初中數學“新定義問題”的教學策略

摘 要：“新定義問題”是初中數學中的一種常見題型.這類問題通常給出新的定義，要求學生在理解新定義的基礎上，運用所學知識分析問題和解決問題.這類問題主要考查學生的學習能力和理解能力，是歷年中考的熱點問題.為此，在初中數學教學中，教師可采取創設情境，激發興趣；鋪墊知識，搭建橋梁；示范解題，傳授解題技巧；鼓勵合作，引導探究等策略，提升學生的解題能力.

關鍵詞：初中數學；新定義問題；教學策略

中圖分類號：G632 ""文獻標識碼：A"""文章編號：1008-0333（2025）02-0029-03

收稿日期：2024-10-15

作者簡介：王德力，本科，一級教師，從事初中數學教學研究.

在初中數學中，因“新定義問題”情境新穎，能夠凸顯對學生能力的考查而倍受命題者青睞[1].不少學生遇到這類問題時，往往一時難以找到解題思路，是中考中容易失分的題型.在初中數學教學中，教師應重視“新定義問題”教學，運用針對性的教學策略，幫助學生掌握解決這類問題的基本思路與基本方法，從而實現高效解題.

1 “新定義問題”的特點及類型

初中數學“新定義問題”具有創新性、抽象性、綜合性特點[2].其中，創新性指情境新穎，學生需運用新定義解決新問題，對學生解題能力的要求較高；抽象性指這類問題一般較為抽象，深刻理解題意，把握新定義的本質，是成功解題的關鍵；綜合性指這類問題有時涉及多個知識點，不僅需要學生運用新定義，而且需要聯系所學知識，其綜合性較強，學生需具備靈活遷移所學知識的能力.

在初中數學學習中，常見的“新定義問題”包括新定義函數、新定義圖形、新定義運算以及新定義概念等.新定義函數問題一般結合函數解析式、函數圖象給出新函數的定義，檢驗學生對新函數性質的理解以及應用熟練程度；新定義圖形問題往往對學生常見的幾何圖形進行新的定義，闡述圖形的性質以及特點，要求學生分析解決相關問題；新定義運算問題通常給出新的運算法則，要求學生遵循新的運算法進行相關計算；新定義概念問題，顧名思義，就是給出新的概念，要求學生基于新概念解答相關問題.

2 “新定義問題”的教學策略

2.1 創設情境，激發興趣

在初中數學教學中，面對“新定義問題”時，部分學生感覺無從下手.為避免出現這種情況，增強學生的解題自信，教師應聯系教學內容以及學生的知識儲備，創設問題情境，通過課堂互動、解題指引，學生能夠感受到解題的成就感，獲得良好的學習體驗，從而激發學生的學習興趣，自覺探尋解題思路.

在“二次函數圖象”教學中，教師需指導學生深度剖析二次函數圖象及性質，提高學生運用二次函數知識分析問題和解決問題的能力.為使學生形成運用二次函數圖象解題的良好意識，在課堂教學中，教師可創設“新定義問題”情境，延展教學內容深度，提升學生解決“新定義問題”的能力.

例1 定義一種新函數：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函數叫做“鵲橋”函數.已知某“鵲橋函數”的圖象如圖1所示，現給出如下結論：①bc＜0；②當x=1時，函數的最大值為8；③m=1時，直線y=x+m和該圖象恰有三個公共點；④關于x的方程|x2+bx+c|=3的所有實數根的和為3.其中正確的有.

本題是一道新定義函數問題，它與“二次函數圖象”內容緊密對接，是教學內容的進一步延伸.此問題的巧妙之處在于展現了函數圖象的對稱美，增加解題的趣味性.本題設置了四個小問，既能夠考查二次函數知識，又能考查數形結合思想，其難度層層遞進.在教學過程中，教師可以引導學生從函數圖象視角探尋函數y=ax2+bx+c與函數y=|ax2+bx+c|的內在聯系，使其快速找到突破口，掌握解決此類新定義函數問題的解題思路.

2.2 鋪墊知識，搭建橋梁

鍛煉與提升學生的解題能力是初中數學“新定義問題”教學的重要指向.在初中數學教學中，解答“新定義問題”時，需在理解新定義的基礎上，靈活運用已學知識分析和解決新問題.因此，在教學過程中，教師應圍繞“新定義問題”情境，引導學生復習回顧相關知識，作好知識鋪墊，幫助學生搭建“新定義問題”中新舊知識的橋梁，為問題解決創造有利條件.

“四邊形”是初中數學的重要內容，包括四邊形、平行四邊形、梯形等.在教學中，教師可以此為契機滲透“新定義圖形”問題，通過具體問題的分析，學生能夠在獲得四邊形新知識的同時，體會“新定義圖形”問題的求解過程，積累解題經驗.

例2 定義：有一組鄰邊相等，且對角互補的四邊形叫做“鄰等對補四邊形”.如圖2，四邊形ABCD為“鄰等對補四邊形”，其中AB=AD，∠A=90°，CD=1，四邊形的面積S為16，則BC的長為.

