“三會”素養目標下的高中數學新定義問題教學探究

【摘 要】

新定義問題是“以能力立意”的問題，讓學生在一個公平的環境里現學現用，充分展示學生的學習能力，更有利于甄別出學生的數學才能，便于拔尖創新人才的選拔．在高考試題不斷改革的過程中，涌現出一批命題形式新穎、多樣，涉及內容廣泛的“新定義”問題．基于學生認知水平和思維發展規律，對于新定義問題的教學需要立足“三會”，設置精細化的問題進行引導，賦予學生充足的思維時間，讓學生學會理解新定義，聯系舊知識，從而應用新定義解決問題，訓練學生思維的深刻性，真正提升數學核心素養．

【關鍵詞】 理解；聯系；應用；新定義；探究

2024年的1月19日，國家教育部考試中心官方命制的九省聯考卷，可謂是一卷激起千層浪．不僅是因為它在題型數量、題型結構、內容布局和難度設置上都有重大變化，而且第19題（最后一題）考查了新定義問題．

所謂“新定義”問題，是指題目涉及中學數學教材中未出現過的、學生未知的新概念、新運算、新公式、新定理等，需要學生利用題干中的信息，現學現用，進行閱讀理解并解答題目^［1］．新定義問題內容新穎，題目中常常伴有“定義”“規定”“則稱”等字眼，題目一般會使用抽象的語言給出新定義、運算或符號，沒有過多的解釋說明．新定義問題需要學生自己揣摩、理解和體會新定義的含義，旨在考查學生的閱讀理解能力、信息遷移能力、應變和創新能力．

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在命題原則中強調，命題應依據學業質量標準和課程內容，注重對學生數學學科核心素養的考查，處理好數學學科核心素養與知識技能的關系，要充分考慮對教學的積極引導作用；在命題中，應特別關注數學學習過程中思維品質的形成，關注學生會學數學的能力^［2］．新定義問題強調數學學習的連續性，其中對新定義的理解程度和新知識的學習效果會受到已有知識、能力基礎和核心素養發展水平的密切影響，因此這種理解新信息、解決新問題的情境可以視為知識、能力、素養等在數學學科內部的一種應用^［3］．

1 望遠山，尋隱路——考情分析心自牢

新定義問題是“以能力立意”的問題，讓學生在一個公平的環境里現學現用，充分展示學生的學習能力，更有利于甄別出學生的數學才能，便于拔尖創新人才的選拔．浙江省在過去19年的自主命題中鮮有類似的新定義問題出現，2023年加入的全國新高考Ⅰ卷也沒有這樣的解答題設置．在實際教學中，師生都處在朦朦朧朧的狀態，因此，教師的教學水平和學生在解決此類問題的能力都有待提高．

創新意識和創新應用是新時代的主旋律，也是高中數學教學與學習中需要不斷滲透與培養的一種基本精神與能力.借助“新定義”，可以巧妙進行數學知識的概念類比、公式設置、性質應用、知識拓展、創新應用等的交匯與融合．

在高考試題不斷的改革過程中，涌現出一批命題形式新穎、多樣，涉及內容廣泛的“新定義”問題，在選擇、填空和解答題中均有出現，筆者結合近幾年的高考題，根據被定義對象的特征，大致可以分為新概念、新性質、新公式、新運算四種類型（如表1）．

（2023北京21題）已知數列{an}，{bn}的項數均為m（m＞2），且

an，bn∈{1，2，…，m}，{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn，并規定A0=B0=0．對于k∈0，1，2，…，m，定義rk=maxi∣Bi≤Ak，i∈{0，1，2，…，m}，其中，maxM表示數集M中最大的數.

（1）若a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，求r0，r1，r2，r3的值；

（2）若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1，j=1，2，…，m-1，求rn；

（3）證明：存在p，q，s，t∈0，1，2，…，m，滿足p＞q，s＞t， 使得Ap+Bt=Aq+Bs.

新性質

題目中通常會給出某種函數、數列、集合等具有的特殊性質，旨在考查學生的理解能力和綜合應用能力

（2020上海21題）：已知有限數列{an}，若滿足|a1-a2|≤|a1-a3|≤…≤|a1-am|，m是項數，則稱{an}滿足性質P．

（1）判斷數列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性質P，請說明理由；

（2）若a1=1，公比為q的等比數列，項數為10，具有性質P，求q的取值范圍；

（3）若{an}是1，2，…，m的一個排列（m≥4），{bn}符合bk=ak+1（k=1，2，…，m-1），{an}，{bn}都具有性質P，求所有滿足條件的{an}.

