回歸幾何本源 探究曲線性質

【摘 要】 以2024年全國高考數學Ⅰ卷第11題為例，從命題意圖、試題評析、解法探究、追根溯源、變式練習、復習啟示等六個方面進行分析，探討新定義曲線問題的解決思路，并對高考復習提出幾點建議.

【關鍵詞】 新定義曲線；幾何本源；曲線性質

2024年全國高考數學Ⅰ卷采用全新的試卷結構，減少試題量，給學生充足的時間思考問題，加強數學思維考查^[1]，立足《中國高考評價體系》中的“基礎性、綜合性、應用性和創新性”的命題要求，關注“新課標、新教材、新高考”要求，充分體現了“立德樹人、服務選才、導向教學”的高考核心價值^[2].

解析幾何一直是高考的重要考點，以思維難度大、運算復雜著稱，學生得分率往往不高，而2024年高考數學新課標Ⅰ卷解析幾何多選題因其風格清新，讓人眼前一亮，成為試卷的一個亮點.該試題依托新定義曲線，探究新曲線的軌跡方程和性質，體現了回歸解析幾何本源，探究解析幾何中曲線的一般方法和流程，從而探究曲線的性質，是教材研究圓錐曲線的延伸和拓展，真正體現了教考銜接.以2024年高考數學新課標Ⅰ卷第11題為例，通過對該試題的命題意圖、試題評析、解法探究、追根溯源、變式練習、復習啟示等方面進行分析.

試題呈現

（2024年全國新課標Ⅰ卷第11題）設計一條美麗的絲帶，其造型可以看作圖1中圖1的曲線C的一部分.已知C過坐標原點O，且C上的點滿足：橫坐標大于-2， 到點F（2，0）的距離與到定直線x=a（a＜0）的距離之積為4，則（" ）.

A.a=-2

B.點（22，0）在C上

C.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

D.當點（x0，y0）在C上時，y0≤4x0+2

1 命題意圖

本題是2024年全國新課標Ⅰ卷第11題，以“到點F（2，0）的距離與到定直線x=a（a＜0）的距離之積為4”為背景探究動點的軌跡，以及軌跡上點的性質.這個問題是對教材中圓錐曲線定義的拓展推廣，考查學生用代數方法研究幾何問題的能力，凸顯了試題對學生數學能力的要求，強調對數學概念的理解，考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等學科素養.

2 試題評析

本試題屬于新定義曲線問題，此類問題不僅能有效考查考生對基礎知識的掌握程度，而且對考生的創新能力和應用能力提出了更高要求.這道題以全新的曲線創設問題情境，涉及的曲線的定義與圓錐曲線的定義僅一字之差，因此，可以引導學生類比圓錐曲線，采用解析法對該曲線展開研究.通過對比同類試題，筆者發現平面內到一個定點的距離與到一條定直線的距離之和、之差為定值的曲線都有研究文章，這道試題改為研究平面內到定點的距離與到定直線的距離之積為定值，頗為新穎，可見命題者刻意避開大家研究過的曲線.當然，命題者沒有為難考生，考查的知識點都是研究曲線的基本方法，比如求曲線的軌跡方程，點與圓錐曲線的位置關系等.同時，命題者對這道題的難度沒有拔得太高，通過給出曲線的圖象，暗示考生可以利用圖象判斷，沒有要求考生求圖象的最高點，只需要做一個判斷，這樣就給了考生用估算、代入法提供了用武之地，刻意減少運算量，降低試題難度.

3 解法探究

解法1（數形結合，估算法） 對于A，設曲線上的動點P（x，y），則x＞-2且（x-2）2+y2×x-a=4，

因為曲線過坐標原點，故（0-2）2+02×0-a=4，解得a=-2，故A正確.

圖2對于B，由曲線方程為（x-2）2+y2×x+2=4，而x＞-2，

故（x-2）2+y2×（x+2）=4.

當x=22，y=0時，（22-2）2×（22+2）=8-4=4，

（22，0）在曲線上，故B正確.

對于C，根據曲線的圖象，如圖2，過點F（2，0）

作垂直于x軸的直線與曲線交于點P（2，1），從圖象看，顯然曲線最高點出現在虛線與曲線的交點處，此時交點縱坐標大于1，故C錯誤.

