對2024年高考數學上海卷第21題的解析與思考

【摘 要】 新定義壓軸題是上海卷、新高考卷中的熱點問題，承擔保證試題區分度的使命，對2024年上海高考一道新定義“最近點”壓軸題的解答與推廣，利用函數的凸凹性對試題進行背景溯源，總結此類問題的解題策略，引導學生重視轉化與化歸、數形結合的思想，進而提升學生的直觀想象、數學抽象等核心素養.

【關鍵詞】 新定義;導數;教學啟示

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》第6頁中指出：“通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力;增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;建立數形結合，在具體的情景中感悟事物的本質.”^[1]今年這道題考查考生理解新概念，以及在此基礎上綜合運用函數的最值、導數、單調性等知識和相應策略解決問題的能力.第一問考查學生對新定義的演繹能力和對某個具體函數求最值的過程，第二問考查導數的幾何意義，第三問難點在于無法得到導函數的零點，思維難度中等，計算量較大，屬于壓軸題.此題是培養學生直觀想象核心素養很好的素材，以函數凸凹性為背景，主要考查學生數學運算、邏輯推理的能力，對中學的教學有積極的導向作用.

1 試題呈現

題目 （2024年上海高考數學第21題）對于一個函數f（x）和一個點M（a，b），定義s（x）=（x-a）2+

（f（x）-b）2，若存在P（x0，f（x0）），使s（x0）是s（x）的最小值，則稱點P是函數f（x）到點M的“最近點”．

（1）對于f（x）=1x（xgt;0），求證：對于點M（0，0），存在點P，使得點P是f（x）到點M的“最近點”;

（2）對于f（x）=ex，M（1，0），請判斷是否存在一個點P，它是f（x）到點M的“最近點”，且直線MP與f（x）在點P處的切線垂直;

（3）已知f（x）存在導函數f′（x），函數g（x）恒大于零，對于點M1（t-1，f（t）-g（t）），點M2（t+1，f（t）+g（t）），若對任意t∈R，存在點P同時是f（x）到點M1與點M2的“最近點”，試判斷f（x）的單調性．

2 解法探究

2.1 第（1）問的解答

證法1（基本不等式） 當M（0，0）時，因為x＞0，所以s（x）=（x-0）2+（1x-0）2=x2+1x2≥2x2·1x2=2，當且僅當x2=1x2，即x=1時取等號，因此對于點M（0，0），存在點P（1，1），使得該點是f（x）到點M的“最近點”．

評注 由題意可知s（x）的幾何意義為曲線y=f（x）上的點（x，f（x））到點M（a，b）的距離的平方，P是函數f（x）到點M的“最近點”等價于P是曲線y=f（x）上到點M最近的點，考查基本不等式，面向全體考生，體現試題的基礎性，如圖1所示，當直線MP垂直過點P的切線時，顯然P為曲線y=f（x）上到點M最近的點，為第二問作鋪墊.

證法2（凸凹性） 由題意知P是函數f（x）到點M的“最近點”等價于P是曲線y=f（x）上到點M最近的點，因為f′（x）=-1x2，f″（x）=2x3gt;0，所以f（x）為凸函數.設A（x1，y1）為f（x）圖象上任意一點，則f（x）在A處切線斜率k=f′（x1）=-1x21，由函數凸凹性知，當直線OA垂直過A點切線時，OA取得最小值，即kOA·f′（x1）=y1x1（-1x21）=1x21（-1x21）=-1，解得x1=1，A（1，1），因此對于點M（0，0），存在點P（1，1），使得該點是M（0，0）在f（x）的“最近點”．

評注 f（x）為區間I上的二階可導函數，則在I上f（x）為凸（凹）函數的充要條件是f″（x）≥0

（f″（x）≤0），x∈I.凸函數的幾何特征：曲線y=f（x）總是在它的任一切線的上方（切點除外），如圖2所示.凹函數的幾何特征：曲線y=f（x）總是在它的任一切線的下方（切點除外）^[2].利用函數凸凹性可以直觀地發現當直線MP垂直過點P的切線時，P為曲線y=f（x）上到M最近的點，利用函數凸凹性探究問題，易于發現問題的本質，有助于提升學生的直觀想象核心素養，這也是命制此題的背景，為第二問、第三問做鋪墊.

