創(chuàng)新視角下研究型教學(xué)實(shí)踐探究

摘" 要：在快速發(fā)展的新時(shí)代背景下，創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力成為當(dāng)代青年大學(xué)生必備的基本素質(zhì)之一。大學(xué)數(shù)學(xué)作為通識基礎(chǔ)課程，亟需改革當(dāng)前教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，訓(xùn)練創(chuàng)新思維。該文主要通過深挖教材中基本概念和課程背景所蘊(yùn)含的內(nèi)在創(chuàng)新思想、實(shí)施多角度多方位的結(jié)論追問式研究型教學(xué)、訓(xùn)練不同方法不同思路的一題多解多變的發(fā)散性思維和基于開放性問題培養(yǎng)創(chuàng)新思維等途徑，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中實(shí)施創(chuàng)新思維訓(xùn)練，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提升他們的創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新;大學(xué)數(shù)學(xué);研究型教學(xué);發(fā)散思維;教學(xué)改革

中圖分類號：G642" " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " 文章編號：2096-000X（2025）05-0072-04

Abstract： Under the background of the new era of rapid development， innovative thinking and innovative ability have become one of the necessary basic qualities of contemporary young college students. As one of the basic courses， College Mathematics are urgently needed to reform the current teaching mode， stimulate students' subjective initiative and train innovative thinking. This paper mainly deep into the internal innovative ideas contained in the basic concepts and curriculum background in the teaching materials， implement multi angle and multi-directional conclusion inquiry research-based teaching， and train the divergent thinking of multiple solutions to one problem with different methods and ideas， and cultivate innovative thinking based on open questions. Through these ways， the innovative thinking training is carried out in the process of College Mathematics teaching in order to cultivate students' innovative consciousness and improve their innovative ability.

Keywords： innovation; College Mathematics; research-based teaching; divergent thinking; teaching reform

創(chuàng)新是一個(gè)民族發(fā)展進(jìn)步的靈魂，是國家興旺發(fā)達(dá)的動(dòng)力。黨的二十大報(bào)告明確提出科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力，加強(qiáng)基礎(chǔ)研究，突出原創(chuàng)，激勵(lì)自由探索，加快實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略。國家“十四五”規(guī)劃中也要求加強(qiáng)創(chuàng)新人才培養(yǎng)力度，加強(qiáng)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育，培養(yǎng)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)精神和能力。當(dāng)代青年大學(xué)生的創(chuàng)新能力提升是國家創(chuàng)新能力提升的重要組成部分，高校作為國家培養(yǎng)高素質(zhì)人才的搖籃，通過設(shè)計(jì)創(chuàng)新教育課程和“雙創(chuàng)”項(xiàng)目，開展科研項(xiàng)目和社會(huì)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和提出問題、分析問題，培養(yǎng)解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維[1-3]。

二十世紀(jì)以來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)管理的進(jìn)步，數(shù)學(xué)應(yīng)用化的趨勢越來越明顯。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式偏重于理論知識的傳授，缺乏與實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合，亟需進(jìn)行教學(xué)改革，將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，使學(xué)生能夠應(yīng)對復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題[4-7]。數(shù)學(xué)最能激起人們的自由創(chuàng)造本能，數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法是一切創(chuàng)造發(fā)明的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思維是科學(xué)創(chuàng)新的思維方法。大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，是財(cái)經(jīng)類院校各專業(yè)培養(yǎng)過程中非常重要的系列公共基礎(chǔ)課，對學(xué)生理性思維、創(chuàng)新能力與綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)起著十分重要的作用，是保障高校人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)。如何充分發(fā)揮大學(xué)數(shù)學(xué)在創(chuàng)新型人才培養(yǎng)中的作用，培養(yǎng)提升大學(xué)生的創(chuàng)新能力，一直是廣大高校數(shù)學(xué)教育工作者持續(xù)研究關(guān)注的熱點(diǎn)課題[8-14]。在日常教學(xué)中實(shí)施研究型教學(xué)方式培養(yǎng)創(chuàng)新思維，通過引導(dǎo)提問、課堂互動(dòng)、項(xiàng)目學(xué)習(xí)等方式激發(fā)他們的創(chuàng)造力和自主學(xué)習(xí)能力，有助于學(xué)生的綜合素質(zhì)提升和未來發(fā)展，提升他們?nèi)蘸笤诟鱾€(gè)領(lǐng)域的競爭力和適應(yīng)能力。

