例談如何判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角

【摘 要】

通過建立空間直角坐標系來求二面角的平面角的大小，難點是如何判斷其是銳角還是鈍角，文章通過題目的解法介紹了三種方法簡便快捷地解決這一難點，并且這三種方法都是通性通法.【關鍵詞】 二面角；平面角；求法；建系；判斷；銳角；鈍角

通過建立空間直角坐標系來求二面角的平面角的大小，難點是如何判斷其是銳角還是鈍角，本文將通過題目介紹三種方法簡便快捷地解決這一難點.

廣泛使用的著作[1]第211-212頁的例8（即下面的題1）及其解答是：

圖1題1 如圖1，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=1，PA=AD=CD=2.E為棱PC上一點，平面ABE與棱PD交于點F.從①②兩個條件中選擇一個作為已知，完成下列兩個問題：

（1）求證：F為棱PD的中點；

（2）求二面角B-FC-P的余弦值.

條件①：BE∥AF；

條件②：BE⊥PC.

解 選條件①：BE∥AF.

（1）因為AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB∥平面PCD.因為平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF.

又因為BE∥AF，所以四邊形ABEF為平行四邊形，得AB瘙綊EF.

又因為AB瘙綊12CD，所以EF瘙綊12CD，可得EF是△PCD的一條中位線，得F為棱PD的中點.圖2

（2）由題設可得三條直線AB，AD，AP兩兩互相垂直，因而可建立如圖2所示空間直角坐標系A-xyz，得五點B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），所以BC=（1，2，0），BF=（-1，1，1）.

設平面BFC的一個法向量m=（x，y，z），則

m·BC=x+2y=0，

m·BF=-x+y+z=0，

選y=-1，得x=2，z=3，所以m=（2，-1，3）.

可得AB⊥平面PAD，CD∥AB，所以CD⊥平面PAD，因而AF⊥CD.在等腰△APD中，由“三線合一”可得AF⊥PD，進而可得AF⊥平面PCD，即AF⊥平面FCP，所以AF=（0，1，1）是平面FCP的一個法向量.

cos〈m，AF〉=m·AFm·AF=214·2=77.①

由題知二面角B-FC-P的平面角為銳角，所以二面角B-FC-P的余弦值是77.

選條件②：BE⊥PC.

由題設可得PA⊥AB，在Rt△PAB中，可求得PB=5.在梯形ABCD中，也可求得BC=5，所以PB=BC.再由BE⊥PC，可得E為棱PC的中點.

因為AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB∥平面PCD.

因為平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF.再由AB∥CD，可得EF∥CD，所以F為棱PD的中點.

（2）由（1）的解答可得EF是△PCD的一條中位線，所以EF瘙綊12CD瘙綊AB，四邊形ABEF為平行四邊形，得BE∥AF，即條件①成立.接下來，同選條件①的解答.

質疑 （題1是一道很好的結構不良問題）在以上解答中，“由題（圖）知二面角B-FC-P的平面角為銳角”是流行的解答過程，但筆者認為這是不嚴密的，應當闡述其成立的理由.實際上，若沒有嚴密的推理，很容易誤認為圖2中的二面角B-FC-P的平面角是鈍角.

方法1 由兩個半平面的法向量的方向及“同補異等”來判斷.

圖3如圖3所示，過二面角α-l-β（其大小在（0，π）上）內的點C分別作CA⊥α于A，CB⊥α于B.

設兩條相交直線CA，CB確定平面γ，可得CA⊥l，CB⊥l，所以l⊥γ.設垂足是O，連接OA，OB，由l⊥γ可得l⊥OA，l⊥OB，所以∠AOB是α-l-β的一個平面角.

在平面四邊形AOBC中，可得∠AOB與∠ACB互補.

在圖4—7中，m，n分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β的法向量.

在圖4中，兩個法向量m，n的方向均指向二面角外；在圖5中，兩個法向量m，n的方向均指向二面角內.對于這兩種情形，均有兩個法向量m，n的夾角〈m，n〉

與二面角α-l-β的大小互補.

在圖6與圖7中，兩個法向量m，n的方向一個指向二面角外而另一個指向二面角內.對于這兩種情形，均有〈m，n〉與二面角α-l-β的大小相等.

因而由兩個半平面的法向量的方向可判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角（須先由向量的數量積判斷這兩個法向量的夾角是銳角還是鈍角），可把這種判斷方法簡單記憶為“同補異等”.

圖8在題1的解答中，已求得二面角B-FC-P的兩個半平面BFC，FCP的法向量分別是m=（2，-1，3）與AF.如圖8所示，可得法向量m=AT=（2，-1，3）的方向指向該二面角內，而法向量AF的方向指向該二面角外，由“同補異等”可得〈m，AF〉與二面角α-l-β的大小相等.