這是一道“新定義圖形”問題，此題給出了“鄰等對補四邊形”的定義，并給出了部分邊、角及四邊形的面積，求邊BC的長度.本題主要考查學生能否有效挖掘定義中的邊角關系，并結合所學知識靈活解決問題.解決本題的過程中，主要涉及補角的定義、勾股定理、一元二次方程的解法等知識.在教學過程中，教師可引導學生回顧與之相關的知識，然后結合圖形結構特征，連接BD，將四邊形分割為兩個三角形，從而得到兩個直角三角形.最后利用面積及勾股定理即可構建二元二次方程組，利用代入消元法可將其轉化為一元二次方程并求解.

2.3 示范解題，傳授技巧

在初中數學教學中，有些“新定義問題”不僅情境新穎，而且比較抽象，學生理解難度較大，尤其是一些“新定義運算”問題，不僅要求學生準確把握運算的“形”，更要理解其背后的“質”.在教學過程中，針對此類問題，教師既要進行解題示范，展示如何進行破題，如何尋找解題思路，又要做好解題方法的歸納總結.同時，教師需給學生預留一定的時間，讓學生認真體會、揣摩，還要及時解答學生的疑惑，使其真正消化、吸收，從而達到融會貫通的效果.

在初中數學教學中，“運算”是重要內容.初中數學中的運算主要包括有理數的運算、整式的運算、分式的運算等.在教學過程中，教師可以結合某一運算法則，拋出“新定義運算”問題，通過展示“新定義運算”問題的解題過程，歸納其解題方法，幫助學生深刻理解運算法則，提升學生解決“新定義運算”問題的能力.

例3 定義“[ ]”是一種取整運算符號，即[a]表示不超過a的最大整數.例如，[-1.2]=-2，[π]=3.

（1）計算[2]=，[-3.14]=；

（2）若m和n滿足方程[m]+[n]=1，則當n=3-1，請寫出m的取值范圍；

（3）在平面直角坐標系中，如果坐標為（p，q）的點在第一象限，且滿足[p]+[q]=3，則所有符合條件的點（p，q）所構成的圖形面積為.

本題是一道“新定義運算”問題，如何正確理解取整運算符號“[ ]”是解題的關鍵.

對于問題（1），教師可引導學生借助數軸解決問題.首先要求學生在數軸上標出2，-3.14的所在位置，然后尋找其對應點右側的第一個整數就是所求結果，易得[2]=1，[-3.14]=-4.對于問題（2），教師可引導學生根據已知條件求出[n]的范圍，而后判斷出m的取值范圍.對于問題（3），教師可以引導學生從問題（1）和問題（2）的求解過程中獲得啟發，運用數形結合思想解決問題.為此，教師可指導學生畫出如圖3所示的圖形，從而為問題解決創造條件.

2.4 鼓勵合作，引導探究

在初中數學教學中，有些“新定義問題”傾向于考查學生的綜合能力，其涉及的知識點多，求解難度大，導致部分學生無法及時有效突破.在教學過程中，為避免學生的積極性及解題自信心受挫，教師應注重把控“新定義問題”的難度，結合具體教學內容，鼓勵學生相互合作，積極討論，使學生深刻認識問題情境，理解題干的“言外之意”，在思維碰撞和觀點交流中，找到正確的解題思路.

“圓”在初中數學中占有重要地位，是歷年中考的熱點問題，其重要性不言而喻.在“圓”有關知識的教學中，教師應在學生掌握“圓”的有關知識的基礎上，注重融入“新定義概念”問題，提高學生運用圓的有關知識分析問題和解決問題的能力.

例4 定義：一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，且所截得的三條弦相等，稱該圓為“等弦圓”.現有一斜邊長為2的等腰直角三角形，當“等弦圓”最大時，則該圓的半徑為.

這是一道典型的“新定義概念”問題，概念中闡述了圓與三角形的關系.為方便解決問題，學生需畫出圖形，然后結合圖形理解概念.在解決問題時還需要明確“等弦圓”最大時是怎樣的一種情形.在教學過程中，教師可以拋出問題：在什么情況下，“等弦圓”才最大？請根據需要解決的問題，嘗試畫出圖形，并根據圖形探究解題思路.在圖形的輔助下，學生容易確定當“等弦圓”最大時，對于等腰直角三角形而言，其直角頂點恰好在圓上，如圖4所示.這也是題目的隱含條件，發現這一條件是解決本題的關鍵.

3 結束語

在初中數學教學中，教師應認識到“新定義問題”的教學價值，立足初中階段的數學教學內容，認真梳理“新定義問題”，依據考查的知識點對其歸類，總結不同類型“新定義問題”的特點，做好合理的教學設計.將“新定義問題”與初中數學知識有機融合，并結合學生的認知規律和知識儲備，運用針對性的教學策略，幫助學生積累解題經驗，樹立解題自信，從而實現對“新定義問題”的有效突破.

參考文獻：［1］ 劉莫君.函數中的新定義問題探究[J].中學教學參考，2023（32）：32-34.

[2] 陳松林.新定義型題目的解題策略探究[J].中學數學，2022（8）：47-49.

［責任編輯：李慧嬌］