指向深度學習的整合型微專題的實踐與思考

摘"要：數學微專題應理性回歸教材，利用好例題或課后習題，進行整合性、創造性、分層性改編，充分領悟新課標的指導意義、教材的內涵及外延.追求深度學習，讓碎片化的知識結構化，讓零亂的思想方法系統化，構筑完備的數學認知體系，形成解決問題的一般方法，發展學生的高階思維，提升解決問題的能力，優化教學過程.

關鍵詞：深度學習；整合型微專題；解三角形

解三角形是高考考查的重點章節內容，其中“解三角形中的范圍與最值問題”一直是學生學習的難點.究其原因，學生未能深刻領悟數學的思想內涵，內化于心，而教師往往注重方法總結和展示，對探究性學習活動支持不足.因此，筆者嘗試通過一次整合型微專題復習課，對此進行探討.

1"明確目標，深研教材，整體架構

“教什么”往往比“怎么教”更重要.從“教什么”的視角來看，高水平的教師，能透過現象看到本質，在教授顯性知識的同時，能挖掘出其后的隱性知識，即數學的本質、過程、思想和結構四個方面.通過深度挖掘和解讀教材隱性知識，達到與隱性知識的深度對話，有助于提高數學課堂實效和學生的綜合能力.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）提到，教材各個章節的設計要關注同一主線內容的邏輯關系，不同主線內容之間的邏輯關系，不同數學知識所蘊含的通性通法、數學思想.數學內容的展開應循序漸進、螺旋上升，使教材成為一個有機的整體.［1］新課標不僅指引教師教授教材中的顯性知識，也指引著教師如何深度挖掘其背后的隱性知識.

整合型微專題是一種教學或學習的內容組織形式.在教學方面，它是把教材中相關聯的、容易混淆的，或者同屬一個知識體系下的多個小知識點整合在一起.從定性角度看，一個三角形包含多種幾何量，如邊長、角的度數、周長、面積、外接圓（內切圓）半徑、高、中線長、角平分線長等，從它們之間存在的各種關系中，體現出三角形知識的整體性；從定量角度出發，三角形六個基本要素中，只要知道其中三個（至少有一個是邊）就可以求出其余三個要素，就可以確定三角形.在學習方面，整合型微專題可以是學生自己根據學習的薄弱環節或者知識關聯點，將分散的內容梳理整合，建立知識網絡，以恰當的方式呈現知識點間的關聯.正弦定理、余弦定理是反映三角形邊、角關系的重要定理.利用正弦定理、余弦定理，可以將三角形中的邊的關系、角的關系進行相互轉化，從而有助于問題的解決.另外，許多幾何問題、物理知識以及實際問題也可以轉化為解三角形的問題來研究，這是本章的教育目標之一.［2］教師通過構建教學的整體觀，注重思維的進階與知識的架構，引導學生將實際問題轉化為三角形問題，再通過幾何證明、計算、最值探索等方式解決三角形的實際問題.

學情分析：學生在完成“解三角形”新授課學習后，對基礎性問題比較熟悉，如已知三邊、已知兩邊及夾角、已知兩角及一邊、已知兩邊及其中一邊的對角，即在已知三個要素時會使用正弦定理、余弦定理對邊與角進行表征；初步體會到學科內的向量、圓、三角函數等知識與正、余弦定理的聯系，還體會到跨學科問題中（物理學中的力學等）正、余弦定理的使用，體會到一些所謂的“隱性知識”，具備一定的整體觀，但知識體系還是零散的，體會不深，使用起來靈活性不足，化歸意識淡薄.例如，在課余對學生進行調查，問起“向量與解三角形有哪些聯系”，多數學生只是記得向量可以推導出正、余弦定理，至于怎么使用、本質、過程等答不上來.此外，學生在面對問題中只給兩個條件時，往往束手無策.

本微專題將在立足學情的基礎上，從新課標提到的三條主線出發，關注“解三角形”的相關知識點，采取知識整合、凸顯思想的教學策略，挖掘教材中的習題資源，以開放性主問題引發思考，以問題串的形式，拓展思維，自然體悟、完善其“本質、過程、思想和結構”.挖掘能力的“生長點”，達成培養學生數學的整體觀、系統化思維的目標，優化教學過程.

