滲透數學文化 提升核心素養

摘 要：本文以高中“簡單幾何體的體積”教學為例，通過分析教材，融入數學文化，將“祖暅原理”的數學方法貫穿始終，滲透了極限的思想，尊重學生的主體性，提升學生的核心素養，對教育教學具有借鑒意義.

關鍵詞：數學文化；核心素養；簡單幾何體的體積；教學設計

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）03-0029-03

收稿日期：2024-10-25

作者簡介：劉春琳，碩士研究生，從事中學數學教學研究；

郭亞丹，碩士，副教授，從事中學數學教學研究.

基金項目：六盤水師范學院2023年度聯合培養研究生專項科研基金項目“數學文化促進學生數學核心素養發展的教學研究”（項目編號：LPSSYLPY202312）.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，在優化課程結構的同時，注重數學文化的滲透，并多次提到將數學文化融入課程內容，課標明確說明“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動”^[1].數學文化是核心素養的重要載體，對培養學生的數學核心素養具有促進作用.滲透數學文化、提升學生核心素養，如今依舊是數學教育領域研究的熱點，其中王嶸^[2]將數學文化的內容分為四個方面，包括數學與數學、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術等；李鐵安^[3]指出，應“將數學文化的史學形態轉化為教學形態”.數學文化的內容多種多樣，表現形式也五花八門，應將數學文化滲透在教學過程中.

在“簡單幾何體的表面積與體積”這一節中，人教版教材在“探究與發現”中加入了祖暅原理，柱體和錐體的體積公式均可以由祖暅原理推出.而在教育實習與實踐中發現，多數教師在教學中并未對教材中加入的數學文化相關內容加以利用，而是直接給出體積公式，再以“題海戰術”鞏固，這不利于學生數學核心素養的提升.本文以“簡單幾何體的體積”一課為例進行教學設計，滲透數學文化提升學生數學核心素養.

1 數學文化素材選取

劉徽的發現及研究^[4]：著名數學家劉徽在給《九章算術》寫注時發現了一個錯誤，書里認為，在正方形里內切一個圓，則它們的面積比為S_圓∶S_正方形=πr²∶4r²=π∶4；在正方體里內切一個圓柱，體積比為V_圓柱∶V_正方體=π∶4；在圓柱體中內切一個球，它們的體積比也為V_球∶V_圓柱=π∶4，取π=3，球的直徑為d，以此推出球與其外切正方體的體積之比V_球∶V_正方體=9∶16，得到V_球=9/16d³.劉徽用“截面法”證明了球的體積是其外切圓柱體積的四分之三是錯誤的，推翻了《九章算術》中球的體積公式，并創造了“牟合方蓋”（在正方體內，作兩個方向不同的內切圓柱，那這兩個圓柱的公共部分即稱之為“牟合方蓋”），在古代“牟”為相同的意思，“蓋”是雨傘的意思，所以“牟合方蓋”指的就是把兩個方形的雨傘合在一起.劉徽推出球的體積與其外切牟合方蓋體積比為V_球∶V_牟=π∶4，但是最終沒有推出牟合方蓋的體積.

祖暅的研究：在兩百多年后，祖沖之與他的兒子祖暅繼續沿用劉徽的思想，將“牟合方蓋”平均分成八份，再取這八份的其中一份進行研究.在他們的努力探索下，最終提出了體積的計算原理，即“祖暅原理”——“冪勢既同，則積不容異”，這段話用現代語言可以翻譯為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

2 教學設計

2．1 教學目標

（1）掌握簡單空間幾何體的體積公式.

（2）會應用體積公式求體積.

2．2 教學重難點

教學重點：會運用“祖暅原理”進行推導相關的體積公式，會利用體積公式求幾何體的體積.

教學難點：臺體和球體積公式的推導.

2．3 教學過程

環節1 史料引入，激發學生興趣.

教師：發放導學案，播放視頻.

學生：認真觀看視頻，完成導學案中的問題.

教師：是誰發現了《九章算術》中球的體積公式是錯誤的？又是如何發現的呢？

學生：劉徽發現了錯誤，用“截面法”證明了球的體積是其外切圓柱體積的四分之三是錯誤的，從而推翻《九章算術》中球的體積公式.

教師：看PPT上的幾何體，是怎么來的？它叫什么名字？名字有何含義？

學生：此幾何體是“牟合方蓋”，它是在正方體內，作兩個方向不同的內切圓柱，取這兩個圓柱的公共部分得來，古代“牟”為相同的意思，“蓋”是雨傘的意思，所以“牟合方蓋”指的就是把兩個方形的雨傘合在一起.