一" 概念悟深悟透徹

在大學(xué)數(shù)學(xué)課程教材中，每一門課程的背后都蘊(yùn)含著創(chuàng)新思維，每一個(gè)基本概念都是創(chuàng)新思維的成功碩果。大學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)本身就是一種創(chuàng)新活動(dòng)的再現(xiàn)。每一部分內(nèi)容的教與學(xué)，學(xué)生都要面對新問題，探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程就是解決問題的過程。其中所用到的無論是思維方式還是研究手段本身都是一個(gè)創(chuàng)新的過程。大學(xué)數(shù)學(xué)講授的每一個(gè)概念，都蘊(yùn)含著豐富的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新理念，不僅能夠拓寬我們對事物和現(xiàn)象的認(rèn)知，還能夠優(yōu)化我們思考問題的方式和解決問題的策略。在引入新的概念時(shí)，可以提出與常規(guī)思維不同的問題，鼓勵(lì)學(xué)生思考問題時(shí)不拘泥于傳統(tǒng)的思維模式，尋找解決途徑。也可以設(shè)計(jì)一些讓學(xué)生自主思考和探索的問題，鼓勵(lì)他們運(yùn)用已學(xué)概念進(jìn)行推理、建模和解決問題。這些問題可以涉及實(shí)際應(yīng)用、跨學(xué)科領(lǐng)域或前沿研究，激發(fā)學(xué)生提出新的觀點(diǎn)和方法。還可以引導(dǎo)學(xué)生探究概念的來龍去脈，理解概念的產(chǎn)生和發(fā)展背后的思維過程，思考其局限性和可能的改進(jìn)方向，從而培養(yǎng)學(xué)生對既有概念的創(chuàng)新思維。將數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問題相結(jié)合，讓學(xué)生思考如何將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到實(shí)際情境中解決問題。總之，通過深入挖掘概念的原創(chuàng)性和概念的應(yīng)用性，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生開辟出新的研究方向、探索新的應(yīng)用領(lǐng)域，并為社會(huì)創(chuàng)造更多的價(jià)值和益處。

在講授高等數(shù)學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)的背景知識及其實(shí)際應(yīng)用，如英國科學(xué)家牛頓的代表作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，書中運(yùn)用了大量的微積分知識并提出了著名的萬有引力定律。講授概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)時(shí)，可介紹1997年兩位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者——羅伯特·默頓和邁倫·斯克爾斯，他們利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，創(chuàng)立和發(fā)展了經(jīng)典的B-S期權(quán)定價(jià)模型。在講授微積分中微分的概念時(shí)，教師可以提出這樣的問題：“地球表面是一個(gè)近似球面，可為什么我們平常看到的卻是平面呢？”這里蘊(yùn)含著分割、近似和極限的思想，既幫助學(xué)生理解抽象數(shù)學(xué)概念，也開啟了學(xué)生的創(chuàng)新意識。同時(shí)，在教學(xué)過程中，將理論知識與實(shí)際問題相結(jié)合，通過實(shí)際案例、模擬實(shí)驗(yàn)或者真實(shí)數(shù)據(jù)的分析，讓學(xué)生親身參與到數(shù)學(xué)問題的解決中，培養(yǎng)他們的實(shí)踐創(chuàng)新能力。在概念的理解、運(yùn)用上，做到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉融合，例如將數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等結(jié)合起來，讓學(xué)生在解決跨學(xué)科問題中發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，培養(yǎng)綜合學(xué)科素養(yǎng)，夯實(shí)創(chuàng)新基礎(chǔ)。