再由①可得二面角B-FC-P的余弦值是77（進而可得二面角B-FC-P的平面角是銳角）.

注 在立體圖形中，有時判斷二面角的一個半平面的法向量是指向二面角外還是指向二面角內并不容易，但有下面的“正內負外”準確判斷方法：

在二面角α-l-β（其大小在（0，π）上）中，m是半平面α的一個法向量.引入輔助向量OB，其中點O∈l，B∈半平面β，Bl.如圖9所示，若m·OB＞0，則m指向該二面角內；如圖10所示，若m·OB＜0，則m指向該二面角外.

理由如下：

對于圖9的情形，由m·OB=m·OBcos〈m，OB〉＞0，可得0≤〈m，OB〉＜π2.而半平面α的法向量只有相反的兩個方向，進而可得m指向該二面角內.同理可證得圖10的情形也成立.

對于題1，由二面角B-FC-P的兩個半平面BFC，FCP的法向量分別是m=（2，-1，3），AF及m·FP=（2，-1，3）·（0，-1，1）=4＞

0，AF·FB=（0，1，1）·（1，-1，-1）=-2＜0，由“正內負外”，可得m，AF分別指向二面角B-FC-P內、外.再由“同補異等”可得〈m，AF〉與二面角B-FC-P的大小相等.

圖11方法2 用二面角平面角的定義計算該二面角的大小.

把圖2中的二面角B-FC-P單獨拿出來（如圖11所示），作PH⊥FC于H，設點H（x，y，z）及FH=λFC可得，（x，y-1，z-1）=λ（2，1，-1）=（2λ，λ，-λ），所以

（x，y，z）=（2λ，λ+1，1-λ），

再得點H（2λ，λ+1，1-λ），向量HP=（-2λ，-λ-1，λ+1），FC=（2，1，-1）.

由PH⊥FC，可得HP·FC=（-2λ，-λ-1，λ+1）·（2，1，-1）=-6λ-2=0，λ=-13，所以HP=23，-23，23，32HP=（1，-1，1）.

如圖11所示，再作BH′⊥FC于H′，設點H′（x′，y′，z′）及FH′=λ′FC可得，（x′，y′-1，z′-1）=λ′（2，1，-1）=（2λ′，λ′，-λ′），

（x′，y′，z′）=（2λ′，λ′+1，1-λ′），

再得點H′（2λ′，λ′+1，1-λ′），向量H′B=（1-2λ′，-λ′-1，λ′-1）.

由BH′⊥FC，可得H′B·FC=（1-2λ′，-λ′-1，λ′-1）·（2，1，-1）=2-6λ′=0，λ′=13，所以H′B=13，-43，-23，3H′B=（1，-4，-2）.

由二面角平面角的定義，可得二面角B-FC-P的余弦值是

cos〈HP，H′B〉=cos〈32HP，3H′B〉=33·21=77.

進而可得二面角B-FC-P的平面角是銳角.

方法3 用一個半平面上的某點（該點不在棱上）在另一個半平面所在平面上的射影的位置來判斷.

如圖12所示，在二面角α-l-β中，若半平面二面角α上存在點A（Al）在半平面β所在平面上的射影H在半平面β上且Hl，則二面角α-l-β的平面角是銳角.

如圖13所示，在二面角α-l-β中，若半平面α上存在點A（Al）在半平面β所在平面上的射影H在半平面β的反向延展面上，則二面角α-l-β的平面角是鈍角.

在題1的解答中，已證得BE∥AF，AF⊥平面PFC，所以BE⊥平面PFC，進而可得二面角B-FC-P的半平面BFC上的點B在平面FCP上的射影E在半平面FCP上且不在棱FC上，所以二面角B-FC-P的平面角是銳角.

再由①可得二面角B-FC-P的余弦值是77.

題2 （著作[1]第207-208頁例5）如圖14，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=2，求二面角A-PB-C的的余弦值.

圖14

解 如圖15所示，可把圖14中的三棱錐P-ABC放入正方體中，并建立空間直角坐標系A-xyz，可得三點P（0，0，1），B（2，1，0），C（0，1，0），進而可求得兩個平面APB，PBC的一個法向量分別是m=（-1，2，0），n=（0，1，1），再求得cos〈m，n〉=33.

接下來，由前面介紹的方法1或方法3可完成后續解答.

圖15由圖15可得，二面角A-PB-C的兩個半平面APB，PBC的法向量m，n分別指向該二面角內、外，所以由“同補異等”可得〈m，n〉與該二面角的大小相等，因而所求二面角A-PB-C的的余弦值是33.

