解析幾何求范圍問題中的“變量”選取技巧

【摘 要】 解析幾何大題中最常見的一種題型是求范圍，求范圍一般是運用函數方程思想.函數方程思想的核心是選好“變量”，減少運算量，從而提高運算效率和準確率.以圓錐曲線的“范圍問題選取變量”為例，探析解析幾何中選取變量的方法技巧，達到多想一點，少算一點的目的.

【關鍵詞】 最值；范圍；圓錐曲線；變量

1 以k，t（t一般指斜率k的倒數）作為“變量”

例1 如圖1，設橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率e=12，橢圓上的點到左焦點F1的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求橢圓C的外切矩形ABCD的面積S的取值范圍.

解析 （1）橢圓方程為x24+y23=1（過程略）.

（2）當矩形ABCD的一組對邊斜率不存在時，得矩形ABCD的面積 S=83；

當矩形ABCD四邊斜率都存在時，不防設AB，CD所在直線斜率為k，則BC，AD斜率為-1k，設直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓聯立y=kx+m，x24+y23=1，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由Δ=（8km）2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，得m2=4k2+3.顯然直線CD的直線方程為y=kx-m，直線AB，CD間的距離

d1=2mk2+1=2m2k2+1=24k2+3k2+1，同理可求得BC，AD間的距離為d1=24k2+31k2+1=24+3k2k2+1，所以四邊形ABCD面積為S四邊形ABCD=d1d2=43+4k2k2+14+3k2k2+1 =412k4+25k2+12k4+2k2+1 =412+k2k4+2k2+1

=412+1k2+1k2+2 ≤412+14=14（等號當且僅當k=±1時成立）.又S四邊形ABCDgt;412=83，故由以上可得外切矩形面積的取值范圍是［83，14］.

評析 k，t作為參數是最常見的也是最重要的選取變量方式^[1]，在新高考中越常見越基本的知識方法往往越重要.此類題型運算過程中一定要注意k，t范圍，以確保“所求量”最后結果的準確性，然后運用基本不等式或導數等工具求解.當然在實際解題過程中，學生也不應當固執于某一種方法，而應根據問題的特點和自身的知識背景，靈活選擇最適合的方法.這要求學生具備較為扎實的基礎知識和較為豐富的解題技巧， 在面對不同題型時能夠迅速作出判斷，并采取有效的解題策略.

2 以直線截距作為“變量”

例2 如圖2，過拋物線y2=2px（pgt;0）上一點P（1，1），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），若PA與PB的斜率滿足kPA+kPB=0.

（1）證明： 直線AB的斜率為定值，并求出該定值；

（2）若直線AB在y軸上的截距b∈［0，1］，求△ABP面積的最大值.

解析 （1）kAB=-12（過程略）.

（2）設直線AB的方程為y=-12x+b，由y2=x，

y=-12x+b，消去y整理，

得14x2-（b+1）x+b2=0，因為b∈［0，1］，所以Δ=（b+1）2-b2gt;0，且x1+x2=4（b+1），x1·x2=4b2，AB=54·（x1+x2）2-4x1x2=25·2b+1，又點P到直線AB的距離為d=3-2b5，所以S△ABP=12·AB·d==12·25·2b+1·3-2b5=2b+13-2b.

令f（x）=（2x+1）（2x-3）2，其中x∈［0，1］，則由f′（x）=2（2x-3）（6x-1）=0，得x=16或x=32.當x∈（0，16）時，f′（x）gt;0，所以f（x）單調遞增，當x∈（16，1）時，f′（x）lt;0，所以f（x）單調遞減.

所以f（x）的最大值為f（16）=25627，故△ABP面積的最大值為f（16）=1639.

評析 本題給出了直線斜率的值，所以不會再像例1一樣選取斜率作為變量.注意到直線在運動過程中是平行移動，所以變化的是截距，理所當然地想到用截距當做變量.化歸到最后表達式也不是常見的“分式型”，而是“根式型”，我們驚喜地發現把所有式子放入根號以后，根號下面是一個三次函數，所以轉化成為了一個三次函數最值問題.整個題目解題思路自然流暢，結構漂亮，是一道質量很高的題目.熟練掌握可以提高學生審題、解題能力，形成寶貴的解題經驗.

3 以圓錐曲線上動點的坐標作“變量”

例3 如圖3，在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0，12的距離，記動點P的軌跡為W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33．

解析 （1）W：y=x2+14（過程略）.