2.2 第二問的解答

解法1（最值法） 由題設得s（x）=（x-1）2+（ex-0）2=（x-1）2+e^2x，則s′（x）=2（x-1）+2e^2x，顯然s′（x）在R上為嚴格增函數，因為s′（0）=0，所以當xlt;0時，s′（x）lt;0;當xgt;0時，s′（x）gt;0.因此s（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增，s（x）min=s（0）=2，此時P（0，1），又因為f′（x）=ex，k=f′（0）=1，所以f（x）在點P處的切線方程為y=x+1.又kMP=0-11-0=-1，kMP·k=-1，因此直線MP與y=f（x）在點P處的切線垂直．

評注 與第一問類似，要求學生探究最近點的幾何特征，考查學生對導數的幾何意義的理解與應用，通過探究發現，當直線MP垂直過點P的切線時，P為曲線y=f（x）上到M最近的點，利用導數易求出s（x）的最小值，進而得到P點坐標，并且證明了直線MP與f（x）在點P處的切線垂直，驗證了第一問的猜想，如圖3所示，下面利用切線放縮法解答此題.

解法2（放縮法） 易證ex≥x+1（當且僅當x=0時取等號），詳細過程見文獻[3]，s（x）=（x-1）2+（ex-

0）2=e^2x+x2-2x+1≥2x+1+x2-2x+1=x2+2≥2，當且僅當x=0時取等號，此時P（0，1），下同解法1.

評注 指數切線不等式在高考中應用非常廣泛，下面利用函數凸凹性解答.

證法3（凸凹性^[2]） 因為f′（x）=ex，f″（x）=exgt;0，所以f（x）為凸函數，設A（x1，y1）為f（x）圖象上任意一點，則f（x）在A處切線斜率k=f′（x1）=e^x1，由函數凸凹性知，當直線MA垂直過A點切線時，MA取得最小值，即kMA·f′（x1）=e^x1-0x1-1e^x1=-1，即e^2x1+x1-1=0，令h（x）=e^2x+x-1，顯然h（x）在（-∞，+∞）單調遞增，又因為h（0）=0，h（x1）=0，所以x1=0，A（0，1），此時對應P（0，1），下同解法1.

評注 利用函數凸凹性易發現直線MP垂直過點P的切線時，P為曲線y=f（x）上到點M最近的點，再次加深對題干的理解，為第三問做鋪墊，有助于提升學生的直觀想象、邏輯推理核心素養，這也是命制第二問的背景，由以上解答過程，可以得到以下結論.

結論1 若M（a，b）是曲線y=f（x）外一點，點P（x0，f（x0））是f（x）到點M的“最近點”，且y=f（x）可導，則直線MP垂直過點P的切線.

證明 設點P（x0，f（x0））是函數f（x）到點M的“最近點”，s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，s′（x）=

2（x-a）2+2（f（x）-b）f′（x），當x0≠a時，f（x）在P處切線斜率k=f′（x0），kMP=f（x0）-bx0-a，因為s（x）在x=x0處取得最小值，且y=f（x）可導，所以s′（x0）=0，即2（x0-a）+2（f（x0）-b）f′（x0）=0，因此k·kMP=f′（x0）·f（x0）-bx0-a=-1，故直線MP垂直過點P的切線.當x0=a時，直線MP方程為x=a，因為2（x0-a）2+2（f（x0）-b）f′（x0）=0，M（a，b）是曲線y=f（x）外一點，因此f′（x0）=0，切線方程為y=f（x0），直線MP垂直過點P的切線.綜上，結論1成立.

結論2 若y=f（x）（x∈I）為凸函數，點M（x0，y0）是曲線y=f（x）下方一點（y0lt;f（x0）），則必存在一個點P，它是f（x）到點M的“最近點”，且直線MP垂直過點P的切線.

結論3 若y=f（x）（x∈I）為凹函數，點M（x0，y0）是曲線y=f（x）上方一點（y0gt;f（x0）），則必存在一個點P，它是f（x）到點M的“最近點”，且直線MP垂直過點P的切線.