新公式

題目中通常給出教材中從未出現過的數學公式，旨在考查學生的數學運算能力

（2020新高考Ⅰ卷6題）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：I（t）=e^rt描述累計感染病例數I（t）隨時間t（單位：天）的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為（ln2≈0.69）（" ）.

A．1.2天""""" B．1.8天 """"""C．2.5天""""" D．3.5天

新運算

題目中通常將一個特殊符號和已知運算結合起 來表示一種新的運算，需要學生深刻理解所定義的運算法則和運算過程

（2020北京10題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（πDay）．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似．數學家阿爾·卡西的方法是：當正整數n充分大時，計算單位圓的內接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術平均數作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達式是（" ）.

A．3nsin30°n+tan30°n"""""""" B．6nsin30°n+tan30°n

C．3nsin60°n+tan60°n"""""""" D．6nsin60°n+tan60°n

以下筆者通過一節數列新定義問題探究案例，將對新定義問題教學的理解與思考所得，融入熱身練習、典例探究、應用遷移、歸納小結等課堂實踐環節，以期與同仁探討交流．

2 方向明，路自定——案例設計穩步行

2.1 熱身練習，初步體驗

（2004·北京）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數A，那么這個數列叫做等和數列，這個常數A叫做該數列的公和．已知數列{an}是等和數列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為"" ，且這個數列的前21項和S21的值為"" ．

問題1：等和數列這個定義能用數學的符號語言來描述嗎？

問題2：等和數列與我們學過的數列哪個性質有關？

評注 本題新定義的“等和數列”本質是一個周期數列，通過理解新定義的內涵，聯系以前所學的知識，運用所學的數列通項、求和等相關知識和思想解決．從題目中初步體會解決新定義問題的過程（如圖1）．

2.2 典例探究，深入感悟

例題 （2020上海21題改編）已知有限數列{an}，若滿足|a1-a2|≤|a1-a3|≤…≤|a1-am|，m是項數，則稱{an}滿足性質P．

（1）判斷數列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性質P，請說明理由；

（2）若a1=1，公比為q（q＞-1）的等比數列，項數為10，具有性質P，求q的取值范圍；

（3）若{an}是1，2，…，m的一個排列（m≥4），{bn}符合bk=ak+1（k=1，2，…，m-1），{an}，{bn}都具有性質P，求所有滿足條件的{an}．

問題3：有限數列{an}滿足性質P的規則是什么？

生1：有限數列{an}滿足性質P需要滿足不等式|a1-a2|≤|a1-a3|≤…≤|a1-am|，即從第二項開始，每一項與第一項的差的絕對值不遞減．

那么對于第（1）問，我們把具體數列加以代入檢驗：

第一個數列：|2-3|=1，|5-3|=2，|1-3|=2，符合規則|a1-a2|≤|a1-a3|≤…≤|a1-am|，所以第一個數列具有性質P；

第二個數列：|3-4|=1，|2-4|=2，|5-4|=1，|1-4|=3，不符合新定義規則，所以第二個數列不具有性質P.

評注 從簡單問題出發，學生比較容易弄清楚新定義中的數學知識條件和結論之間的聯系，有利于激發學生內在的學習動機，有利于所學知識的內化和遷移，在具體操作過程中會有新發現、新收獲、新思考（如圖2）．

