數(shù)學建模思想融入中學概率教學研究

摘 要：根據(jù)新課改的修訂，數(shù)學建模思想的融入成為中學概率教學研究的重要方法，也是提升學生素質(zhì)教育的重要環(huán)節(jié).文章在此基礎上提出數(shù)學建模思想融入中學概率教學的研究，對于融入的案例及過程，提供了“全概率公式”這個教學案例，這對于培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力和創(chuàng)新思維具有重要意義.

關鍵詞：數(shù)學建模；中學概率教學；全概率公式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）03-0065-04

收稿日期：2024-10-25

作者簡介：汪勇，碩士，從事數(shù)學教學研究；

陳哲，碩士，從事數(shù)學教學研究.

概率作為中學數(shù)學的重要組成部分，以及中高考中的重要考點，對于培養(yǎng)學生的邏輯思維和解決實際問題的能力具有重要意義.然而，傳統(tǒng)的教學方法往往側重于理論知識的傳授，學生在面對實際問題時往往會感到無從下手.數(shù)學建模思想的融入為解決這一問題提供了新的途徑.

1 數(shù)學建模思想

1.1 數(shù)學建模的定義

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)^[1].此外，數(shù)學建模是一個具體的活動過程，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象和簡化，建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學手段.

1.2 數(shù)學建模思想的內(nèi)涵

數(shù)學建模思想是一種運用數(shù)學語言和方法來描述、分析和解決實際問題的思維方式和指導理念.其核心在于將實際問題抽象為數(shù)學結構，通過建立數(shù)學模型來模擬和預測現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程.數(shù)學建模思想更加強調(diào)抽象化、量化、邏輯推理等多方面，并且有助于培養(yǎng)人們的問題解決能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，使人們能夠更好地理解和應對現(xiàn)實世界中的各種挑戰(zhàn).

1.3 數(shù)學建模思想的作用

數(shù)學建模思想為數(shù)學建模提供了方向和方法，指導其如何從實際問題中提取關鍵信息，選擇合適的數(shù)學工具，建立有效的模型，并對結果進行解釋和應用.

2 研究意義

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》表明，在數(shù)學教學中可以用學科思維特征為指引來培養(yǎng)學生.由此可見，在中學概率教學中融入數(shù)學建模思想是非常重要的.

數(shù)學建模對于提高學生的綜合素質(zhì)具有非常大的用處.首先，可以鍛煉學生的抽象概括能力，即學生在實際問題中對有效信息進行抽象概括，并且用自己的語言進行表達.其次，學生可以在學習過程中鍛煉豐富的想象力與分析問題的能力.數(shù)學建模不僅能夠樹立學生的創(chuàng)新精神，還可以進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.最后，還可以培養(yǎng)學生團隊合作能力以及彼此之間的溝通協(xié)調(diào)能力，提高學生的語言組織和表達能力，使其溫故知新，更好地掌握學科的基礎理論知識.

3 知識邏輯

高中階段全概率公式的知識邏輯主要包括以下幾個方面：

首先，需要理解基本的概率概念，如隨機事件、樣本空間、概率的定義和性質(zhì)等.在此基礎上，引入條件概率的概念，即已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率.

然后，通過具體的問題情境引出全概率公式.全概率公式的核心思想是將一個復雜的事件分解為多個互斥的簡單事件，并利用條件概率和這些簡單事件的概率來計算復雜事件的概率.

具體來說，假設事件B要發(fā)生，而導致B發(fā)生的原因有多個互斥的事件A₁，A₂，…，A_n.則事件B發(fā)生的概率就可以表示為P（B）=∑n/i=1P（A_i）P（B|A_i）.

在實際應用中，關鍵在于正確確定導致目標事件發(fā)生的各個事件，并準確計算出每個事件的概率以及在該事件發(fā)生條件下目標事件發(fā)生的條件概率.

總之，高中全概率公式的知識邏輯是從基礎概率概念出發(fā)，逐步引入條件概率，最終導出全概率公式，并通過實際應用加深理解.

4 數(shù)學建模思想融入全概率公式的教學設計

4.1 課題信息

課題名稱 全概率公式.

課題時長 1課時.

教材分析 選自人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊第七章《隨機變量及其分布列》，本節(jié)課主要學習全概率公式.

4.2 教學目標

（1）理解全概率公式的形式并掌握全概率公式解決問題;

（2）通過對全概率公式的理解，發(fā)掘學生自身分析解決問題的潛能;

（3）探究全概率公式解決實際問題的步驟，提高學生探索觀察的能力.

4.3 核心素養(yǎng)

（1）數(shù)學抽象：從生活實際情境中抽象出全概率公式的概念；

（2）邏輯推理：從特殊到一般；

（3）數(shù)學運算：能夠運用全概率公式計算概率；

（4）數(shù)學建模：將問題轉化為數(shù)學概率模型，培養(yǎng)學生搭建模型的能力.

