一類二次曲線中三角形面積最值問題的探究

【摘 要】 通過對一道山東省百師聯盟2025屆高三開學摸底聯考試題的探究，得到在橢圓、圓和雙曲線中5個相關的三角形面積最值命題.【關鍵詞】 橢圓；雙曲線；圓；三角形；面積；最值

平面解析幾何的兩個主要任務是：（1）研究軌跡類型和求軌跡方程；（2）運用代數方法研究直線與曲線的位置關系和相關性質，運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想^[1].本文通過對一道山東省百師聯盟2025屆高三開學摸底聯考試題的探究，得到在橢圓、圓和雙曲線中5個相關的三角形面積最值命題.

1 試題呈現

試題 在平面直角坐標系中，點A，B分別是x軸和y軸上的動點，且AB=2，動點T滿足OT=OA+32OB.

（1）求動點T的軌跡C的方程；

（2）已知直線l：x=my+1與曲線C相交于M，N兩點，直線l′：x=4，過點M作MD⊥l′，垂足為D，設點O為坐標原點，求△OND面積的最大值.

答案 （1）x24+y23=1;（2）154.

這是一道山東省百師聯盟2025屆高三開學摸底聯考試題，以兩點間距離和向量間的關系為背景.第（1）問考查軌跡方程的求法；第（2）問求三角形面積的最大值.解答試題需要有較強的探索能力、創造性解決問題的能力，對于直觀想象、數學運算、邏輯推理等學科素養有較高的要求.

2 試題推廣

注意到試題中直線l：x=my+1過橢圓的右焦點，直線l′為相應的右準線，啟發我們思考試題對于一般的橢圓，三角形面積的最大值結果如何？

命題1 在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）中，過右焦點F的直線交橢圓C于A，B兩點，過A作橢圓C的右準線l的垂線，垂足為D，O為坐標原點，離心率為e，則（1）若0＜e≤22，當AB⊥x軸時，△OBD的面積取最大值且最大值為（1+e2）b22e；

（2）若22＜e＜1，當直線AB的斜率為±1－e22e2－1時，△OBD的面積取最大值且最大值為（1+e2）ab4e2.

證明 如圖1，設橢圓的半焦距為c，右準線l與x軸交于E，直線BD與x軸交于M，作直線BG⊥l，垂足為G，則AD∥FE∥BG.由題意得F（c，0），l的方程為x=a2c.由橢圓的第二定義得，AF=eAD且BF=eBG.由FMAD=BFAB得，FM=ADBFAB=AFBFeAB.由EMBG=MDBD=AFAB得，EM=AFBGAB=AFBFeAB，所以FM=EM，M為線段FE的中點，且M12c+a2c，0.

設過F的直線方程為x=my+c，交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+c，b2x2+a2y2-a2b2=0，消去x得，（a2+m2b2）y2+2cmb2y－b4=0，則y1+y2=－2cmb2a2+m2b2，y1y2=－b4a2+m2b2，且Δ=4a2b4（m2+1）＞0.從而y1－y2=（y1+y2）2－4y1y2=2ab2m2+1a2+m2b2，進而S△OBD=S△OMD+S△OMB=12OMy1－y2=12×12c+a2c×2ab2m2+1a2+m2b2=ab2（a2+c2）m2+12c（a2+m2b2）.

設m2+1=t（t≥1），則S△OBD=ab2（a2+c2）t2c（c2+b2t2）=a（a2+c2）2ct+c2b2t.

（1）若0＜e≤22，cb≤1，當t=1即m=0時，也即當AB⊥x軸時，△OBD的面積取最大值且最大值為ab2（a2+c2）2c（c2+b2）=（1+e2）b22e；

（2）若22＜e＜1，cb＞1，當t=cb即m=±c2－b2b時，也即直線AB的斜率為±bc2－b2=±1－e22e2－1時，△OBD的面積取最大值且最大值為（1+e2）ab4e2.

命題2 在雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a，b＞0）中，過右焦點F的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點，過A作雙曲線C的右準線l的垂線，垂足為D，O為坐標原點，離心率為e，則當AB⊥x軸時，△OBD的面積取最小值且最小值為（1+e2）b22e.

證明 設雙曲線的半焦距為c，右準線l與x軸交于E，直線BD與x軸交于M，作直線BG⊥l，垂足為G，則AD∥EF∥BG.由題意得F（c，0），l的方程為x=a2c.由雙曲線的第二定義得AF=eAD且BF=eBG.由FMAD=BFAB得，FM=ADBFAB=AFBFeAB.由EMBG=MDBD=AFAB得，EM=AFBGAB=AFBFeAB，所以FM=EM，M為線段FE的中點，且M12c+a2c，0.