2.3 第三問的解答

解法1（極點效應^[4]） 設s1（x）=（x-t+1）2+（f（x）-f（t）+g（t））2，s2（x）=（x-t-1）2+（f（x）-f（t）-g（t））2，則s1′（x）

=2（x-t+1）+2（f（x）-f（t）+g（t））f′（x），s2′（x）=2（x-t-1）+2（f（x）-f（t）-g（t））f′（x）.若對任意的t∈R，存在點P同時是M1，M2在f（x）的“最近點”，設P（x0，y0），則x0既是s1（x）的最小值點，也是s2（x）的最小值點，因為f（x）存在導函數f′（x），所以x0既是s1（x）的極小值點，也是s2（x）的極小值點，所以s1′（x0）=s2′（x0）=0，即

x0-t+1+f′（x0）［f（x0）-f（t）+g（t）］=0①，

x0-t-1+f′（x0）［f（x0）-f（t）-g（t）］=0②，

①-②得，1+g（t）·f′（x0）=0，即f′（x0）=-1g（t），又因為g（x）gt;0（x∈R），所以f′（x0）=-1g（t）lt;0恒成立.下證x0=t，因為x0既是s1（x）的最小值點，也是s2（x）的最小值點，所以s1（x0）≤s（t），s2（x0）≤s（t），

即（x0-t+1）2+（f（x0）-f（t）+g（t））2≤1+（g（t））2③，（x0-t-1）2+（f（x0）-f（t）-g（t））2≤1+（g（t））2④，

③+④得，2（x0-t）2+2+2［f（x0）-f（t）］2+2g2（t）≤2+2g2（t），即（x0-t）2+（f（x0）-f（t））2≤0，因為（x0-t）2

+（f（x0）-f（t））2≥0，所以（x0-t）2+（f（x0）-f（t））2=0，解得x0-t=0，f（x0）-f（t）=0，即x0=t，因此f′（t）=-1g（t）lt;0（t∈R），故f（x）在R上嚴格單調遞減．

評注 第三問f（x）為抽象函數，涉及的點比較多，計算量較大，用到了極點效應（可導函數在極值點的導數一定為0），要求學生具有較強的數學運算能力，考查了學生數學抽象、邏輯推理，數學運算等核心素養，由于f（x），g（t）均為抽象函數，可以將抽象函數函數具體化，尋找突破，進而探究問題的解法.如令g（t）=1，f（x）=-x，M1（t-1，-t-1），M2（t+1，-t+1），易知直線M1M2垂直直線f（x）=-x，線段M1M2的中點坐標為（t，-t），且在直線f（x）=-x上，顯然P（t，-t）同時是f（x）到點M1與點M2的“最近點”，此時x0=t，f（x）單調遞減，滿足題意，對于新定義第三問壓軸題，可將抽象函數具體化，探尋解答問題的思路.在證明x0=t時，計算量較大，下面嘗試利用反證法解答.

解法2（反證法） 由第一問證法1評注知，P是函數f（x）到點M的“最近點”等價于P是曲線y=f（x）上到點M最近的點，設線段M1M2的中點坐標為M0（m，n），則n=f（t）-g（t）+f（t）+g（t）2=f（t），

m=t-1+t+12=t，因此M0（t，f（t）），顯然M0（t，f（t））在曲線y=f（x）上，M1M2=2M0M1.

若點P與M0不重合，且不在線段M1M2上時，由題意知PM1≤M0M1，PM2≤M0M2，因此

PM1+PM2≤M0M1+M0M2=M1M2，因為PM1+PM2gt;M1M2，與上式矛盾，故假設不成立.

若點P與M0不重合，且在線段M1M2上時，由于M0為線段M1M2的中點，不妨設PM1gt;M0M1，與PM1≤M0M1矛盾，不滿足題意.

綜上，點P與M0重合，x0=t，因此f′（t）=-1g（t）lt;0，

（t∈R），故f（x）在R上嚴格單調遞減．

評注 利用反證法結合三角形兩邊之和大于第三邊巧妙地證明了x0=t，反證法也是處理難題的一把利器，文獻[5]和[6]分別利用反證法證明了2道導數壓軸題.

解法3（結論1） 由解法2知x0=t，由結論1知，直線M1P，M2P與f（x）在點P處切線都垂直，因此直線M1M2與f（x）在點P處的切線垂直，又因為kM1M2=f（t）+g（t）-（f（t）-g（t））t+1-（t-1）=g（t），所以f′（x0）=-1kM1M2=-1g（t）lt;0，即f′（t）=f′（x0）lt;0（t∈R），故f（x）在R上嚴格單調遞減．

評注 由結論1可知直線M1M2與f（x）在點P處的切線垂直，得到f′（x0）=-1g（t）lt;0，由于線段M1M2的中點在曲線y=f（x）上，由解法2知x0=t，進而得到f（x）在R上嚴格單調遞減，利用數形結合巧妙地證明了原命題.