對于D，如圖3所示，過曲線上任意一點P（x0，y0）作PA⊥OF，

則PA=y0，PF=4x0+2，所以y0≤y0=PA≤PF=4x0+2，D正確.

故選ABD.

解法2（特殊值法，不等式性質） 選項A，B解析同解法1.

對于C，由曲線的方程可得y2=16（x+2）2-（x-2）2，取x=32，

則y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4＞0，此時y2＞1，

故C在第一象限內點的縱坐標的最大值大于1，C錯誤.

對于D，當點（x0，y0）在曲線上時，由選項C的分析可得y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，

因為x0＞-2，所以y0≤y0≤16（x0+2）2=4x0+2，

D正確.

故選ABD.

下面，對C選項提供另外兩種解法.

解法3（導數幾何意義） 設P（x，y）（x＞0，y＞0）是曲線C在第一象限的點.

由解法1知曲線方程為（x-2）2+y2×（x+2）=4，所以y2=16（x+2）2-（x-2）2.

令f（x）=16（x+2）2-（x-2）2，則f′（x）=-32（x+2）3-2（x-2），

因為f（2）=1，f′（2）=-12＜0，

所以根據導數的幾何意義知，函數f（x）在x=2附近單調遞減，即必存在x0∈（0，2），使得f（x）在（x0，2）上單調遞減，

所以 f（x0）＞f（2）=1，即C在第一象限的點的縱坐標的最大值大于1，故C錯誤.

解法4（零點存在性定理） 同解法3，令f（x）=16（x+2）2-（x-2）2，

則f′（x）=-32（x+2）3-2（x-2）=-2x（x3+4x2-16）（x+2）3.

令g（x）=x3+4x2-16（0＜x＜22），則g′（x）=3x2+8x＞0，

所以g（x）在（0，22）上單調遞增.

因為g（1）=-11＜0，g（2）=8＞0，

所以由零點存在性定理知，在（1，2）上存在x0，使得g（x0）=0，f（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，22）上單調遞減，

所以f（x）max=f（x0）＞f（2）=1，即C在第一象限的點的縱坐標的最大值大于1.

本試題知識圖譜可用下圖4表示：

4 追根溯源

本題曲線的定義是“到點F（2，0）的距離與到定直線x=a（a＜0）的距離之積為4”，即平面內一個動點到一個定點的距離與到定直線的距離之積是一個定值，與圓錐曲線的統一定義“平面內一個動點到定點的距離與到定直線的距離之比是一個定值”僅一字之差，因此很多性質的研究可類比圓錐曲線的方法，其實它屬于一類稱為有理曲線的特殊情形.在代數曲線中，其上的點的坐標可用一個參數的有理函數表示的曲線叫有理曲線，而本試題即為取定參數的有理曲線.在數學史上有很多著名的曲線，如圖5，蔓葉線、馬克勞林三等分角線、笛卡爾葉形線、環索線等.

笛卡兒葉形線是一個代數曲線，根據他所研究的一簇花瓣和葉形曲線特征，首先由笛卡兒在1638年提出，對應的曲線方程為x3+y3-3axy=0.數學家還為它取了一個好聽的名字——茉莉花瓣曲線.2024年這道高考試題對應曲線實質是旋轉45°后的笛卡兒葉形線.因此，在平時的教學中讓學生適當了解一些著名曲線還是有必要的.

圖5 四種有理曲線

5 試題變式

變式1（多選題） 曲線C是平面內與定點F（2，0）的距離與到定直線x=-2的距離之積為4的點的軌跡，則（" ）.

A.曲線C過坐標原點

B.曲線C關于x軸對稱

C.曲線C與x軸有3個交點

D.若點M在曲線C上，則MF的最小值為2（2-1）

變式2（多選題） 2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖6）的正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標系xOy中，把到定點F1（-a，0），F2（a，0）距離之積等于a2（a＞0）的點的軌跡稱為雙紐線C，已知點P（x0，y0）是雙紐線C上一點，下列說法正確的有（" ）.