問題4：對于第（2）問的等比數列具有性質P，你如何用符號語言來描述？

生2：利用等比數列通項公式，可以得到|1-q|≤|1-q2|≤…≤|1-q9|．

問題5：如何處理這一串不等式？

生3：分別解8個不等式似乎不大可能，那么我們嘗試可以構造一個新的數列進行解決．

令cn=|1-qn|，n=1，2，…，9，數列cn不遞減，即|1-q^n-1|≤|1-qn|，n=2，3，…，9．

問題6：公比q在什么范圍內，該不等式成立？

生4：要判斷絕對值內式子的正負，我們可以嘗試討論，因為q＞-1，所以我們可以分三種情況：

①當q≥1時，原不等式等價于q^n-1-1≤qn-1，即q≥1成立；

②當0＜q＜1時，原不等式等價于1-q^n-1≤1-qn，即qn≤q^n-1，所以0＜q＜1成立；

③當-1＜q＜0時，顯然原來不等式不一定成立．

問題7：這個新定義的規則是以絕對值的形式給出的，你能聯想到什么幾何性質嗎？

生5：從第二項開始，每一項與首項的距離越來越遠．從幾何角度解釋如下：

①當q≥1時，，符合規則；

②當0＜q＜1時，，也符合規則；

③當-1＜q＜0時，，顯然是不符合的．

問題8：第（2）問我們從代數角度和幾何角度兩個方面解決了這個問題，那么對于第（1）問，我們是否有新的體會？

生6：第（1）問我們剛剛從代數角度進行計算，從幾何角度解釋如下：

第一個數列3，2，5，1：

；

第二個數列4，3，2，5，1：

．

問題9：已知{an}是首項為1，公差為d（d≠0）的等差數列，項數為10，是否一定具有性質P？

生7：由已知，an=a1+（n-1）d=（n-1）d+1，|an-a1|=（n-1）|d|（n=1，2，…，10）單調遞增，所以數列{an}具有性質P．

生8：從幾何角度看，不管d是正是負，從第二項開始，每一項與首項的距離肯定是越來越遠，所以數列{an}具有性質P．

評注 章建躍博士指出，知識的發生發展過程孕育數學思想方法，“思想”是概念的靈魂，是數學素養的源泉，是技能到能力的橋梁．通過一系列問題引導，讓學生經歷從認識到理解，再到應用的過程，解題思路自然生成（如圖3）．

圖3 第（2）問解題策略

問題10：對于第（3）問，你能試著舉出一個滿足條件的{an}嗎？

生9：1，2，3，…，m.

生10：m，m-1，m-2，…，2，1.

生11：2，1，3，4，…，m.

生12：m-1，m，m-2，m-3，…，2，1.

問題11：你還能舉出其他符合條件的{an}？如果不能，如何說明？

生13：其他好像沒有了．設a1=p，p∈{3，4，…，m-3，m-2}.

若數列{an}具有性質P，則它的前5項可以是：

①p，p-1，p+1，p-2，p+2，

則{bn}的前4項為p-1，p+1，p-2，p+2，|b1-b2|＞|b1-b3|，與{bn}具有性質P矛盾；

②p，p+1，p-1，p-2，p+2，

則{bn}的前4項為p+1，p-1，p-2，p+2，|b1-b3|＞|b1-b4|，與{bn}具有性質P矛盾；

③p，p-1，p+1，p+2，p-2，

則{bn}的前4項為p-1，p+1，p+2，p-2，|b1-b3|＞|b1-b4|，與{bn}具有性質P矛盾；

④p，p+1，p-1，p+2，p-2，

則{bn}的前4項為p+1，p-1，p+2，p-2，|b1-b2|＞|b1-b3|，與{bn}具有性質P矛盾．

所以滿足條件的{an}只有上面列舉出來的4種．

問題12：在整個試題的探究和解決過程中，哪些步驟讓你印象深刻？對你以后解決新定義問題有什么啟發？

生14：我們可以從代數和幾何兩個角度考慮問題，通過特殊情況探路，從而獲得解題思路（如圖4）．

評注 本題新定義的數列性質P，從代數角度理解就是與首項差的絕對值越來越大，從幾何角度理解就是與首項的距離越來越遠，數與形兩個角度全面把握新定義的核心．三個問題層層遞進，從特殊到一般，從已知到未知，從模糊到清晰，在探究過程中體會并總結解決新定義問題的經驗，深刻體驗、感悟、內化數學思想方法，真正發展思維能力（如圖5）．

2.3 應用遷移，能力提升

課堂練習 給定無窮數列{an}，若無窮數列{bn}滿足：對任意n∈N，都有|bn-an|≤1，則稱{bn}與{an}“接近”．

（1）設{an}是首項為1，公比為12的等比數列，bn=an+1+1，n∈N，判斷數列{bn}是否與{an}接近，并說明理由；

（2）設數列{an}的前四項為：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一個與{an}接近的數列，記集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的個數m．

評注 希爾伯特說過，“代數符號是文字化的圖形，幾何圖形則是圖象化的公式”．本題的解決旨在讓學生運用例題總結的經驗和方法，在運用的過程中，再次從數和形兩個角度理解新定義，把握新定義的核心．

2.4 歸納總結，回顧反思

拿到新定義問題，首先不要慌，大部分新定義問題的本質是信息處理，把題中的符號語言首先通過賦值、舉例、列舉、畫圖等手段轉化成自己熟悉的文字語言，進而通過推理、檢驗、證明等方式轉化成符號語言進行解答（如圖6）．