解法4（同構+反證法） 由解法1知x0-t+1+f′（x0）［f（x0）-f（t）+g（t）］=0①，x0-t-1+f′（x0）［f（x0）-f（t）

-g（t）］=0②，①-②得，1+g（t）·f′（x0）=0，即f′（x0）=-1g（t），又因為g（x）gt;0（x∈R），所以f′（x0）=

-1g（t）lt;0（*）恒成立③， ①+②得，x0-t+（f（x0）-f（t））f′（x0）=0，將③代入得x0g（t）-f（x0）=tg（t）

-f（t），代入s1（x0）=（x0-t+1）2+（f（x0）-f（t）+g（t））2，s2（x0）=（x0-t-1）2+（f（x0）-f（t）-g（t））2得

s1（x0）=（x0-t+1）2（1+g2（t）），s2（x0）=（x0-t-1）2（1+g2（t））.若x0gt;t，則s1（x0）gt;1+g2（t）=s1（t），與x0是s1（x）的最小值點矛盾;若x0lt;t，則s2（x0）gt;1+g2（t）=s2（t），與x0是s2（x）的最小值點矛盾.因此x0=t.由（*）式可知f′（t）=f′（x0）lt;0（x∈R），故f（x）在R上嚴格單調遞減．

評注 利用同構法、反證法巧妙的證明了x0=t，同構法在導數中的應用見文獻[3]和[7]，下面對試題背景進行溯源.

3 背景與命題溯源

3.1 背景溯源

試題前兩問的背景為函數的凸凹性，結合幾何意義易于解答，體現了試題基礎性，利用高觀點溯源，可以看透問題的本質.第三問利用第二問的幾何背景，發現M1，M2位于曲線y=f（x）兩側，且線段M1M2的中點在曲線y=f（x）上，進而解答此題.以函數凸凹性為背景，構思新穎，有助于提升學生直觀想象等核心素養.

3.2 命題溯源

這道高考題以函數“新定義”為問題背景，著重考查學生分析問題與解決問題的能力，有助于培養學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養.直觀想象是發現、提出、分析與解決問題的重要手段，從特殊到一般的研究方法是學生必須撐握的技能.

4 應用提升

題1 （2024年天津高考數學第20題）設函數f（x）=xlnx.若f（x）≥a（x-x）在x∈（0，+∞）時恒成立，求a的取值范圍.

解析 a=2，詳細答案見文獻[4].

題2 （2023年高考數學新課標Ⅰ卷第19題）已知函數f（x）=a（ex+a）-x.（2）證明：當agt;0時，f（x）gt;2lna+32.

解析 詳細答案見文獻[2].

題3 （2023年新課標Ⅰ卷第18題）已知函數f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.若f（x）gt;-2，當且僅當1lt;xlt;2，求b的取值范圍.

解析 b的取值范圍為［-23，+∞），詳細答案見文獻[8].

題4 （2023—2024學年度合肥一中高二期末聯考第17題）對于一個函數f（x）和一個點M（a，b），定義s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，若存在P（x0，f（x0）），使s（x0）是s（x）的最小值，則稱點P是函數f（x）到點M的“最近點”.對于f（x）=lnx，M（0，1），請判斷是否存在一個點P，它是f（x）到點M的“最近點”，且直線MP與f（x）在點P處的切線垂直，若存在，求出點P;若不存在，說明理由.

解析 存在，P（1，0）.

題5 （河南省開封市2023—2024學年高二期末第19題）已知函數f（x）的定義域為D，其中DR．對于點M（a，b），設S（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2．若S（x）在x=x0處取最小值，則稱點（x0，f（x0））為M的“f最近點”．

（1）若f（x）=x³²，D=（0，+∞），M（52，0），求M的“f最近點”;

（2）已知函數f（x），D=R，M1（t-1，f（t）-et），M2（t+1，f（t）+et），證明：對任意t∈R，P（t，f（t））既是M1的“f最近點”，也是M2的“f最近點”．

解析 （1）（1，1）;（2）略.

