巧解四類不等式（組）中的字母系數(shù)問題

摘 要：不等式（組）是現(xiàn)實生活中不等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示形式，它既是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，又是后續(xù)高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)．近幾年，全國各地中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)求解一些含字母系數(shù)的不等式（組）問題，這類問題綜合性較強，對學(xué)生而言具有一定的難度.究其原因，學(xué)生在短時間內(nèi)不能有效理解題意，或是缺少解決此類問題的策略，或是字母系數(shù)問題分類討論考慮不全面而功虧一簣．基于此，筆者以近幾年中考試題為例，探析此類問題的解法．

關(guān)鍵詞：不等式（組）；字母系數(shù)；取值范圍

中圖分類號：G632 ""文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"""文章編號：1008-0333（2025）02-0038-03

收稿日期：2024-10-15

作者簡介：魏士龍，碩士，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一元一次不等式（組）是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年全國各地中考的熱點問題，倍受命題者青睞，特別是含有字母系數(shù)的不等式問題，其涉及的知識點較多，難度較大，對學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性.筆者以近幾年全國各地中考試題為例，分類說明這類問題的處理策略，供讀者參考.

1 已知方程（組）的解，確定字母的范圍

在不等式問題中，如果已知方程（組）的解，欲確定字母系數(shù)的取值范圍，可先把字母系數(shù)當(dāng)成已知量，把方程（組）的解用字母系數(shù)表示，然后根據(jù)解的限制條件列出關(guān)于字母系數(shù)的不等式（組），通過解不等式（組）即可求出字母系數(shù)的取值范圍．

例1 已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x-3y=5，x-2y=k的解滿足x＞y，求k的取值范圍．

變式1 如果這個二元一次方程組的解滿足條件x＞-1，y＞1，求k的取值范圍．

分析 本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的解法，用系數(shù)k表示x，y，實際上是把系數(shù)k看作已知數(shù)，解關(guān)于x，y的二元一次方程組，然后解關(guān)于系數(shù)k的一元一次不等式組即可.

解 先解關(guān)于x，y的二元一次方程組2x-3y=5，①x-2y=k.②

由①-②×2，得y=5-2k.③

將③代入②，得x=10-3k.

根據(jù)題意，可得10-3k＞-1，④5-2k＞1 . "⑤

由④可得k＜113.由⑤可得k＜2.

綜上所述，k的取值范圍為k＜2.

變式2 如果這個一元二次方程組的解滿足條件x-y＞0，求k的取值范圍．

解法1 由變式1可知，x=10-3k，y=5-2k，從而可得x-y=5-k，即得k＜5．

解法2 先用加減法求得x-y的值，它是含k的代數(shù)式，然后再列不等式求解即可．具體過程為：由①-②可得x-y=5-k，即得k＜5．

變式3 如果這個一元二次方程組的解滿足條件0＜x-y≤2，求k的取值范圍．

解 先用加減法求得x-y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．具體過程為：由①-②可得x-y=5-k.因為0＜x-y≤2，所以0＜5-k≤2，解3≤k＜5．

點評 本題主要考查二元一次方程組及一元一次不等式（組）的解法，求得用含k的式子表示x-y的值是解題的關(guān)鍵．

2 已知不等式（組）的解集，確定字母的取值

若已知不等式（組）的解集，要求字母系數(shù)的值或取值范圍，應(yīng)先把字母系數(shù)當(dāng)成已知量，將不等式（組）解集用字母系數(shù)表示，再把字母系數(shù)的解集與已知解集比較，從而確定字母系數(shù)的值或取值范圍．

例2 如果關(guān)于x的一元一次不等式組x＜3a+2，x＜a-4的解集是x＜a-4，求a的取值范圍.

解 因為不等式組x＜3a+2，x＜a-4的解集是x＜a-4，所以x＜a-4，則3a+2≥a-4，解這個不等式可得a的取值范圍為a≥-3．

例3 關(guān)于x的不等式組2x-4＞0 ，a-x＞-1的解集是2＜x＜4，求a的值.

分析 欲解決此問題，需分別求出不等式組中兩個不等式的解集，然后根據(jù)題意得到關(guān)于a的方程，解之即可．

解 由2x-4＞0，得x＞2.由a-x＞-1，得x＜a+1.因為不等式組的解集為2＜x＜4，所以a+1=4，即a=3［1］．

例4 若關(guān)于x的一元一次不等式組2（x-1）＞2，a-x＜0的解集是x＞a，求a的取值范圍.

