初高融通：雙勾函數對比教學實踐與反思

摘"要：同課異構授課對象通常指同一學段的學生，但本文中“y=x+1x圖象與性質”同課異構授課的對象是初三學生和高一學生.本文從情境引入、列表畫圖、性質探究、性質應用四個方面進行教學實錄對比，提出直覺先行、推理斷后，三放關系展示思維，融通教學服務選才觀點.

關鍵詞：初高融通；雙勾函數；對比教學

隨著教育改革的深入，對學生的綜合素質要求越來越高.傳統的教學模式往往將初中和高中數學割裂開來，導致學生在學習過程中難以形成系統的數學思維和解決問題的能力.為了打破這種界限，促進學生數學知識的連貫性和思維的深刻性.2024年9月19日浙江省淳安縣教育發展研究中心舉辦了初高學段融通培訓活動，活動分融通課堂、課堂點評、融通講座三個環節，現將兩節課實錄、對比及反思以饗讀者.

融通課堂教學內容是人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》第92頁“探究函數y=x+1x的圖象與性質”，初中課堂（以下記為課堂1）由鄭老師執教，教學對象是初三學生；高中課堂（以下記為課堂2）由嚴老師執教，教學對象是高一學生.

1"初中課堂回顧

1.1"回顧已學，引入問題

回顧：我們已經學習了哪些類型的函數？函數學習中我們經歷了哪些過程？

引入：張老板經營著一個大型蔬菜種植基地，根據市場行情決定把一個面積為1平方千米的矩形大棚進行改造，大棚相鄰兩邊利用已有的圍墻，為了更加美觀，大棚其余兩邊準備用籬笆圍成，為節約所用籬笆的成本，求所用籬笆的最短長度（只從數學角度解決問題，不考慮其他因素）.

1.2"開展活動，實踐探究

活動1：寫出你對“求所用籬笆的最短長度”這個問題解決的大致步驟.

活動2：根據已學函數的經驗，畫出函數y=x+1x的圖象.

列表：完成表1內容的填寫.

描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以y=x+1x相應的函數值為縱坐標，描出相應的點.

活動3：說說看，你所畫函數的圖象有什么特征？

活動4：結合你所畫函數的圖象，試著探究此函數的性質.

活動5：解決“求所用籬笆的最短長度”問題.

1.3"反思拓展，應用成果

根據函數y=x+1x的圖象與性質，完成以下探究.

探究1"已知ylt;2，求x的取值范圍.

探究2"若（x1，y1），（x2，y2）是該函數圖象上的兩個不同的點，當x1＞x2＞1時，比較y1，y2的大小.

1.4"梳理概括，形成體系

引導學生思考“通過本節課的學習，有什么新的收獲？印象最深刻的探究歷程是什么”.

2"高中課堂回顧

2.1"創設情境，提出問題

情境：國家電力集團為了開發太陽能，計劃在西部平坦的戈壁上建造一個占地面積達1平方千米的長方形太陽能電廠，為了縮減成本，要怎樣設計才能使長方形圍墻的長與寬之和最小？

追問"現為合理利用土地資源，要求長不小于2千米，要怎樣設計才能使長方形圍墻的長與寬之和最小？

2.2"探究思考，形成新知

問題1"面對一個新函數y=x+1x，你認為可以從哪些方面研究這個函數？

問題2"你認為可以按照怎樣的研究路徑研究函數y=x+1x？

2.3"探索y=x+1x的圖象與性質

問題1"請猜想函數y=x+1x具有哪些性質？哪些性質你能夠證明？哪些性質你暫時還無法證明？

問題2"你能畫出函數y=x+1x的圖象嗎？

問題3"探究函數y=1x，y=x與函數y=x+1x的圖象關系.

探究問題"當x為何值時，函數y=x+1x（x≥2）有最小值？最小值為多少？

2.4"學以致用，類比探究

問題"探究函數y=x+1x，y=x+4x，y=x+kx（kgt;0）的圖象與性質.

拓展應用1"當x為何值時，函數y=x+4x12≤x≤3有最小值？最小值為多少？

拓展應用2"y=2x+8x的單調增區間為""""，值域為"""".

拓展應用3"函數y=x2+4+1x2+4的最小值為"""".

2.5"課堂小結

引導學生回顧本節課所學內容，并進行歸納總結.

3"教學對比

3.1"引入情境對比

兩節課情境引入背景不同但數學本質相同，因初中學生數學閱讀能力、信息整理能力弱，課堂1用了9分鐘才得到目標函數y=x+1x.課堂2直接明了，用1分鐘得到函數y=x+1x，學生自由討論2分鐘后由基本不等式得到當x=1時取最小值2.教師進一步追問“當自變量x≥2時”引出本次課的主題，共用時5分鐘.

課堂1片段：開課敲響“第一錘”——情境直奔主題.