4.4 教學重難點和教學方法

教學重點：運用全概率公式計算概率；

教學難點：理解全概率公式；

教學方法：講授法、合作探究法、練習法.

4.5 教學過程

4.5.1 回顧舊知

師：法國數(shù)學家拉普拉斯說過：“對于生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題.”在上節(jié)課的學習過程中，我們已經(jīng)學習了什么是條件概率，即在“已知事件B發(fā)生”的附加條件下，求A發(fā)生的概率，記作P（A|B），于是有P（A|B）=P（AB）/P（B）.

在條件概率的學習延伸中，我們又學習了概率的加法和乘法公式.本節(jié)課在此基礎上，我們再來看一個復雜概率的求解問題.

4.5.2 問題引入

例1 某班級去書店買書，需要買10本一捆的書，他的買書方法是從10本中隨機抽出3本，若這3本書都是全新的，他才買下這一捆．假定含有4本破損的捆數(shù)占30%，而其余捆中各有1本破損書籍，求該班級沒有購買的概率．

解析 設取到的是含有4本破損的捆為事件A₁，取到的是含有1本破損的捆為事件A₂，該班沒有購買圖書為事件B，則B=A₁B+A₂B，且A₁B與A₂B互斥，P（A₁）=0.3，P（A₂）=0.7，P（B|A₁）=1-1/6=5/6，P（B|A₂）=1-7/10=3/10，利用概率的加法公式和乘法公式，得

P（B）=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）

=0.3×5/6+0.7×3/10=23/50.

例2 假設一個袋子里有a個紅球，b個黑球.每次都從袋子里隨機拿出一個球，但不放回去.顯然第一次拿到紅球的概率為a/a+b，那第二次拿到紅球的概率是多少？這該怎樣計算呢？

這個事件可以用按初次拿到（紅球或黑球）（即用R_i表示事件“第i次拿到紅球”；B_i表示事件“第i次拿到黑球”，i=1，2.）的結果表示為這兩個互斥事件的并，用R₂表示，即R₂=R₁R₂∪B₁R₂.利用概率的加法公式和乘法公式，得

P（R₂）=P（R₁R₂）+P（B₁R₂）

=P（R₁）P（R₂|R₁）+P（B₁）P（R₂|B₁）

=a/a+b×a-1/a+b-1+b/a+b×a/a+b-1

=a/a+b.

師：通過上面兩個例子我們可以發(fā)現(xiàn)，它們的解題過程都是先將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并，然后用概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率^[2].

4.5.3 概念深化

全概率公式：一般地，設A₁，A₂，…，A_n是一組兩兩互斥的事件，A₁∪A₂∪…∪A_n=Ω，且P（A_i）gt;0，i=1，2，…，n.則對任意的事件BΩ，有P（B）=∑n/i=1P（A_i）P（B|A_i）.

4.5.4 活動探究

師：同學們，看老師今天帶來的這個箱子，箱子里總共有30個球，其中有18個黑球，有12個紅球.每個人都有兩次抽獎的機會，抽完第一次的球拿出來后，繼續(xù)抽第二次，當同學們第二次抽出來的為紅球即為中獎.有沒有同學想要第一個上來抽獎？

師：中了獎的同學請舉手，同學們看看有多少人中獎了.既然有的同學中獎了有的同學沒有中獎，同學們能算出中獎的概率嗎？

經(jīng)過同學們的思考與討論，得到A₁=｛第一次抽出黑球｝=0.6，A₂=｛第一次抽出紅球｝=0.4，B={第二次抽出紅球｝.當大部分同學提出了等量關系與解題方法時，教師再根據(jù)題目列出等量關系式：

P（A₁）=0.6，P（A₂）=0.4，A₁∪A₂=Ω且A₁，A₂互斥.

所以P（A₁）=6/10，P（A₂）=4/10，P（B|A₁）=5/9，P（B|A₂）=6/9.

因為B=BA₁+BA₂，所以P（B）=P（BA₁）+P（BA₂）=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）=6/10×5/9+4/10×6/9=0.6

4.5.5 例題鞏固

例題 某工廠有4條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這4條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%和35%，它們的產(chǎn)品不合格率依次為0.05，0.04，0.03和0.02.現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到不合格品的概率為多少？

解析 A_i={任取一件，恰好抽到不合格品}，B_i={任取一件，恰好抽到第i條流水線的產(chǎn)品}（i=1，2，3，4，），由全概率公式得

P（A）=∑4/i=1P（B_i）P（A|B_i）=0.15×0.05+0.20×0.04+0.30×0.03+0.35×0.02=0.031 5.