二" 結(jié)論多問多思考

問題是創(chuàng)新的起點(diǎn)，也是創(chuàng)新的動(dòng)力源。在課堂教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生批判性學(xué)習(xí)教材課本上的定理結(jié)論，激發(fā)學(xué)生的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生多問幾個(gè)為什么，讓學(xué)生能從中感悟創(chuàng)新思維，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。通過多問問題，促使學(xué)生深入思考，并獲得更全面的信息和不同的觀點(diǎn)，有助于形成較為全面準(zhǔn)確的理解，并在得出結(jié)論時(shí)會(huì)考慮到各種因素。多思考意味著我們不僅僅接受表面上的事實(shí)和信息，還要思考其背后的原因、影響和可能的結(jié)果。這種深入思考可以幫助我們發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，理解事物的內(nèi)在邏輯，并從中得出有價(jià)值的結(jié)論，可以避免片面和膚淺的結(jié)論，提高問題解決的質(zhì)量和創(chuàng)造性，有助于培養(yǎng)批判性思維、創(chuàng)新思維和問題解決能力，使我們能夠更好地應(yīng)對復(fù)雜的挑戰(zhàn)。因此，多問多思考是培養(yǎng)深度思考和分析能力的關(guān)鍵，它能夠幫助我們更好地理解問題和現(xiàn)象，并提出更準(zhǔn)確、全面的結(jié)論。

例如，考察交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法結(jié)論：已知交錯(cuò)級數(shù)（-1）un （ungt;0）滿足

①un≥un+1，②un=0，

則交錯(cuò)級數(shù)（-1）un收斂。

這個(gè)結(jié)論的逆否命題是什么？否命題和逆命題是什么？它們是否成立？拋出這些問題，充分發(fā)揮學(xué)生的課堂主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生的能動(dòng)性，參與課堂教學(xué)。教師鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，提出異議，哪怕走入“誤區(qū)”，相互提問，一起研究思考，證明正確的結(jié)論，對于不正確的結(jié)論找出相應(yīng)的反例。比如：在考慮否命題時(shí)，就要鼓勵(lì)學(xué)生找到兩個(gè)否命題。

否命題1：已知交錯(cuò)級數(shù)（-1）un （ungt;0）滿足：

①un不滿足單調(diào)遞減，②un=0，

則交錯(cuò)級數(shù)（-1）un發(fā)散。

否命題2：已知交錯(cuò)級數(shù)（-1）un （ungt;0）滿足

①un≥un+1，②un不存在或存在但un≠0，

則交錯(cuò)級數(shù)（-1）un發(fā)散。

在教學(xué)過程中，通過課堂討論、猜測、論證，然后得出否命題1結(jié)論是錯(cuò)誤的，舉出反例，如：考察交錯(cuò)級數(shù)（-1）un，其中

un=

，n=2k-1

，n=2k。

顯然un不滿足單調(diào)遞減，運(yùn)用數(shù)列極限的性質(zhì)驗(yàn)證滿足條件un=0，同時(shí)可以利用級數(shù)斂散性判別其一定絕對收斂，從而說明否命題1的不正確。此處鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮各自的發(fā)散性思維，圍繞un不滿足單調(diào)遞減條件舉出不同例子來驗(yàn)證否命題1的真?zhèn)涡浴?/p>

對于否命題2，引導(dǎo)學(xué)生回歸級數(shù)的基本定義和性質(zhì)，溫故而知新，用反證法，可證結(jié)論的正確性，在掌握級數(shù)收斂的定義和性質(zhì)基礎(chǔ)上加強(qiáng)對解決具體問題能力的培養(yǎng)。對于同一個(gè)命題的否命題的正確與否判別，此例給出了很好的詮釋，不僅加深了對原來交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法的理解，還培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新思維。

三" 題目多解多推廣

在數(shù)學(xué)課程的研究型教學(xué)過程中，體現(xiàn)比較明顯的就是一題多解或者推廣應(yīng)用，促使學(xué)生從不同角度、不同層次分析問題，在鞏固原來知識的基礎(chǔ)上整合解決問題的思路和策略，訓(xùn)練拓寬思維空間。在遇到一些比較典型例題的時(shí)候，充分發(fā)揮一題多解，將知識體系進(jìn)行關(guān)聯(lián)、比較，升華知識體系的認(rèn)知和重構(gòu)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，鍛煉創(chuàng)新能力。