師：我們已經學習了哪些函數？

生：一次函數、二次函數、反比例函數.

師：學習函數的一般過程是什么？

鄭老師發現學生比較茫然，于是進一步追問.

師：研究函數一般關注什么？

生：函數的性質.

師：哪些性質？

生：函數的增減性、函數圖象所在的象限.

師：還有嗎？

生：對稱性和開口方向.

師：借鑒你學習函數的經驗，如何研究函數y＝x＋1x的性質？

生：建立已知函數與未知函數的聯系.

師：如何建立聯系？

生1：該函數是由一個一次函數和一個反比例函數相加得到.

鄭老師沒有否定學生也沒有肯定學生.

生2：給出特殊值，畫出該函數的圖象，找出規律.

生3：觀察到函數在x=0處沒有意義.

片段點評：要基于學情，注重預設和生成關系，在學生提出“對稱性和開口方向”后，切記不要輕易否定學生，要用發展融通的觀點引導學生思考函數y＝x＋1x的對稱軸，輕易否定學生會扼殺好奇心和求知欲，久而久之學生會喪失學習興趣和動力.其實函數y＝x＋1x的圖象不僅是中心對稱圖形，還是軸對稱圖形，它的對稱軸方程是y=（1+2）x及y=（1－2）x.

3.2"列圖表畫圖對比

課堂1從特殊到一般，通過列表、描點畫出函數圖象.教師要求學生獨立完成表1，并在一張帶有刻度的坐標系內描點畫圖.學生在教師的引導下嘗試四次畫圖：取正整數—取負整數—取（0，1）中的數—取（-1，0）中的數，總共用時26分鐘.課堂2是從一般到特殊，根據函數性質畫圖，先根據函數的對稱性直接把研究范圍縮小至第一象限，再根據定義域、值域、奇偶性、單調性（猜測）讓學生自主畫出函數圖象，最后根據函數性質獨立畫圖，整個過程用了28分鐘，但學生畫圖僅用了7分鐘.

課堂1片段：續課奏出“最強音”——四畫函數圖象.

第1次嘗試：學生取數都是正整數.

第2次嘗試：教師黑板上演示，引領學生得出函數關于原點對稱，圖象僅在第一、三象限，但學生取數都不在（0，1）和（-1，0），函數圖象與y軸有交點.

第3次嘗試：學生按教師的要求只畫出第一象限圖象.教師不停提醒學生與y＝1x的圖象對比，直到大部分學生在（0，1）內取不同的值.

第4次嘗試：根據圖象的對稱性，在原圖中修改（-1，0）部分圖象.

片段點評：展示學生思維，不是簡單展示結果，而是展示學生思維過程的合理性、邏輯性、深刻性、獨特性和創新性.本節課的對象是初中學生，用符號語言刻畫函數的性質存在一定困難，故研究函數的工具僅限于先描點畫圖象再得出性質.在4次嘗試畫圖中，第3次用時雖長，但學生收獲的不僅是知識，還是一種類比思維方式，是一種極限數學思想，是初高融通教學的嘗試，這為高中研究指數函數、對數函數等打下堅實基礎.

3.3"探性質識圖對比

課堂1是根據函數圖象直觀感知函數y=x+1x的性質，即對稱性（關于原點對稱）、與坐標軸沒有交點、與y軸無限接近、圖象在第一、三象限、圖象與直線y=x無交點、函數的增減性、函數最值，感性多于理性，函數性質都沒有給出證明，性質探究總共用時9分鐘.課堂2用演繹的方法得到函數的性質，函數定義域、值域、奇偶性研究用時8分鐘，猜測并證明函數在（0，1）內單調遞減用時9分鐘，最后總結函數性質并指出函數漸近線用時5分鐘，總共用時22分鐘，函數性質研究理性多于感性.

課堂2片段：極限視角“融通觀”——探變化趨勢.

嚴老師隨機選擇了兩個學生繪制的圖象（如圖1、圖2）進行展示并探究.

師：針對圖1，哪位同學來點評一下？

生1：沒有描點就把圖象畫出了.

師：還有呢？

生：中間一條直線不知道是什么？為什么要畫？

師：我們再來看看圖2，圖2這里也有一條直線，哪位同學來說說看這條直線是什么？

生：這條直線是漸近線.

師：你是怎么判斷這條直線是漸近線的？

生2：這條直線是y=x，當x無限增大，函數y=x+1x的圖象無限靠近y=x，但永遠不相交.

師：我們把無限接近但永遠不相交的這條直線稱為漸近線，請大家思考y=x+1x還有漸近線嗎？

生3：還有y軸，即x=0.

……

片段點評：嚴老師先順應學生的思維，讓學生自然而然地得到漸近線的概念，然后利用GeoGebra軟件動態演示三個函數y=x，y=1x，y=x+1x的圖象的變化趨勢，如圖3所示.建議嚴老師讓學生感知圖象變化的同時，增加極限代數視角說明函數的變化趨勢，即x→+∞時，x+1x→x且x+1xgt;x，這為今后學習類似有漸近線的函數打下堅實的基礎.