A.雙紐線C關于坐標原點O中心對稱

B. -a2≤y0≤a2

C. 雙紐線C上滿足PF1=PF2的點P有兩個

D. PO的最大值為2a

6 復習啟示

6.1 立足數學基礎，深入理解教材

“基礎不牢，地動山搖”，每年高考試題不管難度如何，都離不開基礎知識的鋪墊，只有立足數學基礎，數學“根基”硬了，才能做好綜合題.《中國高考報告》指出，高考命題會以教材中的知識為藍本，既可以實現對基礎知識的考查，又可以引導回歸教材，減輕學習負擔，提高學生學習的針對性和有效性^[3].教材是按照課程標準的要求編寫的教學用書，匯聚了多位專家與學者的深厚專業知識與智慧結晶，它是學科知識的精華，也是高考命題者的“根源”.因此，在高三復習階段要重視基礎，深入理解教材.本題A，B兩個選項涉及的方法可以說是解析幾何最基本的方法，這與人教A版普通高中教科書《數學》（選擇性必修第二冊）第二章提出的研究解析幾何的方法是一致的.因此，深入理解教材，掌握好教材上的基本方法才能做好高考題.在2024年的高考數學試卷中，基礎題占了總分的70%，這一比例體現了基礎知識在高考數學中的重要性，在19道試題中，有將近15道試題來源于教材或改編自教材.因此，我們在復習中更應該重視教材，利用好教材中的例題，吃透教材中的方法，抓好數學基礎，最大限度地發揮教材的示范作用.

6.2 回歸幾何本源，探究曲線性質

解析幾何是17世紀法國數學家笛卡爾和費馬創立的，它的基本內涵和方法是：通過坐標系，把幾何基本元素—點和代數的基本對象—數（有序數對或數組）對應起來，在此基礎上建立曲線（點的軌跡）的方程，從而把幾何問題轉化為代數問題，再通過代數方法研究幾何圖形的性質^[4].但是，我們對于解析幾何的教學往往重視模式化的代數運算，而忽視了隱藏于問題中的幾何背景，使解題陷入“過程冗長，運算繁瑣”的境地，導致學生“望而生畏，知難而退”，我們在平時的教學中應該回歸幾何本源，揭示問題的幾何本質來優化運算，例如解法1中PA≤PF可以直觀體現線段的長度關系，這也體現了命題者“多想少算”的命題意圖.解析幾何的核心在于將代數運算融入幾何背景之中.首先，需以幾何視角細致剖析圖形要素及其內在聯系；然后，運用代數語言精準表述這些關系.在運算流程中，巧妙借助圖形的幾何特性及其相互間的關聯進行簡化處理，此舉實為攻克運算難題的有效策略.同時，我們在平時加強解析幾何問題的訓練，掌握教材上研究曲線的基本方法，通過代數方法研究曲線的性質，比如本試題需要用到不等式性質、導數的方法研究曲線的性質.

6.3 掌握通性通法，提升學科素養

“工欲善其事，必先利其器”，強化學生的解題基礎技能與通用方法，確保他們熟練掌握并能靈活運用，以此促進學科綜合素養的全面提升.《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》強調，在設計學習評價工具時，應聚焦數學的核心概念和通性通法，聚焦它們所承載的數學學科核心素養^[5].在高三的復習中，切實讓學生參與學習過程，感悟知識生成細節，體會知識本質內容，熟練掌握解題的通性通法，比如本試題用到的通性通法有導數的單調性判斷方法、零點存在性定理、導數的幾何意義等方法.精通運用幾何直觀與數形轉換的思維模式，以深化學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象及數學運算等關鍵學科素養的培養.

參考文獻

[1]胡鳳娟.引導學生經歷思考的全過程：基于對2024年高考數學新課標Ⅰ卷試題的分析[J].基礎教育課程，2024（8）：30-36.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系：2019版[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3] 徐尚昆，楊汝岱，郝保偉.中國高考報告（2024）：2024版[M].北京：新華出版社，2024.

[4] 章建鋒.人教A版新教材中章首語的內容分析與教學思考[J].中學數學教學參考，2022（8）：10-14.

[5]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者簡介 范祖庫（1979—），男，浙江慶元人，高級教師，麗水市教學名師;主要從事高中數學教育教學研究.