例如，證明不等式：≥，a，b，c∈R。

證法1（分析法）：

≥?（a+b+c）3≥27abc

?（a+b+c）（a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc）≥27abc，

因?yàn)閍2+b2+c2≥ab+ac+bc，所以有

上式成立?（a+b+c）（3ab+3ac+3bc）≥27abc

?（a+b+c）（ab+ac+bc）≥9abc

?a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b≥6abc

?a2b+c2b-2abc+a2c+b2c-2abc+b2a+c2a

?b（a-c）2+c（a-b）2+a（b-c）2≥0-2abc≥0，

因?yàn)閍，b，c∈R，所以得證不等式成立。

不等式證明中，分析法比較常用。分析法可以幫助我們對不等式進(jìn)行邏輯分析，找到不等式的關(guān)鍵點(diǎn)和特征，為證明提供線索和思路， 通過分析不等式中的元素和關(guān)系，可以選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法和工具，靈活運(yùn)用各種運(yùn)算規(guī)則、特殊技巧和變形方法，推導(dǎo)出結(jié)論的等價(jià)形式。一般用分析法得到證明思路，再用綜合法進(jìn)行證明。顯然，這種初等證明方法容易理解掌握，但計(jì)算展開很復(fù)雜，不妨發(fā)散思維，運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法，利用函數(shù)的凹凸性來證明。

證法2（函數(shù)構(gòu)造法）：構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx，可以證明對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)性質(zhì)，對任意a，b，c∈R有

f（）≥，

也即ln≥。

利用對數(shù)性質(zhì)化簡，即可證得不等式

≥，a，b，c∈R成立。

證明完畢，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)凸函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用發(fā)散性思維進(jìn)行，將上述結(jié)論推廣到有限個(gè)正數(shù)情形，從而更深刻領(lǐng)悟本次教學(xué)的知識目標(biāo)，提高解決具體問題的能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維。

推廣1：對任意ai∈R，i=1，2，…，n ，有

這就是著名的詹森（Jensen）不等式，高中常見不等式的推廣，引導(dǎo)學(xué)生回顧高中時(shí)期的證明方法，將創(chuàng)新的思維扎根“基層”。

推廣2：令ai=∈R，則由推廣1，調(diào)和平均、幾何平均和算術(shù)平均三者之間的連不等式關(guān)系

在此基礎(chǔ)上，可以再次引導(dǎo)學(xué)生考慮加權(quán)平均，得到下列更一般的結(jié)論。

推廣3：對任意正數(shù)λi，ai，i=1，…，n，且λi=1，有

f

λi ai≥λi f（ai），化簡整理即得

式中：" " " " " " " " " " " 。同樣也有

此推廣結(jié)果，相對最初的不等式，有了更高層次的內(nèi)涵。整個(gè)引導(dǎo)、分析的研究型教學(xué)過程也極大訓(xùn)練了學(xué)生的創(chuàng)新思維。

四" 開放問題多考察

開放性問題是創(chuàng)新的起點(diǎn)，也是創(chuàng)新的動(dòng)力源。開放性問題沒有明確答案或者可以有多種答案，與閉合性問題相比，開放性問題更加靈活，更具創(chuàng)造性。這種問題通常要求人們進(jìn)行深入思考、調(diào)查研究、搜集信息和嘗試不同的方法才能得出答案。開放性問題有助于培養(yǎng)人們的批判性思維、創(chuàng)造力和解決問題的能力。采取不同方式進(jìn)行開放性問題的設(shè)計(jì)與考察，有助于打破傳統(tǒng)的思維模式和定式觀念，幫助學(xué)生更好地理解知識，應(yīng)對復(fù)雜的挑戰(zhàn)和問題，激發(fā)創(chuàng)造力和創(chuàng)新能力，激勵(lì)學(xué)生在相互學(xué)習(xí)、相互競技中勇于嘗試新的想法、方法和途徑，提升創(chuàng)新水平。

