數形結合思想賦能初中數學函數教學提質增效的路徑研究

摘 要：隨著科技的飛速發展，數學教學正面臨著前所未有的挑戰與機遇，特別是初中階段的函數教學，作為數學學科的重要內容，對學生的邏輯思維、問題解決能力及數學素養的培養起著至關重要的作用.基于此，文章探討數形結合思想在初中數學函數教學中的應用路徑，通過分析數形結合思想在初中數學函數教學中的價值，提出行之有效的教學策略，以期為初中數學教學提供參考.

關鍵詞：數形結合思想；初中數學；函數教學；提質增效；教學路徑

中圖分類號：G632 ""文獻標識碼：A"""文章編號：1008-0333（2025）02-0023-03

收稿日期：2024-10-15

作者簡介：沈小山，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

在初中數學教學中，傳統的函數教學方式往往過于注重理論知識的傳授，忽視了學生的實際需求和興趣點，導致教學效果不盡如人意.數形結合思想作為一種將數量關系和空間形式相結合的教學思想，為解決上述問題提供了新的思路，它強調通過直觀的圖形幫助學生理解抽象的數學概念和性質，將復雜的數學問題轉化為直觀易懂的圖形問題，從而降低學生的學習難度，有利于提高教學效果.

1 數形結合思想在函數教學中的價值

1.1 增強直觀理解，簡化復雜概念

在初中數學教學中，數形結合思想的有效運用，能夠將復雜的函數關系轉化為可視化的圖形，使學生在直觀的圖象中捕捉到函數的本質特征.這種視覺上的直觀感受，可以幫助學生建立起自變量與因變量之間的直接聯系，從而降低理解難度，使原本晦澀難懂的數學概念變得生動有趣，易于掌握[1].

1.2 促進思維發展，提升解題能力

數形結合不僅僅是一種教學手段，更是一種思維訓練的過程.學生在解決問題的過程中，將抽象的數學問題轉化為具體的圖形操作，不僅能夠鍛煉邏輯推理和空間想象能力，還能夠學會從不同的角度審視問題，尋找最優解.這種思維方式的培養，對于提升學生的解題能力和創新意識具有重要的現實意義[2].

2 數形結合思想在函數教學中的應用策略

2.1 直觀展示圖形，理解函數概念

在初中數學函數教學中，數形結合思想的運用是培養學生直觀感知和邏輯思維能力的有效途徑.教師應當巧妙設計教學活動，以函數圖象為載體，引導學生從視覺角度捕捉函數的特性.首先，教師需利用平面直角坐標系，精準呈現函數圖象，確保圖象的準確性和直觀性，讓學生清晰地看到函數值隨自變量變化的規律.其次，在展示圖象的同時，教師應適時引入自變量與因變量的取值范圍、因變量隨自變量的變化情況等內容.通過對比圖象與函數解析式，幫助學生建立函數性質與圖象之間的聯系.最后，鼓勵學生動手繪制簡單函數圖象，親身實踐深化對函數概念的理解，使數形結合思想在學生心中生根發芽，促進其數學核心素養的全面發展[3].

在學習“函數的圖象”時，以正方形的面積S與邊長x的函數關系S=x2為例，教師可以通過引導學生親手繪制函數圖象，直觀地揭示函數變化的趨勢及其內在屬性.在教學過程中，教師首先向學生介紹正方形面積與邊長之間的函數解析式S=x2，并強調根據實際意義，自變量x代表的是正方形的邊長，所以它的取值范圍為x＞0.隨后，教師指導學生選取一系列正數作為邊長x的值，如0，0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4等，并計算相應的面積S.學生通過計算發現，隨著邊長的增加，正方形的面積呈增加的趨勢，這初步體現了函數的單調遞增性.接下來，教師指導學生在直角坐標系中，以邊長x為橫坐標，面積S為縱坐標，繪制上述實數對所對應的點，學生在平面直角坐標系內逐一描出點（0，0），（0.5，0.25），（1，1）等，并嘗試利用平滑的曲線連接這些點，形成函數的圖象，如圖1所示.在動手操作過程中，教師需適時強調圖象上的每一個點都代表了邊長x與面積S之間的一種具體對應關系.這樣的實踐操作，不僅能夠加深學生對函數定義域、值域及單調性的理解，而且能夠親身體驗到數形結合的魅力.

2.2 利用圖象解析，深化函數性質

在初中數學函數教學中，教師應引導學生親手繪制函數圖象.通過圖象的直觀展示，學生能夠觀察到函數圖象的走向、對稱性等特征，進而推導出函數的性質.同時，設計互動式討論，鼓勵學生基于圖象提出假設，驗證函數的性質，如探討不同系數對函數圖象形態的影響.這樣，不僅能激發學生的學習興趣，還能培養學生的觀察力、分析能力和邏輯思維能力，從而實現從“知其然”到“知其所以然”的跨越.