解 解關(guān)于x的一元一次不等式組2（x-1）＞2，a-x＜0可得x＞2，x＞a.因為解關(guān)于x的不等式組2（x-1）＞2，a-x＜0的解集是x＞a，所以a≥2．

點評 本題主要考查一元一次不等式組的解法，正確求出每一個不等式解集是解決本題的基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小解不了”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

3 根據(jù)不等式（組）是否有解確定字母的范圍

在不等式問題中，如果已知不等式組有解或無解，欲確定字母系數(shù)的取值范圍，首先要求出不等式組中每一個不等式的解集，然后根據(jù)不等式組的解集的判斷方法，有解就是兩者在數(shù)軸上的公共部分，無解就是兩者在數(shù)軸上沒有公共部分，從而確定字母系數(shù)的取值范圍．

例5 若關(guān)于x的不等式組2x-6+m＜0，4x-m＞0有解，則在其解集中，整數(shù)的個數(shù)不可能是（ "）

A．1 ""B．2 ""C．3 """D．4

分析 先分別求出每一個不等式的解集，再根據(jù)不等式組有解，求出m＜4，然后分別取m=2，0，-1，得出整數(shù)解的個數(shù)即可．

解法1 解不等式2x-6+m＜0，可得x＜6-m2.解不等式4x-m＞0，可得x＞m4.因為不等式組有解，所以m4＜6-m2，解得m＜4.當(dāng)m=3時，不等式組的解集為34＜x＜32，整數(shù)解為x=1，有1個；當(dāng)m=2時，不等式組的解集為12＜x＜2，整數(shù)解為x=1，有1個；當(dāng)m=0時，不等式組的解集為0＜x＜3，整數(shù)解為x=1，2，有2個；當(dāng)m=-1時，不等式組的解集為-14＜x＜72，整數(shù)解為x=0，1，2，3，有4個．

解法2 解不等式2x-6+m＜0，可得x＜6-m2.解不等式4x-m＞0，可得x＞m4.因為不等式組有解，所以m4＜6-m2，解得m＜4.當(dāng)0＜m＜4時，0＜m4＜1，1＜6-m2＜3，所以m只能取1或1，2；當(dāng)m＜0時，m4＜0，6-m2＞3，所以m可取0，1，2，3，故m的值至少4個．

綜上所述，正確答案為C．

點評 本題主要考查一元一次不等式組的解法，正確求出每一個不等式解集是解決本題的基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小解不了”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

例6 關(guān)于x的一元一次不等式組2x-a＞0，3x-4＜5無解，求a的取值范圍.

分析 分別解出這兩個一元一次不等式的解集，然后根據(jù)不等式組無解的條件，得到關(guān)于a的不等式，求解關(guān)于字母a的不等式即可．

解 由不等式2x-a＞0，可得x＞a2.由不等式3x-4＜5，可得x＜3.因為原不等式組無解，所以a2≥3，所以a≥6，答案為a≥6．

4 根據(jù)不等式（組）的特殊解確定字母取值

在一元一次不等式問題中，如果已知不等式（組）的特殊解，欲確定字母系數(shù)的取值范圍，首先求出不等式組的解集，用字母系數(shù)的代數(shù)式表示，然后畫出數(shù)軸，根據(jù)不等式組特殊解的情況，確定端點值在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間，接著判斷兩個臨界點是否可以取等號，最后確定字母系數(shù)的取值范圍．

例7 關(guān)于x的一元一次不等式組1-（x-a）＜3， "1+2x3≥x-1恰有2個整數(shù)解，求字母a的取值范圍.

分析 求出每個一元一次不等式的解集后確定不等式組的解集，根據(jù)一元一次不等式組整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于a的不等式，解之可得答案．

解 由不等式-（x-a）＜3，可得：x＞a-3.由1+2x3≥x-1，可得x≤4．因為不等式組有2個整數(shù)解，所以2≤a-3＜3，解得5≤a＜6．

變式1 關(guān)于x的不等式組-（x-a）＜3 ，1+2x3＞x-1恰有2個整數(shù)解，求a的取值范圍.

變式2關(guān)于x的不等式組-（x-a）≤3 ，1+2x3＞x-1恰有2個整數(shù)解，求a的取值范圍.

變式3 關(guān)于x的不等式組-（x-a）≤3 ，1+2x3≥x-1恰有2個整數(shù)解，求a的取值范圍.

在解決不等式問題時，一定要注意符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．學(xué)生需先畫出數(shù)軸，再根據(jù)不等式組整數(shù)解個數(shù)，確定端點值在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間，然后判斷兩個臨界點中，哪一個可以取得等號，最后確定字母系數(shù)的取值范圍．

點評 本題主要考查一元一次不等式組的整數(shù)解個數(shù)問題，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)一元一次不等式組中x的取值范圍及整數(shù)解的個數(shù)情況得出關(guān)于a的不等式組，然后通過解不等式即可確定字母系數(shù)的取值范圍．

由此可以看出，四類不等式（組）中的字母系數(shù)問題一般思路為：將題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)作常數(shù)，先解不等式組或方程組，然后再根據(jù)題目中的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．

5 結(jié)束語

巧解四類不等式（組）中的字母系數(shù)問題，不僅僅是重現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)基本方法，而且對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力有重要作用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識和方法，通過分類討論和變式引領(lǐng)，透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，不斷提高學(xué)生的問題解決能力［2］.

參考文獻(xiàn)：［1］ 李海濤.含字母系數(shù)不等式（組） 問題的求解策略[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（21）：38-39.

[2] 羅增儒.數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟[M].鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1997.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］