知識(shí)梳理建構(gòu)彼此聯(lián)系 思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)命題規(guī)律

【摘 要】 為加強(qiáng)對(duì)高考真題的再理解和再思考，通過(guò)對(duì)試題背景知識(shí)的梳理，知識(shí)間的聯(lián)系挖掘，從而建立起知識(shí)間的思維導(dǎo)圖，從具體實(shí)踐中提煉出“知識(shí)梳理—建構(gòu)聯(lián)系—思維導(dǎo)圖—依圖命題”的四步命題法，成為命題實(shí)踐的一次有益探索和方法創(chuàng)新.

【關(guān)鍵詞】 真題；思維導(dǎo)圖；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；命題

1 真題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域?yàn)镽，記g（x）=f′（x），若f32-2x，g（2+x）是偶函數(shù)，則（" ）.

A．f（0）=0

B．g-12=0

C．f（-1）=f（4）

D．g（-1）=g（2）

這是2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷第12題多選題，本題綜合性強(qiáng)，涵蓋了蘇教版必修一函數(shù)的奇偶性（對(duì)稱性）、必修二函數(shù)的周期性、選擇性必修一的導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)變換滲透其中，多塊知識(shí)之間既彼此獨(dú)立又相互聯(lián)系.這道高考題研究的人不少，有圍繞解法的，有圍繞背景的.數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，沒有一道題可以解決的十全十美，總剩下些工作要做，經(jīng)過(guò)充分的探討和研究，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn).再次揣摩此題，陸續(xù)產(chǎn)生了新的想法，我相信，時(shí)光雖已久遠(yuǎn)，經(jīng)典永不過(guò)時(shí).本文將換一個(gè)角度，在構(gòu)建四者聯(lián)系的基礎(chǔ)上，提煉出思維導(dǎo)圖的方法展示高考真題是如何生成的，為命題者提供命題思路，為教師揭示試題規(guī)律，為學(xué)生破解學(xué)習(xí)難點(diǎn).

2 梳理知識(shí)，建構(gòu)聯(lián)系，獨(dú)立到統(tǒng)一的進(jìn)階

為了直觀扼要地展現(xiàn)高考真題產(chǎn)生的過(guò)程，摸清命題背景和規(guī)律，首先從系統(tǒng)性的知識(shí)梳理開始，分階段地教好奇偶性、對(duì)稱性的概念，雙對(duì)稱性確定周期的必然，原、導(dǎo)函數(shù)之間性質(zhì)的聯(lián)系，函數(shù)變換下性質(zhì)的變化規(guī)律等，教學(xué)時(shí)站在整個(gè)高中階段的視角，從獨(dú)立的階段鋪設(shè)，再到統(tǒng)一的聯(lián)系建構(gòu)，基于概念、探究聯(lián)系、靈活運(yùn)用.

2.1 依托教材敢猜想，比較教學(xué)破對(duì)稱

這類問(wèn)題涉及多塊知識(shí)，由于章節(jié)跨度長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化難度大，尤其是函數(shù)對(duì)稱性的概念是整條知識(shí)鏈較難的一環(huán)，其概念具有高度概括性，對(duì)學(xué)生的思維能力要求高，而且教材中并未作為獨(dú)立的知識(shí)去研究學(xué)習(xí)，而是設(shè)計(jì)在必修一習(xí)題5.4第9題，以探究與拓展出現(xiàn)，要引起足夠的重視.

設(shè)a為給定實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，

（1）若對(duì)于任意x∈A，都有f（a-x）-f（a+x）=0，問(wèn)：此函數(shù)的圖象一定具有怎樣的對(duì)稱性？說(shuō)明理由.

（2）若對(duì)于任意x∈A，都有f（a-x）+f（a+x）=0，問(wèn)：此函數(shù)的圖象一定具有怎樣的對(duì)稱性？說(shuō)明理由^[1].

猜想1：對(duì)于（1），當(dāng)a=0時(shí)，若對(duì)于任意x∈A，都有f（-x）-f（x）=0，該函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.由此，猜想本題函數(shù)是軸對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱軸為x=a，拓展形式為f（2a-x）-f（x）=0.