所以恰好抽到不合格品的概率是3.15%.

4.6 設計意圖

教師通過呈現(xiàn)實際生活中的問題抽象出全概率公式，讓學生感受數(shù)學建模的應用價值，鼓勵學生積極思考并踴躍發(fā)言，展示自身的解題思維過程；并且通過活動探究，引導學生將實際問題轉化為數(shù)學語言和符號，建立全概率公式所需的事件集合和概率分布，親身體會建模的過程.此過程不僅培養(yǎng)了學生的邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象能力，還培養(yǎng)了數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

在概率課程中融入數(shù)學建模思想，構建出全概率模型，教師應選擇適當?shù)膯栴}引導學生并對其進行分析，構建數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，最后求解模型與驗證.當然，此過程也可以進行拓展與創(chuàng)新，教師可以給出一些變化的條件或類似的實際情境，讓學生自己嘗試建立全概率模型并求解，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和應用能力.

4.7 課堂小結

教師引導學生對本節(jié)課進行總結.總結本節(jié)課學習的重點知識，建模過程中用到的數(shù)學知識、方法和技巧，以及遇到的困難和解決方法，等等.

4.8 課后練習

鎮(zhèn)上有A，B兩家銀行，小明分別去兩家銀行存錢.小明第一天隨機在某一家銀行存錢，如果小明第一天在A銀行存錢，則第二天在A銀行存錢的概率為0.6；如果小明第一天在B銀行存錢，則第二天在A銀行存錢的概率為0.8.求小明第二天在B銀行存錢的概率是多少？

5 教學策略

5.1 改編數(shù)學教材習題

在中學課本中，教師可通過對教材習題的改編，結合數(shù)學建模的思想，將枯燥的數(shù)學習題結合實際情況進行重新編撰，從而達到提高學生學習數(shù)學的能力，激發(fā)學生數(shù)學學習興趣的作用.另外，改編的習題要符合學生的認知水平，還要能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學建模的完整過程.

5.2 從實際問題出發(fā)

數(shù)學來源于生活并應用于現(xiàn)實生活，用建立數(shù)學模型的方法我們可以解決生活中的許多問題，比如面積問題、中獎概率問題、盈利問題等.教師結合與生活息息相關的實際問題進行教學，并加以引導，學生學習數(shù)學的能力不僅可以大大地提高，而且還能夠增強其運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

5.3 教師專業(yè)知識的發(fā)展

其一，教師要不斷探索，與社會一起進步，逐步地發(fā)掘生活中有關數(shù)學建模的問題，提出數(shù)學建模思想.在數(shù)學教學過程中不能只專注于基本概念與理論知識的傳授，還要學會“授之以漁”.其二，教師要學會多實踐，不能只是嘴上說說而不去實踐探索.只有教師自己對于各種數(shù)學建模類型的題目熟練掌握，才能在教學中更好地傳授學生建模知識，幫助學生更好地樹立數(shù)學建模思想.

6 學習策略

6.1 培養(yǎng)閱讀能力與表達能力

有很多原因會導致學生在學習數(shù)學方面感到吃力，閱讀能力薄弱就是其中一個.這就需要學生在學習生活中多讀多練，在做數(shù)學題時多觀察題干要求，把題干中的條件與條件串聯(lián)起來，分析各種變量之間的數(shù)量關系，將數(shù)學問題的表達轉化為具體的數(shù)學思想.強大的閱讀能力會幫助學生更好地掌握數(shù)學知識.另外，還需要增強學生的表達能力，通過語言闡述自己的解題思路，合理地在表達中運用專業(yè)術語.

6.2 構建知識網(wǎng)絡

在中學數(shù)學學習中，學生的數(shù)據(jù)分析能力還不夠優(yōu)秀，在尋求實際應用題中的數(shù)量關系時會感到困難.要想提升數(shù)據(jù)分析能力，最好的方式就是提取出問題的基本框架和本質(zhì)關系，建立框架圖，再解決問題.

7 結束語

盡管數(shù)學課程標準中明確地提出了在中學課程教學中要做到學與用的相互結合，還要提高探究活動學習的頻率和數(shù)學建模思想.但是在實際學習數(shù)學時，學生也能夠明顯地感受到這些要求并沒有得到很好的重視.因此，本文在研究中學概率教學中融入數(shù)學建模思想時，一直秉持著科學性以及合理性的要求，通過查閱資料文獻幫助教師更好地在數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想，并以學生為學習的主體、教師為主要引導者來開展教學活動.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］" 沈健.突出素養(yǎng)本位聚焦學科育人：以“全概率公式”的教學為例[J].數(shù)學通訊，2024（01）：1-3，7.

［責任編輯：李慧嬌］