在學習“一次函數”時，教師可先引導學生繪制一次函數y=kx+b（，k和b為常數，且k≠0）的圖象.教師可選擇幾個具有代表性的k值，如k=2，k=0.5和任意b的值，帶領學生一起繪制這些一次函數的圖象.如圖2所示，過點（0，-1）與點（1，1）畫出直線y=2x-1；過點（0，1）與點（1，0.5）畫出直線y=-0.5x+1.在繪制過程中，教師應強調k值對直線傾斜程度的影響及b值決定直線在y軸上的截距.繪制完成后，教師可進一步引導學生觀察這些圖象的特征，特別是直線的升降趨勢.學生會注意到，當k＞0時，直線y=kx+b從左向右上升；而當k＜0時，直線則從左向右下降，這一直觀的視覺體驗有助于學生深刻理解一次函數的增減性，即當k＞0時，y隨著x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小.通過這種圖形解析的方式，學生不僅能夠直觀感受到函數圖象的變化趨勢，還能深刻領悟到函數性質背后的數學邏輯，從而在心中構建起與一次函數性質有關知識的認知框架.此外，教師還可以設計一些探索性問題.比如，如果將k值固定，改變b值，直線會發生什么變化？或當k接近于零時，直線的傾斜程度會怎樣變化？這些問題能激發學生的思考，促使他們主動探究函數圖象與函數性質之間的內在聯系，進而培養其觀察、分析和推理能力.

2.3 數形結合解題，提高解題能力

在講解函數問題時，教師可以先引導學生構建函數圖象，通過觀察圖象的形狀、位置及變化趨勢，幫助學生理解函數的性質.同時，在遇到具體的函數問題時，教師應鼓勵學生嘗試畫圖，將抽象的數學關系轉化為直觀的圖形，再結合所學知識分析問題，以此提高解題的效率和準確性.這種教學方法不僅能夠加深學生對函數概念的理解，還能夠有效鍛煉他們的數學思維，使學習過程更加生動有趣.

在學習“一次函數”時，采用數形結合的思想解決實際問題，可以顯著提升學生的解題能力.例如，考慮這樣一道函數問題：某直線經過點A（2，3）和點B（4，2），求這條直線的函數表達式，并判斷點C（-1，4）是否在這條直線上.教師首先引導學生回顧一次函數的基本形式及其圖象特點，接著指導學生在平面直角坐標系內標出點A和點B的位置，并繪制出函數圖象.這一過程不僅復習了函數圖象的畫法，而且能夠讓學生通過圖象直觀地感知一次函數的性質.隨后，教師指導學生利用待定系數法解出直線解析式為y=-0.5x+4.此時，再次回到圖象，驗證解析式與之前畫出的圖象是否吻合，這一步驟強化了數形結合的一致性.最后，為了判斷點C是否在此直線上，教師引導學生將點C的坐標代入所得解析式中進行檢驗，發現點C的坐標不滿足直線的解析式，從而得出點C不在直線上.通過這個案例，學生不僅能夠加深對數形結合思想的理解，而且還能夠在實踐中靈活運用數學知識，從而有效提高分析問題和解決問題的能力.

2.4 聯系實際生活，應用數形結合

在初中函數教學中，引入數形結合的思想，緊密聯系實際生活，能夠增強學生對抽象數學概念的理解和應用能力.為此，教師可以選取與學生生活經驗相關聯的實例.引導學生構建函數模型，繪制函數圖象，能夠幫助學生直觀感受函數的性質及其在現實生活中的體現，促進學生從圖形角度理解函數的特征，培養其數學建模和問題解決的綜合技能.這不僅能夠加深學生對數學知識的理解，而且能夠激發其學習數學的興趣，使數學學習變得更加生動有趣.

在“一次函數”的教學中，教師可以設計這樣一個貼近生活的案例：某城市的公交車票價按照乘坐的距離計算，起步價為2元，可乘坐5 km.超過5 km后，每增加1 km加收0.5元.教師首先引導學生將這個實際問題抽象成數學模型，即建立一次函數表達式.為此，教師可提出問題：如果用y表示票價，x表示超出起步價里程數，那么y與x之間的關系如何表示？以此激發學生積極思考.學生會發現，超出起步價的票價y與超出的里程數x之間存在線性關系，從而推導出y=0.5x+2（x≥0）的一次函數表達式.接下來，教師進一步指導學生畫出該函數的圖象，如圖3所示.讓學生在直角坐標系中作圖，直觀展現票價與行駛距離之間的變化關系，通過觀察圖象，學生能更清晰地理解函數的增減性和函數值的變化規律.此外，教師還可以提出一些具體問題.比如，小明從家到學校需要乘坐10 km，他應該支付多少車費？讓學生通過圖象找到對應點，進而求解.通過這個案例，教師不僅教授了一次函數知識，更重要的是教會了學生如何應用數學知識解決實際問題，以此增強學生的數學應用意識和實踐能力.

3 結束語

在初中數學函數教學中，有效融入數形結合思想，為提升教學效果開辟了新路徑.利用直觀的圖形展示抽象的數學概念，不僅能夠深化學生對函數本質的理解，而且能夠激發他們的學習興趣與探索精神.未來，教師應持續創新教學方法，靈活運用數形結合思想，加強數學與實際生活的聯系，以此培養學生的問題解決能力，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：［1］ 王莉果.數形結合思想在初中函數教學中的應用[J].陜西教育（教學版），2024（3）：29-31.

[2] 林欣.數形結合思想在初中數學教學中的應用：以“函數”教學為例[J].新課程，2024（5）：154-156.

[3] 覃仕山.數形結合思想在初中函數教學中的應用：以人教版數學八年級下冊“一次函數”教學為例[J].廣西教育，2024（1）：58-61.

［責任編輯：李慧嬌］