猜想2：對(duì)于（2），當(dāng)a=0時(shí)，若對(duì)于任意x∈A，都有f（-x）+f（x）=0，該函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由此，猜想本題函數(shù)是中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心為（a，0），拓展形式為f（2a-x）+f（x）=0.

教學(xué)建議：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中一切尋求未知、解決問(wèn)題的活動(dòng)都可以納入探究活動(dòng)范疇，各新版本教材以“思考”“問(wèn)題與探究”等欄目形式，為探究活動(dòng)提供了情境，教學(xué)時(shí)通過(guò)豐富的情境內(nèi)容、科學(xué)的探究方法，發(fā)揮直覺作用^[2].教學(xué)時(shí)要依托教材設(shè)計(jì)，教科書發(fā)展到現(xiàn)階段，已經(jīng)從教師講授為主的材料到關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的材料，教學(xué)時(shí)要讓“教”材走向“學(xué)”材^[3]，基于學(xué)生知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，與函數(shù)奇偶性概念進(jìn)行類比和比較教學(xué)，大膽運(yùn)用猜想，教好函數(shù)對(duì)稱性的概念，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是語(yǔ)言的學(xué)習(xí)^[4]，讓學(xué)生形成良好符號(hào)語(yǔ)言和運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言邏輯推理的能力，缺乏該段知識(shí)的有效教學(xué)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)不牢，知識(shí)體系不完整，教學(xué)時(shí)要做好階段性的知識(shí)鋪墊，為后期解決問(wèn)題夯實(shí)基礎(chǔ).

2.2 聯(lián)立方程再消元，對(duì)稱性質(zhì)通周期

教學(xué)時(shí)，關(guān)注性質(zhì)之間的聯(lián)系，緊扣函數(shù)對(duì)稱性、周期性概念符號(hào)語(yǔ)言間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，如f（2a-x）-f（x）=0，f（2b-x）+f（x）=0，f（x+T）=f（x），形式雖然抽象，但都含有f（x），顯示了概念之間必有聯(lián)系，用聯(lián)立方程組整合聯(lián)系推得新的結(jié)論.教學(xué)時(shí)，充分用好整體思想、方程思想等，都有助于厘清彼此聯(lián)系，建立暢通的轉(zhuǎn)化路徑，設(shè)計(jì)如下引導(dǎo)性問(wèn)題展開探究.

（1）若函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a和直線x=b對(duì)稱時(shí)，該函數(shù)是周期函數(shù)嗎？

（2）若函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（b，0）對(duì)稱時(shí)，該函數(shù)是周期函數(shù)嗎？

（3）若函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a和點(diǎn)（b，0）對(duì)稱時(shí)，該函數(shù)是周期函數(shù)嗎？

教學(xué)建議：面對(duì)三個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將對(duì)稱性符號(hào)化，通過(guò)方程組思想，消元后得到一個(gè)新關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)推理的能力.對(duì)于（1）由概念知，對(duì)任意x∈A，都有f（2a-x）-f（x）=0，f（2b-x）-f（x）=0，兩式相減，得f（2a-x）=f（2b-x），代換得f（2a+x）=f2b+x，再次代換得，fx+2a-2b=f（x），故函數(shù)f（x）的一個(gè)正周期T=2a-b；同理，（2）中函數(shù)f（x）的一個(gè)正周期T=2a-b；（3）中函數(shù)f（x）的一個(gè)正周期T=4a-b.綜上所述，當(dāng)函數(shù)f（x）具有雙對(duì)稱性時(shí)，該函數(shù)為周期函數(shù).運(yùn)用方程組結(jié)合消元思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理的素養(yǎng)，能在對(duì)稱性概念、周期性概念的符號(hào)語(yǔ)言之間靈活轉(zhuǎn)化，得到周期函數(shù)的判斷方法，建起了雙對(duì)稱性與周期性的橋梁，為性質(zhì)的綜合應(yīng)用打下基礎(chǔ).