3.4"悟本質用圖對比

課堂1原本設置“反思拓展，應用成果”這一環節，探究1直接觀察圖象即可，探究2的本質是利用代數的方法去證明函數y=x+1x在（1，+∞）上單調遞增，由于時間關系只能讓學生課后探究.課堂2不是直接利用y=x+1x的性質去解決問題，而是利用研究y=x+1x的一般方法類比探究y=x+4x及y=x+kx并進行簡單應用，總共用時9分鐘.

課堂2片段：結課留下“滿口香”——醒學生所悟.

片段點評：教之道在于“度”，學之道在于“悟”，數學知識不是灌輸給學生的，嚴老師在課堂小結時制作了一張表格（見表2），把權力完全放給學生.學生的總結不僅有知識性（函數性質）的總結，還有研究數學問題方法（特殊到一般，已知到未知等）的小結，更可喜的還有學生會用“對勾函數”“耐克函數”來命名y=x+1x，真正感受到給學生一點時間還教師一個精彩.

4"教學建議

4.1"直覺先行，推理斷后

初高中數學學習的差異是由學習內容的抽象程度所決定的，相伴相隨的是對邏輯嚴謹性要求的提高.但從認知規律看，數學概念、定理的形成一般是“起始于直覺，完成于邏輯”，因此“思想先行于邏輯，推理緊跟著直覺”，使學生有一個逐步走向嚴謹的過程，不僅符合學生的認知規律，也與數學知識發展規律相吻合.［1］教學的本質就是教學生學會學習，雙勾函數“背景—概念—性質—應用”研究的套路完全適合于一般函數，建議從初中開始有意識從代數的角度研究函數性質，逐漸擺脫“觀察圖象得出性質”的思維定式，樹立“由性質到圖象”的推理意識.建議課堂1鄭老師適當增加幾何圖象的代數解釋以及性質代數推理，如漸近線、圖象關于原點對稱、函數在（0，+∞）上的最小值、x+1x≥2（xgt;0）恒成立等代數解釋或推理，有意識地進行初高數學知識和數學思想上的融通.

4.2"三放關系展示思維

新時期的教師已不是簡單的授業解惑，信息技術的普及讓學生接受知識的途徑已趨向多元化.現在很多教師認為學生不善于學習，特別是課內主動探究的意識很薄弱.這是因為課內不敢放手，讓教師的經驗替代學生的體驗，久而久之學生自然適應教師的填鴨式教學，不善于思考、不善于合作、不善于探究成為常態.課堂1四畫函數圖象，雖然學生走了幾次錯路、彎路，但收獲的是這類函數圖象的畫法.同樣，課堂2用了22分鐘進行函數性質的探究，允許學生展示思維過程.讓學生展示思維，收獲的是研究函數性質的方法和套路.筆者建議中學數學教師多點誘思引導，扶方法、扶智慧、扶自信，激活學生的思維，給予學生展示思維的時間，把時間還給學生，真正做到“教學”到“學教”.

4.3"融通教學服務選才

鄭老師接到上課任務時心中不免有疑惑，初中研究的函數主要有一次函數、反比例函數、二次函數，對于函數y=x+p/x（pgt;0）的研究超出課程標準的要求.《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：“不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養.”［2］新高考實施后，數學作為唯一一門理科性質的統考科目，在服務人才選拔、服務國家發展戰略、助力教育強國建設方面承擔更加重要的責任，發揮更加關鍵的作用.［3］現在許多數學教師太功利，中考怎么考，教師怎么教，中考不考，課內絕對不教，這不利于學生數學素養的提升，不利于人才自主培養，不利于拔尖創新人才培養.筆者建議教師在教學時遵循學生認知過程的合理性及知識發生發展過程的合理性，穩中求進，開展融通教學，尊重部分學生的好奇心和求知欲，讓思維過程化、知識結構化.例如，課堂2探究函數的對稱性時可以問函數是否具有軸對稱性？今后還可以研究其離心率、頂點坐標、直線與該曲線的位置關系等.對于學有余力的學生還可以研究“（x－2）2+y2·（x+2）=4”及“（x2+y2）3=x2y2”的圖象和性質，融通函數及曲線的研究方法，切實培養學生的科學精神和創新意識，提升學生數學素養.

參考文獻

［1］章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究＼[M＼].上海：華東師范大學出版社，2021.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］任子朝.新高考十年數學科考試內容改革：成就、挑戰與轉向［J］.中國考試，2024（7）：11-18+63.

*基金項目：2024年杭州市基教重點教研課題“源生課堂：縣中崛起視域下中學數學共生學教鏈的構建與實施”（項目編號：L2024066）.