的是，相對于單一地去強調上述的某個觀點或其它觀點，我們應當更加注重不同的視角究竟為這方面認識的發展與深化提供了哪些新的啟示.在筆者看來，這事實上也可被看成“多元表征理論”給予我們的一個重要啟示，盡管后者主要地只是就概念的心理表征進行分析的.這也就是指，人們關于數學概念的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，即如書面定義、實物操作、圖像、符號語言、現實情景等，它們對于概念的理解都有重要的作用，而且，與片面強調其中的某一（些）成分相比，我們又應更加重視這些成分之間的靈活轉換與適當整合.

最后，就總體而言，我們則又應當特別重視學生數學思維的發展性質與層次性質.

其次，這應當被看成這方面工作又一重要的指導原則，即是我們不應將數學學習的研究與數學教學研究絕對地割裂開來，特別是，即應特別重視各種學習理論教學涵義的分析.具體地說，無論是上面所提及的關于數學學習的認知研究或文化分析，顯然都為我們具體認識數學教學的性質提供了直接的啟示：教師的指導即應被看成為學生認識不斷優化的一個重要條件，另外，從文化的視角看，教師所發揮的作用就可以說是“文化傳承者”這樣一個作用.

也正是在這樣的意義上，筆者以為，“雙主體思想”就應被看成最重要的一個教學思想，也即我們應當同時肯定學生在學習過程中的主體地位與教師在教學過程中的主導作用.

當然，相關分析也不應脫離我們關于數學教育目標的認識.具體地說，如果我們認定數學教育的主要目標應是促進學生思維的發展，那么，我們在此顯然也就應當明確地引出這樣一個結論，即是相對于一般所謂的“學”與“教”，我們應當更加突出“思”與“引”這樣兩個關鍵詞，也即應當將此分別看成學生和教師在數學學習和教學的過程中所應從事的主要活動.

上述認識顯然也具有重要的現實意義.例如，依據這一立場我們即可更清楚地認識片面強調“以學為主”的局限性，還包括這樣一點，即是我們并不應將“學習的組織者、引導者與合作者”看成關于數學教師工作并列的三個定位.

再者，依據上述分析我們也可直接引出關于如何判斷一個數學教學活動成功與否的以下標準：無論教學中采取了什么樣的教學方法或模式，我們都應更加關注相應教學是否促進了學生積極進行思考，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理.

最后，從教學的角度看，這顯然也就表明我們應將“引”看成做好數學教學最重要的一個關鍵詞.進而，又由于我們應當積極提倡“數學深度教學”，因此就應當將“深”看成數學教學的第二個關鍵詞.再者，依據“雙主體”的教學思想，筆者以為，我們又應將“放”看成數學教學的第三個關鍵詞，這也就是指，教學中我們應當很好落實學生的主體地位，也即讓他們切實地承擔起學習的責任，包括很好發揮合作學習的作用，而不是始終處于被動的地位.

當然，為了做好上述工作，我們還應從方法論的角度做出進一步的分析研究.這也正是下一節的直接論題.

（未完待續，余下內容見第3期）