2.3 函數(shù)變換巧借鑒，性質(zhì)變化有章法

函數(shù)變換是函數(shù)重要的變化方式，引發(fā)的變化不僅僅是三要素，還有函數(shù)的對(duì)稱性（含奇偶性）、周期性的變化，借鑒三角函數(shù)圖象變換的認(rèn)知儲(chǔ)備，遷移到一般函數(shù)（如圖1）.

2.4 函數(shù)導(dǎo)數(shù)可轉(zhuǎn)化，性質(zhì)之間相關(guān)聯(lián)

復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式是研究函數(shù)和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)關(guān)系的知識(shí)基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原函數(shù)對(duì)稱性、周期性概念在求導(dǎo)后僅發(fā)生細(xì)微的符號(hào)變化，形式仍滿足基本性質(zhì)的概念，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)在性質(zhì)上依然保持著聯(lián)系，該部分教學(xué)有利于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)關(guān)系的理解，可以在講完復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式之后進(jìn)行拓展延伸，得到相關(guān)結(jié)論.

結(jié)論1：若函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱，即f（2a-x）-f（x）=0，則-f′（2a-x）-f′（x）=0，有f′（2a-x）+f′（x）=0，該導(dǎo)函數(shù)f′（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱.反之，導(dǎo)函數(shù)f′（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱，有f′（2a-x）-f′（x）=0，則-f（2a-x）+t1-f（x）+t2=0，函數(shù)f（x）不一定關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱.

結(jié)論2：若函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，即f（2a-x）+f（x）=0，則-f′（2a-x）+f′（x）=0，該導(dǎo)函數(shù)f′（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱.反之，導(dǎo)函數(shù)f′（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，有f′（2a-x）+f′（x）=0，則-f（2a-x）+t1+f（x）+t2=0，函數(shù)f（x）不一定關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

結(jié)論3：若函數(shù)f（x）的一個(gè)正周期為T，即f（x+T）=f（x），則f′（x+T）=f′（x），該導(dǎo)函數(shù)f′（x）的一個(gè)正周期仍為T.反之，若導(dǎo)函數(shù)f′（x）的一個(gè)正周期為T，即f′（x+T）=f′（x），則f（x+T）+t1=f（x）+t2，該函數(shù)f（x）的一個(gè)正周期不一定為T.

綜上，原函數(shù)的性質(zhì)確定時(shí)，導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)表現(xiàn)為對(duì)稱性交換、周期性不變的規(guī)律.

3 思維導(dǎo)圖，雙線轉(zhuǎn)化，知識(shí)到真題的生成

在上述一系列知識(shí)梳理和融合聯(lián)系的過(guò)程中，結(jié)合開篇那道高考題，筆者發(fā)現(xiàn)周期是核心條件，但題干中只字未提，而是將周期分解成雙對(duì)稱性，再通過(guò)函數(shù)變換又轉(zhuǎn)化為奇偶性，每一次分解和轉(zhuǎn)化，都衍生出相應(yīng)的充分條件，用終端節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)題干，過(guò)程節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)選項(xiàng)，參悟出思維導(dǎo)圖的命題方式（圖2）.基于周期性為起點(diǎn)，以對(duì)稱性為媒介，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的變化規(guī)律為延伸，滲透函數(shù)變換，系統(tǒng)研究問(wèn)題的來(lái)龍去脈，打通轉(zhuǎn)化通道，發(fā)現(xiàn)命題規(guī)律，生成思維導(dǎo)圖，構(gòu)建思維導(dǎo)圖要注意轉(zhuǎn)化前后條件關(guān)系的充分性還是必要性（準(zhǔn)確使用單向或雙向箭頭，以免在命題時(shí)出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤）.