2"精選例題，啟迪思維

2.1"主問題

如圖2所示，已知∠A為定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長.當P，Q處于什么位置時，△APQ的面積最大？［3］

【設計意圖】問題驅動探究，提出具有挑戰性、開放性的問題，引發學生認知沖突，讓學生感悟知識間的整合與聯系，從本質上認識一類問題；引導學生提煉方法，拓展思維，感悟數學思想.題目中條件只有兩個：一角及其對邊，通過典例探究，促進深度學習，提升知識的遷移能力，在現有的知識基礎上學會發現問題、提出問題、分析問題、解決問題.

2.2"教學片段

師：△APQ的面積如何表示？請同學們談一談自己的思路.

生：S△APQ=12AP·AQsinA.

師：哪些是變量？

生：AP與AQ.

師：面對兩個變量，如何研究AP·AQ整體的范圍？

生：轉化為單一變量，借助正弦定理，用統一的角表示AP與AQ.

師：面對兩個變量，還有其他轉化思路嗎？

生：可以借助于余弦定理，利用基本不等式整體放縮.

師：△APQ的面積還可以怎么表示？

生： S△APQ=12h·PQ （h為點A到直線PQ的距離，即邊PQ上的高）.

師：哪些是變量？

生：h為變量.

師：∠A和PQ為定量，但是其相對位置的變化引起h的變化，可不可以固定一個不動呢？

生：可以借助△APQ的外接圓，將PQ作為一條固定的弦長，點A作為圓上的動點，觀察點A在何處時，h最大？

師：回答得很棒，下面請同學在黑板上完成解題過程.

隨后，學生活動，并做總結.以下呈現學生的主要方法.

方法一：設PQ=a，AP=x，AQ=y，則S△APQ=12xysinA.由正弦定理，得xsinQ=ysinP=asinA=2R，∴S△APQ=12xysinA=12·2RsinQ·2R·sinPsinA=2R2·sinQsin［π-（A+Q）］·sinA=2R2sinQsin（A+Q）sinA =2R2［sinQ·（sinAcosQ+cosAsin2Q）］sinA=2R2sinAsin2Q2+cosA1-cos2Q2sinA=R2·（cosA+sinAsin2Q-cosAcos2Q）=R2·［cosA-cos（2Q+A）］sinA.∵0lt;Qlt;π-A，∴Alt;2Q+Alt;2π-A，∴當2Q+A=π時，cos（2Q+A）=-1.

S△APQmax=R2（cosA+1）sinA=a2sinA2·（cosA+1）sinA=a2（cosA+1）4sinA，

此時2Q+A=π，Q=π2-A2.再由A+P+Q=π，得P=π2-A2，∴當AP=AQ時，△APQ的面積最大.

方法二：設∠A=α，PQ=a，AP=x，AQ=y，其中α，a為定值.由已知條件，得a2=x2+y2-2xy·cosα≥2xy-2xycosα=2xy（1-cosα）.∵1-cosαgt;0，∴xy≤a22（1-cosα），∴S△APQ=12xy·sinα≤a2sinα4（1-cosα），當且僅當x=y時取等號，∴當AP=AQ時，△APQ的面積最大.

方法三：設圓O為△APQ的外接圓，把P，Q固定在圓O上，讓A點在圓O上運動，過A點向PQ所在直線作垂線，垂足為B（如圖3），則S△APQ=12AB·PQ=12AB·a，易見當AB最大時S△APQ最大，即AB與過O到PQ的垂線段重合時，S△APQ最大（如圖4），結論同上.

3"重視小結，巧妙整合

數學解題需要靈活的思維.教師在處理此主問題時，若處理不當，只會使得學生就題解題，取新舍舊，不會發生學習的更高遷移.教學中不僅要教宏觀意義的思想方法，也要教具體解決問題的思想方法.數學知識的鞏固主要在于做題，很多教師往往很在意“一題多解”，在完成主問題后，會做如下總結.

在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，通常有以下四種解題視角：①利用基本不等式求范圍或最值.在問題涉及邊之間的關系時可以考慮；②利用函數求范圍或最值.在已知條件下根據邊、角的范圍和函數的性質求最值或者范圍；③利用幾何性質；④根據三角形解的個數求范圍或最值.方法的根源：解三角形的條件“知三求三”，條件不夠時設變量.基本數學思想：轉化化歸、函數、不等式等基本思想，抓住變化的量，轉化為可控的單變量（角或邊）或者幾何模型.