教師：劉徽推出球的體積與其外切“牟合方蓋”的體積比為V_球∶V_牟=π∶4，可惜的是，最終并沒有推出“牟合方蓋”的體積.在兩百年后，祖氏父子沿用了劉徽的思想方法，開始繼續研究球的體積，在5世紀末，祖暅提出了體積的計算原理：“冪勢既同，則積不容異”，這就是我們所熟知的著名的“祖暅原理”.在了解了我國古代數學家在數學上的輝煌成就后，你有什么感想？

教師根據學生的回答給予肯定，鼓勵學生勇于質疑，大膽想象，積極探索，敢于創新.

環節2 利用祖暅原理推導柱體、錐體與臺體體積公式.

問題1 在之前我們研究了空間幾何體的表面積，那如何求它們的體積呢？

師生活動 共同回顧已學習的幾何體體積，如長方體、正方體、圓柱、圓錐等特殊幾何體.

利用以往所學總結以及“祖暅原理”，分析得到“若兩個棱柱的底面積是相等的、高也是相等的，則它們的體積應該也是相等的”，如圖1，假設柱體的底面積為S，高為h，即V_柱體=Sh.

問題2 嘗試將三棱柱分割為三個三棱錐，能否證明三個三棱錐的體積相等？

師生活動 用“祖暅原理”證明問題2，類似地，總結三棱錐、圓錐的體積，則“若兩個錐體底面積相等、高也相等，則它們的體積也相等”，如圖2，若錐體的底面積為S，高為h，參考三棱錐與圓錐的體積，即V_錐體=1/3Sh.

圖2 錐體體積推導示意圖鞏固練習1 半徑為R的半圓，用其圍成一個圓錐，圓錐的體積為？

問題3 如何得到臺體的體積？

師生活動 共同探討得出結論“臺體是通過錐體得來，可以用錐體的體積公式推導臺體的體積公式”，如圖3.

學生活動：通過計算推導得出臺體的體積公式，假設臺體的下底面面積為S，上底面面積為S′，高為h，即V_臺體=1/3（S+SS′+S′）h.

鞏固練習2 若圓臺母線長為l，上下底面半徑分別為R，r，求圓臺的體積.

環節3 探究特殊幾何體——球的體積與表面積.

問題4 如圖4，我們在一個底面直徑為2R、高等于R的圓柱中，挖去一個以圓柱的上底面為底面，以圓柱的下底面圓心為頂點的圓錐，所得的幾何體如圖所示，探究其與一個半徑為R的半球的體積關系.

師生活動 探究得到二者在等高處的水平截面面積都是相等的，根據“祖暅原理”，二者的體積相等，此時，圖4所示的半徑為R的半球與圖示幾何體的體積相等，即V_球=2（V_柱體-V_錐體）=4/3πR³.

問題5 得到了球的體積，能否求出球的表面積呢？

師生活動 合作探究，設想一個半徑為R的球，過球心將球平均分成兩份、四份、八份、一直到n份.當n足夠大時，可以將每一份看成一個近似的“準錐體”，如圖5；當這些“準錐體”足夠小，底面無限接近于平面，就可以把它們近似地看成錐體.此時，“準錐體”的高將會無限接近于球的半徑R，所有的“準錐體”的底面積的和與球的表面積將會無限接近，而且所有“準錐體”的體積的和就無限趨近于球的體積，最終得出球的表面積S_表與體積V_球的關系為V_球=1/3RS_表，即S_表=4πR².

探索 關于球的體積與表面積的推導，是否還存在其他方法，請感興趣的同學課后查閱資料進行探究.

環節4 布置作業.（布置以祖暅原理為背景的數學題，考查學生對祖暅原理的應用情況）

3 結束語

在數學課堂中滲透數學文化不僅能夠激發學生的學習興趣，更能讓學生在探索中學到知識，提升數學核心素養.在推導柱體、錐體、臺體的體積公式時，將“祖暅原理”所蘊含的方法教給學生，起到引導的作用，再由學生自主完成對公式的一一推導.本節課不僅讓學生學會了數學的思想、方法，更培養了其推理、抽象和運算等多方面的數學素養，還在公式的運用中體現數學與現實生活的聯系，帶領學生體會了數學的美.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020．

［2］ 王嶸.數學文化融入中學教科書的內容與方法[J].數學教育學報，2022，31（01）：19-23.

［3］ 李鐵安.文化意義下的數學及其教育意蘊[J].數學教育學報，2008（06）：16-20.

［4］ 張偉.祖暅原理的由來及證明[J].重慶教育學院學報，2010，23（03）：113-115.

［責任編輯：李慧嬌］