思維導(dǎo)圖中，一方面，反映出如何將周期逐步分解為兩個(gè)對(duì)稱性，再將兩個(gè)對(duì)稱性分別通過(guò)函數(shù)變換和導(dǎo)數(shù)的形式進(jìn)一步隱藏及性質(zhì)泛化，以導(dǎo)圖終端③和⑧作為高考題的題干.另一方面，借助圖中的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)選項(xiàng)，且抽象函數(shù)的選項(xiàng)主要圍繞定點(diǎn)、對(duì)稱性、周期性等，對(duì)于函數(shù)g（x）而言，由④知對(duì)稱中心或定點(diǎn)32，0，由②知g（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱，由①知g（x）周期為2，得函數(shù)g（x）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)32，0，故設(shè)計(jì)選項(xiàng)g32=0，再結(jié)合①的周期T=2，得g-12=0就是高考題的B選項(xiàng)；結(jié)合周期性g（-1）=g（1）≠g（2）就是高考題的D選項(xiàng)；對(duì)于函數(shù)f（x）而言，由⑤知關(guān)于直線x=32對(duì)稱，故設(shè)計(jì)f（-1）=f（4）為高考題C選項(xiàng)；由⑤知f（x）只是軸對(duì)稱圖象，定點(diǎn)性質(zhì)不一定存在，故高考題A選項(xiàng)f（0）=0為干擾選項(xiàng).故答案選BC.

4 命題實(shí)踐

本文的探究源于2022年新高考Ⅰ卷一道抽象函數(shù)背景的多選壓軸題，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，結(jié)合研究成果，先構(gòu)建思維導(dǎo)圖（圖3），輕松地設(shè)計(jì)了試題.

原創(chuàng)：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）是偶函數(shù)，f2x+2是偶函數(shù)，且f32=1，則（" ）.

A．f-32=1

B．函數(shù)f（x）的一個(gè)周期為2

C．f-x+2是奇函數(shù)

D．若f（1）=2，則f32＞f（2）

命題思路解讀：

第一步，構(gòu)建思維導(dǎo)圖.設(shè)定周期T=2，為區(qū)別高考題將周期分解為雙軸對(duì)稱性，此時(shí)函數(shù)缺乏中心對(duì)稱，即函數(shù)將缺少定點(diǎn)，故設(shè)定f32=1，由于高一學(xué)生還未學(xué)導(dǎo)數(shù)，故只借助變換將對(duì)稱性轉(zhuǎn)換成奇偶性.

第二步，設(shè)定題干選項(xiàng).以③和⑦與定點(diǎn)為題干，即“已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）是偶函數(shù)，f2x+2是偶函數(shù)，且f32=1”.由②對(duì)稱性結(jié)合f32=1，可得f12=1，再結(jié)合①周期性得f-32=1，即設(shè)計(jì)為選項(xiàng)A；根據(jù)①周期設(shè)計(jì)選項(xiàng)B；根據(jù)⑥設(shè)計(jì)選項(xiàng)C；D選項(xiàng)中，想在高考題的基礎(chǔ)上增加單調(diào)性的判斷，增加條件f（1）=2，誤導(dǎo)學(xué)生認(rèn)為f（1）＞f32，那么函數(shù)在兩對(duì)稱軸之間x∈1，2是單調(diào)遞減的，尤其是用特例三角函數(shù)去模擬的時(shí)候，更會(huì)誤以為此時(shí)f32＞f（2），實(shí)際上，兩對(duì)稱軸之間的圖象只確定過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，未確定單調(diào)性.故答案：ABC.

5 總結(jié)感悟

以課標(biāo)為引領(lǐng)，教材為依托，高考真題為載體，教師通過(guò)對(duì)試題的研究，建立知識(shí)體系，用思維導(dǎo)圖直觀呈現(xiàn)知識(shí)聯(lián)系，明晰命題的路徑^[5].從具體實(shí)踐中提煉出“知識(shí)梳理—建構(gòu)聯(lián)系—思維導(dǎo)圖—依圖命題”的四步命題實(shí)踐的一次有益探索和方法創(chuàng)新.

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作者簡(jiǎn)介

張峰（1983—），男，江蘇省鹽城市人，中學(xué)高級(jí)教師；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué).

王筍（1985—），男，江蘇省鹽城市人，高級(jí)教師；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)；有多篇論文發(fā)表.