設過F的直線方程為x=my+c，交雙曲線于A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+c，b2x2-a2y2-a2b2=0，消去x得，（a2－m2b2）y2－2cmb2y－b4=0，a2－m2b2≠0，y1+y2=2cmb2a2－m2b2，y1y2=－b4a2－m2b2，且Δ=4a2b4（m2+1）＞0.因為A，B為雙曲線右支上兩點，所以1m＞ba或m=0，即a2－m2b2＞0或m=0.由y1－y2=（y1+y2）2－4y1y2=2ab2m2+1a2－m2b2=2ab2m2+1a2－m2b2.S△OBD=S△OMD+S△OMB=12OMy1－y2=12×12c+a2c×2ab2m2+1a2－m2b2=ab2（a2+c2）m2+12c（a2－m2b2）.

設m2+1=t（t≥1），則S△OBD=ab2（a2+c2）t2c（c2－b2t2）=a（a2+c2）2cc2b2t－t.所以當t=1即m=0時，△OBD的面積取最小值且最小值為（1+e2）b22e.

3 試題再推廣

進一步思考，對于橢圓，若將焦點和相應的準線改為坐標軸上的點P（t，0）（0＜t＜a）和相應的直線l：x=a2t，結論如何？

命題3 在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）中，過點P（t，0）（0＜t＜a）的直線交橢圓C于A，B兩點，過A作直線l：x=a2t的垂線，垂足為D，O為坐標原點，則（1）若0＜t≤2a2，當AB⊥x軸時，△OBD的面積取最大值且最大值為b（a2+t2）a2－t22ta；

（2）若2a2＜t＜a，當直線AB的斜率為±b2t2－a2時，△OBD的面積取最大值且最大值為ab（a2+t2）4t2.

證明 設橢圓的半焦距為c，直線l與x軸交于Q，直線BD與x軸交于M，線段PQ的中點為E.設過P的直線方程為x=my+t，交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），則Da2t，y1.由x=my+t，b2x2+a2y2-a2b2=0，消去x得，（a2+m2b2）y2+2tmb2y+t2b2－a2b2=0，則y1+y2=－2tmb2a2+m2b2，y1y2=t2b2－a2b2a2+m2b2，且Δ=4a2b2（a2+m2b2－t2）＞0.從而y1－y2=（y1+y2）2－4y1y2=2aba2+m2b2－t2a2+m2b2.

由Et+a2t2，0和B（my2+t，y2）得，ED=a2t－t+a2t2，y1=a2－t22t，y1，EB=my2+t－t+a2t2，y2=2mty2+t2－a22t，y2.則ED∥EB2mty2+t2－a22t·y1=a2－t22t·y2（a2－t2）（y1+y2）=2tmy1y2.將y1+y2=－2tmb2a2+m2b2，y1y2=t2b2－a2b2a2+m2b2代入上式知等式成立，則D，E，B三點共線，從而點M與點E重合，則Mt+a2t2，0.所以S△OBD=S△OMD+S△OMB=12OMy1－y2=12×12t+a2t×2aba2+m2b2－t2a2+m2b2

=ab（a2+t2）a2+m2b2－t22t（a2+m2b2）.

設a2+m2b2－t2=n（n≥a2－t2），則S△OBD=ab（a2+t2）n2t（n2+t2）=ab（a2+t2）2tn+t2n.

（1）若0＜t≤2a2，a2－t2≥t，當n=a2－t2即m=0時，也即當AB⊥x軸時，△OBD的面積取最大值且最大值為b（a2+t2）a2－t22ta；

（2）若2a2＜t＜a，a2－t2＜t，當a2+m2b2－t2=t時，即m=±2t2－a2b時，也即直線AB的斜率為±b2t2－a2時，△OBD的面積取最大值且最大值為ab（a2+t2）4t2.

注：讀者可以類似給出點P在y軸時的結論和證明.

命題4 在圓C：x2+y2=r2（r＞0）中，過點P（t，0）（0＜t＜r）的直線交圓C于A，B兩點，過A作直線l：x=r2t的垂線，垂足為D，O為坐標原點，則

（1）若0＜t≤2r2，當AB⊥x軸時，△OBD的面積取最大值且最大值為（r2+t2）r2－t22t；

（2）若2r2＜t＜r，當直線AB的斜率為±r2t2－r2時，△OBD的面積取最大值且最大值為（r2+t2）r24t2.

命題4可以參考命題3的證明過程給出證明，過程從略.

命題5 在雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a，b＞0）中，過點P（t，0）（t＞a）的直線交雙曲線C于A，B兩點，過A作直線l：x=a2t的垂線，垂足為D，O為坐標原點，則當AB⊥x軸時，△OBD的面積取最小值且最小值為b（a2+t2）t2－a22ta.

命題5可以參考命題3和命題2的證明過程給出證明，過程從略.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.5.

作者簡介 劉才華（1969—），男，山東寧陽人，中學高級教師；從事試題研究和初等數學研究；發表文章300余篇.