圖16如圖16所示，過點C作CH⊥AB于H，由AC⊥BC可得點H在線段AB上且不是其端點，可得半平面PBC上的點C在平面APB上的射影在半平面PBA內且不在棱PB上，所以二面角A-PB-C的平面角是銳角，進而可得所求二面角A-PB-C的的余弦值是33.

注 可得題2中的三棱錐P-ABC的各個面均是直角三角形，這樣的三棱錐（四面體）叫做鱉臑^［2］.

圖17題3 （2017年高考全國卷Ⅰ理科第18題）如圖17，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

解 （1）略.

圖18（2）如圖18所示，設兩條棱AD，BC的中點分別是O，E，連接OP，OE.

由AB瘙綊CD，可得四邊形ABCD為平行四邊形，所以OE瘙綊AB.

由（1）的結論可得AB⊥平面PAD，所以OE⊥平面PAD.

又因為PO，AD平面PAD，所以OE⊥PO，OE⊥AD.

再由PA=PD，可得PO⊥AD，所以三條直線OP，OE，AD兩兩互相垂直，因而可建立如圖18所示的空間直角坐標系O-xyz.

可不妨設PA=2，得四點D（-1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1），C（-1，2，0），進而可求得兩個平面APB，PBC的一個法向量分別是DP=（1，0，1），n=（0，1，2），還可求得cos〈DP，n〉=33.

接下來，由前面介紹的方法1可完成后續解答：

由圖18可得二面角A-PB-C的兩個半平面APB，PBC的法向量DP，n均指向該二面角外，所以由“同補異等”可得〈DP，n〉與該二面角的大小互補，因而所求二面角A-PB-C的的余弦值是-33.

（2）的另解 可不妨設PA=1，進而可把題3中的四棱錐P-ABCD放置在如圖19所示的單位正方體中，可建立空間直角坐標系D-xyz，得四點A（1，0，1），P（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，0），再求得兩個半平面APB，PBC的一個法向量分別是m=（1，0，0），n=（1，1，-1），還可求得cos〈m，n〉=33.

接下來，由前面介紹的方法1或方法3可完成后續解答.

由圖19可得二面角A-PB-C的兩個半平面APB，PBC的法向量m，n均指向該二面角外，所以由“同補異等”可得〈m，n〉與該二面角的大小互補，因而所求二面角A-PB-C的的余弦值是-33.

如圖19所示，可得半平面PBC上的點C在平面APB上的射影H在半平面PBA的反向延展面上，所以二面角A-PB-C的平面角是鈍角，進而可得所求二面角A-PB-C的的余弦值是-33.

題4 （2015年高考北京卷理科第17題）如圖20，在四棱錐A-EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面△AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O為棱EF的中點．

（1）求證：AO⊥BE；

（2）求二面角F-AE-B的余弦值；

（3）若BE⊥平面AOC，求a的值．

解 （1）（3）略.

（2）如圖21所示，取棱BC的中點G，連接OG.

由題設知，四邊形EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.

由（1）的結論可得AO⊥平面EFCB.又因為OG平面EFCB，所以OA⊥OG，因而可如圖21所示建立空間直角坐標系O-xyz，得三點E（a，0，0），A（0，0，3a），B（2，3（2-a），0），進而可求得平面AEB的一個法向量n=（3，-1，1）.

易知平面AEF的一個法向量m=（0，1，0），可求得cos〈m，n〉=-55.

接下來，由前面介紹的方法1或方法3可完成后續解答.

由圖21可得二面角F-AE-B的兩個半平面AEF，AEB的法向量m，n分別指向該二面角內、外，所以由“同補異等”可得〈m，n〉與該二面角的大小相等，因而所求二面角的余弦值是-55.

如圖21所示，可得半平面AEB上的點B在平面AEF上的射影在線段FE的延長線上，因而在半平面AEF的反向延展面上，所以二面角F-AE-B的平面角是鈍角，進而可得該二面角的余弦值是-55.

結束語 本文用三種方法解決了文章開頭提出的難點問題，且它們都是通性通法.其中方法1要仔細看圖并認真判斷半平面的法向量的方向是指向二面角內還是外（通過觀察不易判斷時，由“正內負外”可準確判斷）；方法2不存在觀察及判斷，但運算量略大；方法3只是在理論上可行，但很多時候點在半平面上的射影位置難以確定，導致不易判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角.但由這三種方法可以快速確定二面角的平面角是銳角還是鈍角這一難點，從而準確求出二面角的大小.另外，當空間圖形中含有平行、垂直等特殊位置關系時，把該圖形放置在長方體（包括正方體）中，是解決立體幾何問題的一種好方法^［3-4］.

參考文獻

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[3]甘志國.把幾何體放置在長方體中來求解三視圖問題是一種好方法[J].數學教學，2015（12）：23-26.

[4]甘志國.補形法，正四面體的最佳解法[J].數學金刊：高考，2011（3）：39.