5 教學啟示

今年這道高考題壓軸題是一道抽象函數與導數綜合的試題，也是一道新定義題，十分有新意.新定義是指在題目中定義了教材中沒有介紹或者涉及過的新概念、新圖象、新運算、新性質、新模型等^[9]，側重考查學生對新定義的閱讀理解能力、遷移轉化能力和邏輯推理能力，能有效檢驗考生的數學思維水平，服務拔尖創新人才的選拔．

解答新定義題的核心是新舊知識的轉化與聯系，應逐字逐句讀考題，按照題目給出的定義將新概念翻譯為舊知識，再用考生學過的舊知識得出答案.解決新定義有三件法寶，第一件法寶：復雜問題簡單化，新定義題目中給出的信息多，涉及的知識面廣，用到的思想多，學生往往無從下手^[9].因此首先應將復雜問題簡單化，如取特殊點，特殊函數.第二件法寶：抽象問題具體化.例如本文第三問，可以令g（t）=1，f（x）=-x，M1（t-1，-t-1），M2（t+1，-t+1），探究其解法，再去解決抽象復雜問題.第三件法寶：注重問題的比較和相互聯系，數學知識之間有較強的聯系，新定義題目中這種聯系就需要深入挖掘^[10].此類題學生在備考中，應在掌握數學基礎知識、基本思想方法的同時，用聯系的、發展的眼光看數學知識，多視角思考數學知識、思想、方法間的聯系，將知識織成網絡、思想融會貫通、方法形成體系^[9].

在高三復習時，應加強主干知識的考查，突出數學教學本質：回歸課標，重視教材，重視概念教學，夯實學生基礎，避免超綱學，超量學，強化素養導向.在教學設計中應充分考慮學生思維的發展認知規律，注重啟發性，培養學科素養.在復習中師生要注重對基礎知識的理解和掌握，熟練運用常見的數學知識和方法；提高綜合能力，重視思維訓練，培養自己的邏輯思維和創新思維；重視課本習題與歷年真題，這些資料是鞏固基礎知識的關鍵，能幫助考生了解考試的趨勢和題型特點，對這些題應反復練習，確保能熟練掌握;關注教材閱讀，拓展知識視野；全面備考，覆蓋各個知識點和題型，避免過度依賴固定模式或忽略某些冷門知識，對課本中例題、閱讀材料等內容理解和掌握；注重實踐，適量做題，多總結，提高自己解題能力和應試技巧，注重對錯題的分析與總結，找出不足之處并加以改進;刪去復習資料中的偏難、偏怪、超綱、解法太唯一題目，適當利用高觀點對試題進行溯源，可將問題化難為易，進而看透問題的本質.

導數題型豐富，入口寬，解法眾多，綜合性強，對學生思維品質的考查十分到位.同時導數自身融合度高，可以結合數列、三角函數、曲線、新定義出題，體現綜合性、創新性.但是要防止導數極端化教學，杜絕補充大量的“大招”，避免盲目專研和機械訓練.基于以上分析，在高三備考時，應將導數作為備考的重點.希望本文對讀者的學習有一定的啟發作用^[8].

參考文獻

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[3]郭蒙.攜手切線不等式 巧解導數壓軸題：例說切線放縮攜手同構法在解題中的應用[J].高中數學教與學，2023（15）：28-30.

[4]郭蒙.剖析必要性探路在高考中的應用：以7道高考壓軸題為例[J].高中數理化，2024（15）：51-55.

[5]郭蒙.2023年高考乙卷理科第21題的解法探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2024（1）：53，1-4.

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[7]郭蒙，薛小強.秉通法悟通性提素養：以定號性原理在含參不等式恒成立問題中的應用為例[J].中學數學研究（華南師范大學版），2024（11）：29-33.

[8]郭蒙，陳超.2024年新課標Ⅰ卷第18題的解法探究及溯本探源[J].中學生理科應試，2024（10）：15-20.

[9]陳超.對2023年高考數學上海卷第16題的思考[J].中學數學教學，2023（4）：23-25.

[10]程莉芳，董海濤.聚焦高考新定義，探究解題突破點：2020年上海高考新定義題型的解題策略與反思[J].中小學數學（高中版），2021（9）：32-35.

作者簡介 郭蒙（1985—），男，陜西藍田人，碩士，中學一級教師，榆林市高中數學命題組專家;主持參與四項市級課題，兩次榮獲榆林市中小學教師學科能力競賽市級決賽高中數學三等獎，在2024陜西省教育技術論文評選活動中，榮獲一等獎，2024年榮獲“榆林市科研突出個人”稱號;主要從事高中數學教育與教學研究；發表30余篇論文.

陳超（1989—），男，湖北應城人，碩士，中學高級教師；主要從事高中數學教育與教學研究；發表30余篇論文.