教師更多要關注“多解歸一”.“多解”后的“歸一”關系到學生的元認知能力，主要包括：原認知結構、原學習能力.通過“多解”后的“歸一”，讓學生能夠站在系統的高度看問題，進而升華到從哲學的角度認識世界，形成強大的學習能力.所謂的“歸一”主要從數學的“本質、過程、思想、結構”四個方面進行歸納總結，形成一個整體框架.

建構起“解三角形”的整體框架后，學生會抓住問題本質，選擇恰當的方法解題，以“不變應萬變”.

4"科學變式，及時反饋，拓展思維

變式1"銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，B=π3，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

【設計意圖】問題不變，適度改變條件.當面對“邊角不統一、三角形形狀有限制”的背景時，體會正弦、余弦定理的適用性，讓學生學會選擇恰當的方法解決問題，靈活思維，抓住本質.

變式2"已知0°＜∠A＜180°，點B，C分別為其兩條邊上不與點A重合的點.

（1）如圖5，若∠A＝60°，AB＝4，△ABC為銳角三角形，求AC的取值范圍.

（2）如圖6，若∠A＝60°，BC＝4，以BC為邊構造等邊△BCD，設∠ABC＝θ，試求AD的最大值.

【設計意圖】當面對條件中邊角不統一、三角形形狀有限制的問題，體會正弦、余弦定理的適用性；當問題中的邊不在已知的三角形中時，體會轉化化歸思想，構造條件，回歸到三角形問題；靈活使用兩個定理，使用函數、不等式、幾何等方法解決問題.變式2主要考查學生的思維靈活度與深度，實現思維的進階.

5"實踐反思，優化教學

總結不同學科整合型微專題的實踐經驗表明，整合型微專題是通過對原有相關或相似的知識點進行提煉、歸納和有機整合，促進認知結構中原來分散的知識點在概念、思想和方法的統領下集中起來，形成一種聯系緊密、邏輯清晰的認知結構，以整合、情境化的方式存儲于記憶中.深度學習強調以高階思維為主要認知活動，在理解基礎上對知識本質進行批判性地吸收；注重對學習內容的提煉、歸納、有機整合，將新的認識“縫合”到原有認知結構中，建立有意義的聯結，高質量地獲取知識；追求通過聯系、加工、處理和轉換，將已有知識遷移應用到新的情境中，實現有效的學習遷移，促進真實問題的解決.［4］整合型微專題往往以“明、暗”兩條線貫穿始終，明線是顯性的知識點，暗線則是背后體現出的數學思想、方法.整合型微專題還體現出微觀與宏觀、部分與整體的哲學思辨，表現出“聚焦、查漏、靈活、實用、有效、升華”的特征，可以認為它是數學學習中的一道深度、精細化的加工流程，也是對數學高階思維培養的一種有效方式，而不是對某個知識點簡單的重復操作.

面對學生學習中的難點、易錯點，需要教師運用微專題的手段幫助學生突破難點，掌握重點.微專題的實施需要做到以下幾點：關注學情，把握好時機，發現主問題；回歸教材，強化基礎，問題設計把握好度，圍繞中心精準設計；變式要有理有據，回歸本源，建立知識的體系，掌握好基本思路和方法；問題解決中注重引導學生，充分暴露問題，變解題為解決問題；關注問題解決的效果，及時作出評價反饋.

本次微專題實踐中暴露出一些不足之處，如課堂中缺乏多樣化的評估與反饋，考查學生對知識的掌握和運用不夠全面.后期需努力嘗試構建高層次數學思維能力的評價框架和指標體系，開發高層次的數學思維任務.［5］ 做到及時反饋與調整，根據學生的課堂表現、作業反饋等，對微專題內容和活動設計進行優化，以更好地促進深度學習.教會學生能從閱讀和練習中自己找到隱性知識，學會總結和反思.

2024年新高考Ⅰ卷表現出題目數量減少、難度分層明顯、兼顧思維運算、考點覆蓋全、回歸基礎、側重素養、注重通性通法、數學味更濃、導向人才選拔的特征.如何在今后的新授課、復習課中依托新教材進行拓展延伸，引導學生開展創造性學習，在深度學習的過程中建構知識，體會、生成、發展數學的思維方式，進而培養出應對新高考創新型試題的能力，無疑是每位一線教師重點思考與實踐的方向.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］［3］單墫，李善良.高中數學教學參考書必修第二冊［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

［4］鄭東輝.促進深度學習的課堂評價：內涵與路徑［J］.課程·教材·教法，2019（2）：59-65.

［5］鮑建生.關于數學能力的幾點思考［J］.人民教育，2014（5）：48-51.