（2）設矩形的三個頂點Aa，a2+14，Bb，b2+14，Cc，c2+14在W上，且alt;blt;c，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則kAB·kBC=-1，a+blt;b+c，令kAB=b2+14-a2+14b-a=a+b=mlt;0，同理，令kBC=b+c=ngt;0，且mn=-1，則m=-1n.設矩形周長為l，由對稱性，不妨設|m|≥|n|，kBC-kAB=c-a=n-m=n+1n，

則12l=|AB|+|BC|=（b-a）1+m2+（c-b）1+n2≥（c-a）1+n2=n+1n1+n2.由ngt;0，易知n+1n1+n2gt;0.

令f（x）=x+1x2（1+x2）（xgt;0），則f′（x）=2x+1x22x-1x，令f′（x）=0，解得x=22，當x∈0，22時，f′（x）lt;0，此時f（x）單調遞減，當x∈22，+∞，f′（x）gt;0，此時f（x）單調遞增，則f（x）min=f22=274，故12l≥274=332，即l≥33.當l=33時，n=22，m=-2，且（b-a）1+m2=（b-a）1+n2，即m²=n²時等號成立，矛盾.故lgt;33，得證.

評析 本題是2023年新高考全國卷最后一題，難度教大，解答方法較多.本文采用的方法第一步選擇兩個變量，然后通過不等關系消掉一個變量，留下“b+c”這個整體作為自變量，處理非常巧妙，運算量大大減小，適合數學思維水平較高的學生理解突破.本題也遵循了新高考“知識為基、能力為重、素養導向、價值引領”的綜合改革導向，此類題目靠機械刷題、重復練習等訓練是無效的.

4 以曲線參數方程的“參數”作為“變量”

例4 設A，B是橢圓x22+y2=1上異于P（0，1）的兩點，且直線AB經過坐標原點，直線PA，PB分別交直線y=-x+2于C，D兩點．

（1）求證：直線PA，AB，PB的斜率成等差數列；

（2）求△PCD面積的最小值．

解析 （1）設A（x1，y1），則B（-x1，-y1），x122+y12=1，

直線AB的斜率kAB=y1x1，直線PA的斜率為kPA=y1-1x1，直線PB的斜率為kPB=-y1-1-x1=y1+1x1，所以kPA+kPB=y1-1x1+y1+1x1=2y1x1=2kAB，故直線PA，AB，PB的斜率成等差數列.

（2）方法1：直線PA的方程為y-1=y1-1x1x，與y=-x+2聯立得，xC=x1x1+y1-1，

同理可得，直線PB的方程為y-1=y1+1x1x，與y=-x+2聯立得，xD=x1x1+y1+1.故CD=1+1xC-xD=

2x1x1+y1-1-x1x1+y1+1=22x1（x1+y1）2-1.因為x122+y12=1，設x1=2cos θ，y1=sin θ，則CD=222cos θ（2cos θ+sin θ）2-1

=4cos θ+22sin θ=43sin （θ+φ），其中tan φ=24.故當sin （θ+φ）=1時，CD=43sin （θ+φ）取得最小值，最小值為43.又點P（0，1）到直線y=-x+2的距離d=2-11+1=22，

故△PCD面積的最小值為12×43×22=23.

方法2：點P（0，1）到直線y=-x+2的距離為22為定值.設直線AB方程為y=kx，

直線PA的方程為y=y1-1x1x+1與直線y=-x+2聯立，解得xC=x1（k+1）x1-1.同理，xD=x2（k+1）x2-1

，故CD=2x1-x2（k+1）2x1x2-（k+1）（x1+x2）+1=

2k2+12k+14.

S△PCD=12CDd=12k2+12k+14，令t=14+k，則k=t-14，所以S△PCD=381t-492+12881≥38×829=23，當且僅當k=2時等號成立.

評析 本題我們使用了兩種不同方法來求解，第一個方法采用的變量是橢圓參數方程的參數來作為未知數，第二個方法采用的是常規的斜率作為未知數求解.顯而易見第一個方法巧妙地利用三角函數有界性^[2]，運算量是更小，解題過程更漂亮，第二種方法我們解題時更容易或者說“更習慣”去想到，但運算量更大.所以在高考中，研究怎么選取到最佳的解題“變量”是特別有意義的.

5 以題中給出的量作為“變量”

例題5 如圖4，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為12，左、右焦點分別為F1，F2，直線l1：y=kx+2是C與圓O：x2+y2=165的一條公切線.