在設(shè)計(jì)章節(jié)測驗(yàn)或者作業(yè)的時(shí)候，設(shè)計(jì)開放性問題。簡單的有章節(jié)思維導(dǎo)圖，針對所學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行對比，比如總結(jié)歸納一元函數(shù)的微分學(xué)和二元函數(shù)的微分學(xué)，對比高中平面解析幾何和大學(xué)空間解析幾何之間的差異。深入的有要求學(xué)生自主選擇一個(gè)數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)象進(jìn)行探究和研究，需要提出假設(shè)、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)或調(diào)查方法，并通過數(shù)據(jù)和分析來回答問題或得出結(jié)論。我們也可以進(jìn)行數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)方法對其進(jìn)行分析和求解，要求學(xué)生將數(shù)學(xué)原理和概念與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，并且能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題。我們還可以進(jìn)行科研項(xiàng)目探究，選擇一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ｎ}進(jìn)行深入研究，要求學(xué)生調(diào)查相關(guān)文獻(xiàn)、分析數(shù)據(jù)、提出新的觀點(diǎn)或解決新問題，并撰寫研究報(bào)告，將研究成果進(jìn)行系統(tǒng)的呈現(xiàn)。

數(shù)學(xué)類開放性問題主要體現(xiàn)在實(shí)際問題的項(xiàng)目研究，考核主要采取過程性考核，以學(xué)生解決特定問題的方案的優(yōu)劣作為主要考核點(diǎn)，給學(xué)生的反饋也主要聚焦于學(xué)生的解決方案還可以如何進(jìn)一步改進(jìn)。一般的教學(xué)內(nèi)容考核評價(jià)，主要是考察學(xué)生的計(jì)算、推理、記憶和應(yīng)用能力，無法反映學(xué)生創(chuàng)新研究能力的進(jìn)步。研究型教學(xué)過程中設(shè)置開放性問題，一般按照分組方式以項(xiàng)目形式布置，通過從實(shí)際問題出發(fā)、資料搜集整合、小組分析研討，形成問題方案，培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生自主學(xué)習(xí)、協(xié)同合作的能力和批判創(chuàng)新的思維。教師也要做好問題設(shè)計(jì)流程引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象歸納學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在特定問題下搜索和整合相關(guān)知識和信息的活動(dòng)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)及成果及時(shí)提供過程性反饋，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)小組合作空間并做合作學(xué)習(xí)引導(dǎo)。

五" 結(jié)束語

創(chuàng)新思維不可能一蹴而就，而是需要一個(gè)循環(huán)漸進(jìn)、不斷實(shí)踐訓(xùn)練養(yǎng)成的過程。以學(xué)生為主體、老師為主導(dǎo)的研究型教學(xué)，主要是以問題為導(dǎo)向，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，將顯性的課堂教學(xué)和隱性的創(chuàng)新能力結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新思維訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，成為新時(shí)代拔尖創(chuàng)新人才。

如何優(yōu)化大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與創(chuàng)新思維訓(xùn)練之間的銜接，擺脫大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中創(chuàng)新思維訓(xùn)練的時(shí)間和空間束縛？這些都是我們正在努力的方向之一，準(zhǔn)備以大學(xué)數(shù)學(xué)過程性評價(jià)為抓手，及時(shí)給予學(xué)生反饋，注重對學(xué)生的思維過程和解決問題的方法進(jìn)行評估，引導(dǎo)他們不斷完善和改進(jìn)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)和反思能力，充分發(fā)揮智慧教育平臺(tái)的優(yōu)勢，利用計(jì)算機(jī)軟件、數(shù)據(jù)分析工具等現(xiàn)代技術(shù)手段輔助教學(xué)，深化研究型教學(xué)改革實(shí)踐。

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基金項(xiàng)目：江蘇省高校智慧教育與教學(xué)數(shù)字化轉(zhuǎn)型研究專項(xiàng)課題“新常態(tài)下基于超星泛雅平臺(tái)的大學(xué)數(shù)學(xué)智慧教學(xué)模式探究”（2022ZHSZ57）;南京審計(jì)大學(xué)教改重點(diǎn)課題“國際化新商科高階能力培養(yǎng)視角下高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究與實(shí)踐”（2020JG160）;南京審計(jì)大學(xué)國際聯(lián)合審計(jì)學(xué)院課程建設(shè)“《高等數(shù)學(xué)》”（2020GJKC04）

第一作者簡介：余宏旺（1977-），男，漢族，安徽桐城人，博士，副教授。研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)控制。