3 征途漫，歲月長——教學反思乘風破

學生思維能力的發展，是一個從淺表走向深層，從低階走向高階，從復制走向創造的過程．基于學生認知水平和思維發展規律，對于新定義問題的教學需要立足“三會”，設置精細化的問題進行引導，賦予學生充足的思維時間和空間，去整合知識間的聯系，讓學生的數學學習體現挑戰性、綜合性和創造性，真正實現提升數學核心素養的目的．

3.1 用數學的眼光觀察，理解新定義

現代教育心理學家布魯納認為：“認識是一個過程，而不是一個結果．”數學知識之間不是相互割裂的，而是相互聯系、有機結合的，不同知識、能力的綜合運用是考查數學核心素養發展水平的重要途徑．新定義問題的特點是基于某種現實問題背景或學術問題背景，給出一些新概念，要求學生理解概念，在新穎、陌生的情境中主動思考，將新知識與自己已掌握的學科知識建立聯系，進而通過分析解決問題^［3］．

教學中要通過新定義問題例題為學生構建層層遞進的學習過程，通過精讀題中的每個信息，包括文字和符號，深刻理解其中的核心知識，深化認知層次．教師應該根據知識之間的內在聯系，把數學知識里復雜的、隱藏的內涵層層分析，多方位、多角度地仔細“觀察”，進一步訓練學生思維的深刻性．

3.2 用數學的思維思考，轉化新定義

《課標》在實施的教學建議中強調，教師要加強學習方法指導，幫助學生養成良好的數學學習習慣，敢于質疑、善于思考，理解概念、把握本質，數形結合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關聯．數學新定義問題的教學主要任務是教會學生解題，其基本含義是引導學生“通過典型數學問題的學習，去經歷或探索數學問題解決的規律，學會像數學家那樣‘數學地思考’”^［4］．

教師在教學過程中要注重知識之間的內在聯系，讓學生遵守思維規律，養成嚴謹的思維習慣；重視數學知識的不斷構建，培養全面的邏輯思維能力；關注數學知識的綜合體系，養成良好的思維習慣，將學生的思維引向深入．

3.3 用數學的語言表達，應用新定義

著名作家王蒙曾說：“數學充滿了想象，充滿了智慧，充滿了創造，充滿了和諧，充滿了情感，充滿了挑戰．數學中那些抽象枯燥的符號后面蘊含著的是一個極為豐富多彩的精神世界．”數學語言是數學思維和數學知識的重要載體，是學生數學思維能力提升的重要途徑．

在新定義教學過程中教師需要加強讀題訓練，鍛煉語言識別，強化數學理解，重視語言轉換，提升語言表達．以學生發展為本，以核心素養為導向，讓學生經歷思考、交流、傾聽、表達等過程．

在實際解決新定義問題時，能把文字語言、符號語言和圖形語言三種形態相結合，注重表達的準確性、邏輯性、簡潔性和專業性．

對于高中數學新定義問題，教師應與學生一起剖析相關例題，使其認真體會解題的具體過程，尤其要引導學生認真閱讀題目，吃透題意，弄清楚題干中相關參數之間的聯系，積極運用轉化思想，化陌生為熟悉，實現問題的有效突破．教師的教學應讓設計的每一個問題都引導學生，讓課堂的每一分鐘都體現出價值，讓教學的每個過程都體現出作用，讓課堂上的每個學生都體會數學的魅力，使學生的數學思維得以發展，學生的關鍵能力得以提升，學生的核心素養得以落地.

參考文獻

[1]魏巍．2015年高考數學中的新定義型試題例析[J]．中學數學雜志，2015（9）：6061．

[2]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M]．北京：人民教育出版社，2020.

[3]趙軒，任子朝，翟嘉祺．高考數學科情境化試題設計研究[J]．數學通報， 2021（12）：13．

[4]羅增儒．解題教學是解題活動的教學[J]．中學數學教學參考，2020（11）：25．

作者簡介

施娟男（1981—），女，浙江桐鄉人，中學高級教師，浙江省首批網絡名師工作室學科帶頭人，嘉興市第十三批、第十四批教學學科帶頭人；曾獲浙江省高中數學教學論文評比一、二、三等獎，獲嘉興市優質課評比一等獎多次，承建省級精品課程多個，主持多個嘉興市級課題；研究方向為高中數學教學.