（1）求C的方程；

（2）已知過F1的直線l2交C于M，N兩點，交y軸于P點，PM=λMF1，PN=μNF1，若S△OMN=mS△OMF2-λS△ONF2（S△OMN，S△OMF2，S△ONF2分別表示△OMN，△OMF2，△ONF2的面積），-3≤μ≤-73，求實數m的取值范圍.

解析 （1）因為直線l1：y=kx+2是圓O：x2+y2=165的一條切線，

所以21+k2=45，解得k2=14.因為C的離心率e=a2-b2a=12，所以a2=43b2，從而

由y=kx+2，3x24b2+y2b2=1，可得（3+4k2）x2+16kx+（16-4b2）=0.

因為直線l1∶y=kx+2是橢圓C的一條切線，所以Δ=（16k）2-4（3+4k2）（16-4b2）=0，

結合k2=14，解得b2=3，所以C的方程為x24+y23=1.

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），顯然l2的斜率存在且不為0，

設l2的方程為y=t（x+1），令x=0，y=t，則P（0，t），則PM=（x1，y1-t），MF1=（-1-x1，-y1），

由PM=λMF1得，（x1，y1-t）=λ（-1-x1，-y1），解得λ=ty1-1，同理μ=ty2-1.

由x24+y23=1，y=t（x+1）得4+3t2y2-6ty-9=0，則y1+y2=6t4t2+3，y1y2=-9t24t2+3，

λ+μ=ty1+ty2-2=t（y1+y2）y1y2-2=-83.不妨設y1gt;0gt;y2，則S△OMN=12×1×y1-y2=12（y1-y2），

S△OMF2=12×1×y1=12y1，S△ONF2=12×1×y2=-12y2，代入S△OMN=mS△OMF2-λS△ONF2，有12（y1-y2）=12my1+12λy2，

即y1-y2=my1+λy2①.由λ=ty1-1，μ=ty2-1，得y1=t1+λ，y2=t1+μ，y2y1=1+λ1+μ=-1+λ53+λ.

由①式解得，m=1-（1+λ）y2y1=1+（1+λ）253+λ=-13+53+λ+4953+λ，因為-3≤μ≤-73，所以53+λ=-1-μ∈43，2.

設z=53+λ，則z∈43，2，令h（z）=-13+z+49z，則h′（z）=1-49z^-2gt;0，故h（z）在43，2上單調遞增，

則h（z）min=h43=43，h（z）max=h（2）=179，則h（z）的值域為43，179，故m的取值范圍為43，179.

評析 本題中給出了一個量μ，且告知我們了μ的范圍，所以自然想到以μ作為自變量來構造函數表達式，這類題型的特點是思路較易想到但運算量大，且最后會用到比值消元的技巧，可以提高學生的運算能力、建模能力等.

總結 變量選取常見有五種方法，這五種選取技巧基本囊括了我們解析幾何范圍問題的選“變量”技巧，詳見表1.

熟練掌握這些技巧后有助于我們選取最佳的方法解答此類問題.解析幾何是“形與數”最完美的載體，常常從轉化與化歸思想出發，對形和數進行適當的轉化，以達到化繁為簡的目的.無論如何，遇到每一道解析幾何的題目，無論題目的難易，首先要想到轉化與歸思想.化生疏為熟悉，化復雜為簡單，化抽象為直觀，以達到由動向靜的轉化.通過歸納不同取變量技巧，實現解題“思維快速形成化”，保持思維運算上的“經濟化”.解題需要研究，通過解題研究挖掘題目背后蘊藏的數學觀點、數學思想，透過現象認識本質.解題研究既是高中數學教師的必備素養與能力，也是教學研究的重要組成部分.解題研究的最終目的是為了提高學生的數學思維，幫助學生走出題海，提高效率，減輕學生學習負擔.參考文獻

[1]盧會玉.解析幾何中的長度問題再探究[J] .中學生數理化，2023（12）：25-26.

[2]陳芝飛.方均斌.從“研題”“究題”到“編題”：以橢圓中心三角形面積研究為例［J］.數學通報，2018（6）：53-57.

作者簡介

莫躍武（1989—），男，湖南桃江人，中學教師；獲湖南省教師解題比賽一等獎、長沙市教師解題比賽一等獎、長沙市課堂教學比賽一等獎，獲雅禮中學“十佳優秀班主任”“十佳優秀教師”等榮譽稱號.